logo

TechCodeview

Lignende trekanter

Lignende trekanter er trekanter med samme form, men kan have forskellige størrelser. Lignende trekanter har tilsvarende sider i forhold til hinanden og tilsvarende vinkler lig med hinanden. Lignende trekanter er forskellige fra kongruente trekanter. To kongruente figurer er altid ens, men to ens figurer behøver ikke at være kongruente.

To trekanter betragtes som ens, når deres tilsvarende vinkler matcher, og deres sider er proportionale. Det betyder, at lignende trekanter har samme form, selvom deres størrelser kan variere. På den anden side defineres trekanter som kongruente, når de ikke kun har samme form, men også har tilsvarende sider, der er identiske i længden.



Lad os nu lære mere om lignende trekanter og deres egenskaber med løste eksempler og andre i detaljer i denne artikel.

Indholdsfortegnelse

Hvad er lignende trekanter?

Lignende trekanter er trekanter, der ligner hinanden, men deres størrelser kan være forskellige. Lignende genstande har samme form, men forskellige størrelser. Dette indebærer, at lignende former, når de forstørres eller forstørres, skal overlejre hinanden. Denne egenskab af lignende former er kendt som Lighed .



Der er tre lignende trekantsætninger:

  • AA (eller AAA) eller Angle-Angle Similarity Theorem
  • SAS eller Side-Angle-Side Similarity Theorem
  • SSS eller Side-Side-Side Similarity Theorem

Lignende trekanter Definition

To trekanter kaldes ens trekanter, hvis deres tilsvarende vinkler er lige store, og de tilsvarende sider er i samme forhold. De tilsvarende vinkler af to ens trekanter skal være lige store. Lignende trekanter kan have forskellige respektive længder af trekantens sider, men forholdet mellem længder af tilsvarende sider skal være det samme.

Når to trekanter ligner hinanden, betyder det, at:



autocad stretch kommando
  • Alle par af tilsvarende vinkler i trekanterne er lige store.
  • Alle par af tilsvarende sider i trekanten er proportionale.

Symbolet ∼ bruges til at repræsentere ligheden mellem lignende trekanter. Så når to trekanter ligner hinanden, skriver vi det som △ABC ∼ △DEF.

Eksempler på lignende trekanter

Forskellige eksempler på lignende trekanter er:

  • Hvis vi tager to trekanter, der har sider i forholdet, er de ens trekanter.
  • Flagstængerne og deres skygger repræsenterer lignende trekanter.

Trekanterne vist på billedet nedenfor ligner hinanden, og vi repræsenterer dem som △ABC ∼ △PQR.

Lignende trekanter

Grundlæggende proportionalitetssætning (Thales-sætning)

Grundlæggende proportionalitetssætning, også kendt som Thales' sætning, er et grundlæggende begreb i geometri, der relaterer sig til trekanters lighed. Den siger, at hvis en linje trækkes parallelt med den ene side af en trekant, deler den de to andre sider proportionalt. I enklere vendinger, hvis en linje parallel med den ene side af en trekant skærer de to andre sider, deler den disse sider proportionalt.

Matematisk, hvis en linje DE tegnes parallelt med den ene side af trekanten ABC, der skærer siderne AB og AC i henholdsvis punkterne D og E, så ifølge den grundlæggende proportionalitetssætning:

BD/DA = CE/HER

Denne sætning er en konsekvens af ligheden mellem trekanter dannet af den parallelle linje og siderne af den oprindelige trekant. Specifikt er trekanter ADE og ABC, såvel som trekanter ADC og AEB, ens på grund af at tilsvarende vinkler er ens. Følgelig er forholdet mellem tilsvarende sider i lignende trekanter ens, hvilket fører til proportionalitetsforholdet beskrevet af Basic Proportionity Theorem.

Grundlæggende proportionalitetssætning er meget brugt i geometri og trigonometri til at løse forskellige problemer, der involverer parallelle linjer og trekanter. Det tjener som et grundlæggende princip for at forstå egenskaberne af lignende trekanter og forholdet mellem deres tilsvarende sider og vinkler. Derudover danner det grundlag for mere avancerede begreber inden for geometri, såsom Parallel Lines Theorem og anvendelser i forskellige geometriske konstruktioner og beviser.

