logo

De-Morgans sætning

En berømt matematiker DeMorgan opfandt de to vigtigste sætninger i boolsk algebra. DeMorgans sætninger bruges til matematisk verifikation af ækvivalensen af ​​NOR- og negative-AND-portene og negative-ELLER- og NAND-portene. Disse teoremer spiller en vigtig rolle i løsningen af ​​forskellige booleske algebraudtryk. I nedenstående tabel er den logiske operation for hver kombination af inputvariablen defineret.

Inputvariabler Udgangstilstand
EN B OG NAND ELLER HELLER IKKE
0 0 0 1 0 1
0 1 0 1 1 0
1 0 0 1 1 0
1 1 1 0 1 0

Reglerne i De-Morgans sætning er fremstillet ud fra de boolske udtryk for OR , AND og IKKE ved at bruge to inputvariable x og y. Den første sætning i Demorgan siger, at hvis vi udfører AND-operationen af ​​to inputvariable og derefter udfører NOT-operationen af ​​resultatet, vil resultatet være det samme som ELLER-operationen af ​​komplementet til den variabel. Den anden sætning i DeMorgan siger, at hvis vi udfører ELLER-operationen af ​​to inputvariabler og derefter udfører IKKE drift af resultatet, vil resultatet være det samme som OG-operationen af ​​komplementet af den variabel.

De-Morgans første sætning

Ifølge den første sætning er komplementresultatet af AND-operationen lig med OR-operationen af ​​komplementet af den variabel. Det svarer således til NAND-funktionen og er en negativ-ELLER-funktion, der beviser, at (A.B)' = A'+B', og vi kan vise dette ved hjælp af følgende tabel.

Indgange Output for hvert semester
EN B A.B (A.B)' EN' B' A'A+B'
0 0 0 1 1 1 1
0 1 0 1 1 0 1
1 0 0 1 0 1 1
1 1 1 0 0 0 0

De-Morgans sætning

De-Morgans anden sætning

Ifølge den anden sætning er komplementresultatet af OR-operationen lig med OG-operationen af ​​komplementet af den variabel. Det svarer således til NOR-funktionen og er en negativ-AND-funktion, der beviser, at (A+B)' = A'.B', og vi kan vise dette ved hjælp af følgende sandhedstabel.

Indgange Output for hvert semester
EN B A+B (A+B)' EN' B' A'.B'
0 0 0 1 1 1 1
0 1 1 0 1 0 0
1 0 1 0 0 1 0
1 1 1 0 0 0 0

De-Morgans sætning

Lad os tage nogle eksempler, hvor vi tager nogle udtryk og anvender DeMorgans sætninger.

Eksempel 1: (A.B.C)'

(A.B.C)'=A'+B'+C'

Eksempel 2: (A+B+C)'

(A+B+C)'=A'.B'.C

Eksempel 3: ((A+BC')'+D(E+F')')'

For at anvende DeMorgans sætning på dette udtryk, skal vi følge følgende udtryk:

1) I komplet udtryk finder vi først de termer, som vi kan anvende DeMorgans sætning på og behandle hvert led som en enkelt variabel.

De-Morgans sætning
De-Morgans sætning

Så,

De-Morgans sætning

2) Dernæst anvender vi DeMorgans første sætning. Så,

De-Morgans sætning

3) Dernæst bruger vi regel nummer 9, dvs. (A=(A')') til at annullere de dobbelte takter.

De-Morgans sætning

4) Dernæst anvender vi DeMorgans anden sætning. Så,

De-Morgans sætning

5) Anvend igen regel nummer 9 for at annullere dobbeltbjælken

De-Morgans sætning

Nu har dette udtryk ikke noget udtryk, hvor vi kan anvende nogen regel eller sætning. Så dette er det endelige udtryk.

Eksempel 3: (AB'.(A + C))'+ A'B.(A + B + C')'

leksikografisk orden
De-Morgans sætning