PRIK- OG KRYDSPRODUKTER PÅ VEKTORER

En størrelse, der ikke kun er karakteriseret ved størrelse, men også af dens retning, kaldes en vektor. Hastighed, kraft, acceleration, momentum osv. er vektorer.

Vektorer kan multipliceres på to måder:

Skalært produkt eller Dot-produkt
Vektorprodukt eller krydsprodukt

Indholdsfortegnelse

Skalært produkt/punktprodukt af vektorer

Projektion af en vektor på en anden vektor

Egenskaber for skalært produkt
Uligheder baseret på punktprodukt
Krydsprodukt/vektorprodukt af vektorer

Egenskaber for krydsprodukt
Krydsprodukt i determinantform

Prik og kryds produkt
Ofte stillede spørgsmål om prik- og krydsprodukter på vektorer

Skalært produkt/punktprodukt af vektorer

Det resulterende skalarprodukt/punktprodukt af to vektorer er altid en skalær størrelse. Overvej to vektorer -en og b . Det skalære produkt beregnes som produktet af størrelserne af a, b og cosinus af vinklen mellem disse vektorer.

er en speciel karakter

Skalært produkt = |a||b| fordi α

Her,

|a| = vektorens størrelse en,
|b| = vektorens størrelse b , og
α = vinkel mellem vektorerne.

Vektorerne a og b med vinkel α imellem dem

Projektion af en vektor på en anden vektor

Vektor -en kan projiceres på linjen l som vist nedenfor:

CD = projektion af vektor a på vektor b

Det fremgår tydeligt af ovenstående figur, at vi kan projicere en vektor over en anden vektor. AC er størrelsen af vektor A. På ovenstående figur er AD tegnet vinkelret på linie l. CD repræsenterer projektionen af vektor -en på vektor b .

Trekant ACD er altså en retvinklet trekant, og vi kan anvende trigonometriske formler.

Hvis α er målet for vinkel ACD, så

cos α = CD/AC

Eller, CD = AC cos a

Fra figuren er det tydeligt, at CD er projektionen af vektor a på vektor b

Så vi kan konkludere, at en vektor kan projiceres over den anden vektor ved cosinus af vinklen mellem dem.

Egenskaber for skalært produkt

Skalarprodukt af to vektorer er altid et reelt tal (skalar).
Skalært produkt er kommutativt, dvs. a.b =b.a= |a||b| fordi α
Hvis α er 90°, så er skalarprodukt nul som cos(90) = 0. Så skalarproduktet af enhedsvektorer i x, y-retninger er 0.
Hvis α er 0°, er skalarproduktet produktet af størrelser på -en og b |a||b|.
Skalarprodukt af en enhedsvektor med sig selv er 1.
Skalarprodukt af en vektor a med sig selv er |a|²
Hvis α er 180⁰, skalarproduktet for vektor a og b er -|a||b|
Skalært produkt er distribuerende over tilsætning

en. ( b + c ) = a.b + a.c

For enhver skalar k og m,

l en. (m b ) = km a.b

Hvis komponentformen af vektorerne er givet som:

-en = a₁x + a₂og + a₃Med

b = b₁x + b₂y + b₃Med

så er skalarproduktet givet som

a.b = a₁b₁+ a₂b₂+ a₃b₃

Det skalære produkt er nul i følgende tilfælde:
- Størrelsen af vektor a er nul
- Størrelsen af vektor b er nul
- Vektorerne a og b er vinkelrette på hinanden

Uligheder baseret på punktprodukt

Der er forskellige uligheder baseret på prikproduktet af vektorer, såsom:

Cauchy – Schwartz ulighed
Trekant ulighed

Lad os diskutere disse i detaljer som følger:

Cauchy – Schwartz ulighed

Ifølge dette princip, for alle to vektorer -en og b , størrelsen af prikproduktet er altid mindre end eller lig med produktet af størrelserne af vektor a og vektor b

|a.b| ≤ |a| |b|

Bevis:

Da a.b = |a| |b| fordi α

Vi ved, at 0

Så vi konkluderer, at |a.b| ≤ |a| |b|

Trekant ulighed

For alle to vektorer -en og b , det har vi altid

| -en + b | ≤ | -en | + | b |

Trekant ulighed

Bevis:

| -en + b |²=| -en + b || -en + b |

= a.a + a.b + bl.a + b.b

= | -en |²+ 2 a.b +| b |²(punktproduktet er kommutativt)

≤ | -en |²+ 2| a||b | + | b |²

≤ ( |a | + | b| )²

Dette beviser, at | -en + b | ≤ | -en | + | b|
sorter arraylist i java

Eksempler på punktprodukt af vektorer

Eksempel 1. Betragt to vektorer således, at |a|=6 og |b|=3 og α = 60°. Find deres prikkede produkt.