Kriterier for lignende trekanter

Hvis to trekanter ligner hinanden, skal de opfylde en af ​​følgende regler:

  • To par tilsvarende vinkler er lige store. (AA-regel)
  • Tre par af tilsvarende sider er proportionale. (SSS-regel)
  • To par af tilsvarende sider er proportionale, og de tilsvarende vinkler mellem dem er lige store. (SAS-regel)

Læs i detaljer: Kriterier for lignende trekanter

Lignende trekanter formel

I det sidste afsnit undersøgte vi to betingelser, ved hjælp af hvilke vi kan verificere, om de givne trekanter ligner hinanden eller ej. Betingelserne er, når to trekanter ligner hinanden; deres tilsvarende vinkler er lige store, eller de tilsvarende sider er i forhold. Ved at bruge begge betingelser kan vi bevise, at △PQR og △XYZ ligner hinanden fra følgende sæt af lignende trekantformler.

Formel for lignende trekanter i geometri

I △PQR og △XYZ hvis,

  1. ∠P = ∠X, ∠Q = ∠Y, ∠R = ∠Z
  2. PQ/XY = QR/YZ = RP/ZX

Ovenstående to trekanter ligner hinanden, dvs. △PQR ∼ △XYZ.

Lignende trekantregler

Lighedssætningerne hjælper os med at finde ud af, om de to trekanter ligner hinanden eller ej. Når vi ikke har mål for vinkler eller siderne af trekanter, bruger vi lighedssætningerne.

Der er tre hovedtyper af lighedsregler, som angivet nedenfor:

  • AA (eller AAA) eller Angle-Angle Similarity Theorem
  • SAS eller Side-Angle-Side Similarity Theorem
  • SSS eller Side-Side-Side Similarity Theorem

Angle-Angle (AA) eller AAA Similarity Theorem

Et lighedskriterium siger, at hvis to vinkler i en trekant er lig med to vinkler i en anden trekant, så skal de være ens trekanter. En lighedsregel kan let anvendes, når vi kun kender vinklernes mål og ikke har nogen idé om længden af ​​trekantens sider.

Hvis det på billedet nedenfor er kendt, at ∠B = ∠G og ∠C = ∠F:

Og vi kan sige, at ved AA-lighedskriteriet er △ABC og △EGF ens eller △ABC ∼ △EGF.

⇒AB/EG = BC/GF = AC/EF og ∠A = ∠E.

Side-Angle-Side eller SAS Similarity Theorem

Ifølge SAS lighedsteoremet, hvis to sider af den første trekant er i nøjagtigt forhold til de to sider af den anden trekant sammen med vinklen dannet af disse to sider af de individuelle trekanter er ens, så skal de være ens trekanter. Denne regel anvendes generelt, når vi kun kender målet for to sider og vinklen dannet mellem de to sider i begge trekanter.

På billedet nedenfor, hvis det er kendt, at AB/DE = AC/DF, og ∠A = ∠D

Og vi kan sige, at ved SAS-lighedskriteriet er △ABC og △DEF ens eller △ABC ∼ △DEF.

Side-Side-Side eller SSS Similarity Theorem

Ifølge SSS lighedsteoremet vil to trekanter lig hinanden, hvis det tilsvarende forhold mellem alle siderne i de to trekanter er lige store. Dette kriterium bruges almindeligvis, når vi kun har mål for trekantens sider og har mindre information om trekantens vinkler.

På billedet nedenfor, hvis det er kendt, at PQ/ED = PR/EF = QR/DF

Og vi kan sige, at ved SSS-lighedskriteriet er △PQR og △EDF ens eller △PQR ∼ △EDF.

Lignende trekanter egenskaber

Lignende trekanter har forskellige egenskaber, som er meget brugt til at løse forskellige geometriske problemer. Nogle af de fælles egenskaber ved lignende trekant:

  • Formen af ​​lignende trekanter er fast, men deres størrelser kan være forskellige.
  • Tilsvarende vinkler af lignende trekanter er lige store.
  • Tilsvarende sider af lignende trekanter er i fælles forhold.
  • Forholdet mellem arealet af lignende trekanter er lig med kvadratet af forholdet mellem deres tilsvarende side.

Hvordan finder man lignende trekanter?

To givne trekanter kan bevises som lignende trekanter ved hjælp af ovenstående sætninger. Vi kan følge nedenstående trin for at kontrollere, om de givne trekanter ligner hinanden eller ej:

Trin 1: Noter de givne dimensioner af trekanter (tilsvarende sider eller tilsvarende vinkler).

Trin 2: Tjek, om disse dimensioner følger nogen af ​​betingelserne for lignende trekantssætninger (AA, SSS, SAS).

Trin 3 : De givne trekanter, hvis de opfylder nogen af ​​lighedssætningerne, kan repræsenteres ved at bruge ∼ for at angive lighed.

Dette kan forstås bedre ved hjælp af følgende eksempel:

Eksempel: Tjek om △ABC og △PQR er ens trekanter eller ikke ved at bruge de givne data: ∠A = 65°, ∠B = 70º og ∠P = 70°, ∠R = 45°.

Ved at bruge given måling af vinkler kan vi ikke konkludere, om de givne trekanter følger AA-lighedskriteriet eller ej. Lad os finde målet for den tredje vinkel og vurdere den.

Vi ved, ved at bruge vinkelsumegenskaben for en trekant, ∠C i △ABC = 180° – (∠A + ∠B) = 180° – 135° = 45°

På samme måde er ∠Q i △PQR = 180° – (∠P + ∠R) = 180° – 115° = 65°

Derfor kan vi konkludere, at i △ABC og △PQR,

∠A = ∠Q, ∠B = ∠P, og ∠C = R

△ABC ∼ △QPR

Arealet af lignende trekanter – Sætning

Lignende trekantarealsætning siger, at for to ens trekanter er forholdet mellem areal af trekanter proportionalt med kvadratet af forholdet mellem deres tilsvarende sider. Antag, at vi får to ens trekanter, ΔABC og ΔPQR

Ifølge lignende trekantsætning:

(Areal af ΔABC)/(Areal af ΔPQR) = (AB/PQ) 2 = (BC/QR) 2 = (CA/RP) 2

Forskellen mellem lignende trekanter og kongruente trekanter

Lignende trekanter og kongruente trekanter er to typer trekanter, der er meget brugt i geometri til løsning af forskellige problemer. Hver type trekant har forskellige egenskaber, og den grundlæggende forskel mellem dem er diskuteret i tabellen nedenfor.

Lignende trekanter

8 til 1 multiplekser

Kongruente trekanter
Lignende trekanter er trekanter, der har ens tilsvarende vinkler. Kongruente trekanter er trekanter, der har ens tilsvarende vinkler og lige tilsvarende sider.
Lignende trekanter har samme form, men deres størrelser kan være de samme eller ikke Kongruente trekanter har samme størrelse og samme areal.
Lignende trekanter er ikke overlejrede billeder af hinanden, før de forstørres eller forstørres. Kongruente trekanter er overlejrede billeder af hinanden, hvis de er arrangeret i den rigtige orientering.
Lignende trekanter er repræsenteret med '~' symbol. Kongruente trekanter er repræsenteret med ' ≅ ’ symbol.
Deres tilsvarende sider er i forholdet. Deres tilsvarende sider er lige store.

Anvendelser af lignende trekanter

Forskellige anvendelser af den lignende trekant, som vi ser i det virkelige liv, er,

  • Skygge og højde af forskellige objekter beregnes ved hjælp af konceptet med lignende trekanter.
  • Kortskalering bruger konceptet med den lignende trekant.
  • Fotografiske enheder bruger de lignende trekantegenskaber til at tage forskellige billeder.
  • Modelfremstilling bruger konceptet med lignende trekanter.
  • Navigation og trigonometri bruger også den lignende trekanttilgang til at løse forskellige problemer osv.

Folk ser også:

Kongruens af trekanter

Trekantområdet

retvinklet trekant

Omkreds af trekanten

Vigtige bemærkninger om lignende trekanter:

  • Forholdet mellem arealer af lignende trekanter er lig med kvadratet på forholdet mellem deres tilsvarende sider.
  • Alle kongruente trekanter er ens, men alle lignende trekanter er ikke nødvendigvis kongruente.
  • Det her ' ~ ’ symbol bruges til at betegne lignende trekanter.

Løste spørgsmål om lignende trekanter

Spørgsmål 1: I den givne figur 1, DE || f.Kr. Hvis AD = 2,5 cm, DB = 3 cm og AE = 3,75 cm. Find AC?

Løsning:

I △ABC, DE || B.C.

AD/DB = AE/EC (ved Thales' Teorem)

2,5/3 = 3,75/x, hvor EC = x cm

(3 × 3,75)/2,5 = 9/2 = 4,5 cm

EC = 4,5 cm

hvordan man konverterer fra streng til int

Derfor er AC = (AE + EC) = 3,75 + 4,5 = 8,25 cm.