Løsning:

a.b = |a| |b| fordi α

Så, a.b = 6,3.cos(60°)

=18(1/2)

a.b = 9

Eksempel 2. Bevis at vektorerne a = 3i+j-4k og vektor b = 8i-8j+4k er vinkelrette.

Løsning :

Vi ved, at vektorerne er vinkelrette, hvis deres prikprodukt er nul

a.b = (3i+j-4k)(8i-8j+4k)

= (3)(8) +(1)(-8)+(-4)(4)

=24-8-16 =0

Da skalarproduktet er nul, kan vi konkludere, at vektorerne er vinkelrette på hinanden.

Krydsprodukt/vektorprodukt af vektorer

Læserne er allerede bekendt med et tredimensionelt højrehåndet rektangulært koordinatsystem. I dette system indikerer en drejning mod uret af x-aksen ind i den positive y-akse, at en højrehåndet (standard) skrue ville bevæge sig i retning af den positive z-akse som vist på figuren.

js udskiftning

3D rektangulært koordinatsystem

Det vektorprodukt eller krydsprodukt, af to vektorer -en og b med en vinkel α mellem dem beregnes matematisk som

a × b = |a| |b| uden α

Det skal bemærkes, at krydsproduktet er en vektor med en specificeret retning. Resultanten er altid vinkelret på både a og b.

Også, hvis der gives to vektorer,mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)ogmathbf{b} = (b_1, b_2, b_3), deres krydsprodukt, angivet med a × b, beregnes som:

mathbf{a} imes mathbf{b} = (a_2b_3 – a_3b_2, a_3b_1 – a_1b_3, a_1b_2 – a_2b_1)

Hvis a og b er parallelle vektorer, skal resultanten være nul som sin(0) = 0

Egenskaber for krydsprodukt

Cross Product genererer en vektormængde. Resultanten er altid vinkelret på både a og b.
Krydsproduktet af parallelle vektorer/kollineære vektorer er nul, da sin(0) = 0.

i × i = j × j = k × k = 0

Krydsprodukt af to indbyrdes vinkelrette vektorer med enhedsstørrelse hver er enhed. (Da sin(0)=1)
Krydsprodukt er ikke kommutativt.

a × b er ikke lig med b × a

Krydsprodukt er distribuerende over tilsætning

en × ( b + c ) = -en × b + -en × c

Hvis k er en skalar,

k(a × b) = k(a) × b = a × k(b)

Når vi bevæger os i urets retning og tager krydsproduktet af et hvilket som helst to par af enhedsvektorerne, får vi den tredje, og i retning mod uret får vi den negative resultant.

Kryds produktet med uret og mod uret

Følgende resultater kan fastslås:

i × j = k	j × k = i	k × i = j
j x i = -k	i x k= -j	k × j = -i

Krydsprodukt i determinantform

Hvis vektoren -en er repræsenteret som a = a1x + a2y + a3z og vektor b er repræsenteret som b = b1x + b2y + b3z

Så krydsproduktet a × b kan beregnes ved hjælp af determinantform

egin{array}{ccc} x & y & z a 1 & a 2 & a 3 b 1 & b 2 & b 3 end{array}

Derefter, a × b = x(a₂b₃– b₂-en₃) + y(a₃b₁– en₁b₃) + z(a₁b₂– en₂b₁)

Hvis a og b er de tilstødende sider af parallelogrammet OXYZ og α er vinklen mellem vektorerne a og b.

Så er arealet af parallelogrammet givet ved | a × b | = |a| |b|sin.a

Vektorerne a og b som tilstødende sider af et parallelogram

Eksempler af C ross produkt af Vectors

Eksempel 1. Find krydsproduktet af to vektorer a og b, hvis deres størrelser er henholdsvis 5 og 10. Givet at vinklen mellem da er 30°.

Løsning:

powershell vs bash

a × b = a.b.sin (30) = (5) (10) (1/2) = 25 vinkelret på -en og b

Eksempel 2. Find arealet af et parallelogram, hvis tilstødende sider er

a = 4i+2j -3k

b= 2i +j-4k

Løsning :

Arealet beregnes ved at finde krydsproduktet af tilstødende sider

a × b = x(a₂b₃– b₂-en₃) + y(a₃b₁– en₁b₃) + z(a₁b₂– en₂b₁)

= i(-8+3) + j(-6+16) + k(4-4)

= -5i +10j

Derfor er arealets størrelsesqrt{(5^2 +10^2)}

=sqrt{(25+100)}

=sqrt{(125)} =5sqrt{5}