Spørgsmål 2: I figur 1 DE || f.Kr. Hvis AD = 1,7 cm, AB = 6,8 cm og AC = 9 cm. Find AE?

Løsning:

Lad AE = x cm.

I △ABC, DE || B.C.

Ved Thales sætning har vi,

AD/AB = AE/AC

1,7/6,8 = x/9

x = (1,7×9)/6,8 = 2,25 cm

AE = 2,25 cm

Derfor AE = 2,25 cm

Spørgsmål 3: Bevis, at en linje trukket gennem midtpunktet af den ene side af en trekant (figur 1) parallelt med en anden side, halverer den tredje side.

Løsning:

Givet en ΔΑΒC, hvor D er midtpunktet af AB og DE || BC, møde AC ved E.

FOR AT BEVISE AE = EC.

Bevis: Siden DE || f.Kr., ved Thales' sætning, har vi:

AE/AD = EC/DB =1 (AD = DB, givet)

AE/EC = 1

AE = EC

Spørgsmål 4: I den givne figur 2 er AD/DB = AE/EC og ∠ADE = ∠ACB. Bevis at ABC er en ligebenet trekant.

Løsning:

Vi har AD/DB = AE/EC DE || BC [ved det modsatte af Thales' sætning]

∠ADE = ∠ABC (tilsvarende ∠s)

Men ∠ADE = ∠ACB (givet).

Derfor er ∠ABC = ∠ACB.

Så AB = AC [sider modsat lige vinkler].

Derfor er △ABC en ligebenet trekant.

Spørgsmål 5: Hvis D og E er punkter på henholdsvis siderne AB og AC af △ABC (figur 2), således at AB = 5,6 cm, AD = 1,4 cm, AC = 7,2 cm og AE = 1,8 cm, vis at DE | | f.Kr.

Løsning:

Givet, AB = 5,6 cm, AD = 1,4 cm, AC = 7,2 cm og AE = 1,8 cm

AD/AB = 1,4/5,6 = 1/4 og AE/AC = 1,8/7,2 = 1/4

AD/AB = AE/AC

Derfor, ved omvendt af Thales sætning, DE || f.Kr.

Spørgsmål 6: Bevis, at linjestykket, der forbinder midtpunkterne på to sider af en trekant (figur 2), er parallelt med den tredje side.

Løsning:

I △ABC hvor D og E er midtpunkterne for henholdsvis AB og AC.

Da D og E er midtpunkterne for henholdsvis AB og AC, har vi:

AD = DB og AE = EC.

AD/DB = AE/EC (hver lig med 1)

Derfor, ved omvendt af Thales sætning, DE || f.Kr

Vigtige matematikrelaterede links:

  • Hvad er simpel interesse
  • Tabsformel
  • Vinkel Sum Ejendom
  • Delbarhed med 11
  • Søjlediagram
  • Brug af trigonometri
  • Liste over naturlige tal
  • Pythagoras model
  • Matematik projekt for klasse 9

Øvelsesspørgsmål Lignende trekanter

Q1. I to ens trekanter △ABC og △ADE, hvis DE || BC og AD = 3 cm, AB = 8 cm og AC = 6 cm. Find AE.

Q2. I to ens trekanter △ABC og △PQR, hvis QR || BC og PQ = 2 cm, AB = 12 cm og AC = 9 cm. Find PR.

Q3. I to ens trekanter ΔABC og ΔAPQ er længden af ​​siderne angivet som AP = 9 cm, PB = 12 cm og BC = 24 cm. Find forholdet mellem arealerne af ΔABC og ΔAPQ.

Q4. I to ens trekanter ΔABC og ΔAPQ er længden af ​​siderne angivet som AP = 3 cm, PB = 4 cm og BC = 8 cm. Find forholdet mellem arealerne af ΔABC og ΔAPQ.

Resumé – Lignende trekanter

Lignende trekanter er geometriske figurer, der deler den samme form, men adskiller sig i størrelse, karakteriseret ved ens tilsvarende vinkler og proportionale tilsvarende sider. Nøglesætninger som Angle-Angle (AA), Side-Angle-Side (SAS) og Side-Side-Side (SSS) etablerer kriterier for trekantslighed.

Disse principper er grundlæggende inden for områder som teknik, computergrafik og arkitektur på grund af deres evne til at opretholde formintegritet under skalering. Thales' sætning, eller Basic Proportionality Theorem, illustrerer, hvordan en linje parallel med den ene side af en trekant deler de to andre proportionalt, hvilket yderligere demonstrerer begrebet lighed i trekanter.

Lignende trekanter er afgørende for praktiske anvendelser lige fra beregning af højder og afstande i navigation til optimering af designs inden for teknologi og konstruktion, der demonstrerer deres vidtrækkende relevans i både akademiske og virkelige sammenhænge.

Lignende trekanter – ofte stillede spørgsmål

Hvad er lignende trekanter klasse 10?

Lignende trekanter er de trekanter, der gav alle vinklerne lige, og deres sider er i et fælles forhold. De har en lignende form, men ikke et lignende område.

c# ordbog

Hvad er formler for lignende trekanter?

Lignende trekantformler er de formler, der fortæller os, om to trekanter ligner hinanden eller ej. For to trekanter △ABC og △XYZ er formlen for lignende trekanter,

  • ∠A = ∠X, ∠B = ∠Y og ∠C = ∠Z
  • AB/XY = BC/YZ = CA/ZX

Hvilket symbol bruges til at repræsentere lignende trekanter?

Lignende trekanter er repræsenteret ved hjælp af '~'-symbolet. Hvis to trekanter △ABC og △XYZ er ens, repræsenterer vi dem som △ABC ~ △XYZ, det læses som trekant ABC svarende til trekanten XYZ.

Hvad er 3 lignende trekantsætninger?

Vi kan nemt bevise, at to trekanter ligner hinanden ved at bruge tre trekanters sætning, der er,

  • AA (eller AAA) eller Angle-Angle Similarity Theorem
  • SAS eller Side-Angle-Side Similarity Theorem
  • SSS eller Side-Side-Side Similarity Theorem

Hvad er egenskaber ved lignende trekanter?

De vigtige egenskaber ved den lignende trekant er,

  • Lignende trekanter har faste former, men deres størrelser kan være forskellige.
  • Tilsvarende vinkler er ens i en lignende trekant.
  • Tilsvarende sider er i fælles forhold i en lignende trekant.

Hvordan ved man, om to trekanter er ens?

Hvis alle vinklerne i en trekant er lige store, kan vi sagtens sige, at trekanter er ens.

Hvilke trekanter er altid ens?

Trekanten, som altid er ens, er en ligesidet trekant. Da alle vinklerne i de ligesidede trekanter altid er 60 grader, er to ligesidede trekanter altid ens.

Hvad er lignende trekanters areal?

Forholdet mellem arealet af to ens trekanter er altid lig med forholdet mellem kvadraterne på deres sider. For to trekanter △ABC og △XYZ kan vi sige, at

  • område △ABC / område △XYZ = (AB / XY)2

Hvad er lignende trekantkriterier?

Lignende trekantskriterier er kriterierne, hvor vi kan erklære tre trekanter som lignende trekanter, og disse tre kriterier er,

  • AAA-kriterier (Angle-Angle-Criteria)
  • SAS-kriterier (Side-Angle-Side Criteria)
  • SSS-kriterier (Side-Side-Side Criteria)

Hvem er faderen til lignende trekanter?

Euklid, den antikke græske matematiker, der ofte omtales som geometriens fader, gav grundlæggende principper for at forstå lignende trekanter i sit værk Elements.

Er lignende trekanter proportionale?

Ja, lignende trekanter er proportionale. Dette betyder, at de tilsvarende sider af lignende trekanter er i forhold, hvilket indebærer, at forholdet mellem tilsvarende sider af lignende trekanter forbliver konstant.

Hvilke trekanter er altid ens?

Trekanter, der har de samme tre vinkler, er altid ens. Dette er en grundlæggende egenskab kendt som vinkel-vinkel (AA) lighedskriteriet.

Er alle retvinklede trekanter ens?

Nej, ikke alle retvinklede trekanter er ens. Mens retvinklede trekanter med de samme spidse vinkler er ens, kan længden af ​​hypotenusen og forholdet mellem sidelængder variere, hvilket fører til ulighed mellem retvinklede trekanter.

Hvad er forholdet mellem to ens trekanter?

Forholdet mellem to tilsvarende sider i lignende trekanter forbliver konstant. Det betyder, at hvis du tager tilsvarende sider af ens trekanter og danner et forhold, vil resultatet altid være det samme, uanset de specifikke sidelængder, der er valgt.