En rekursiv funktion er en funktion, hvis værdi på ethvert punkt kan beregnes ud fra værdierne af funktionen på nogle tidligere punkter. Antag for eksempel en funktion f(k) = f(k-2) + f(k-3), som er defineret over et ikke-negativt heltal. Hvis vi har værdien af ​​funktionen ved k = 0 og k = 2, kan vi også finde dens værdi ved et hvilket som helst andet ikke-negativt heltal. Med andre ord kan vi sige, at en rekursiv funktion refererer til en funktion, der bruger sine egne tidligere punkter til at bestemme efterfølgende led og dermed danner en termsekvens. I denne artikel vil vi lære om rekursive funktioner sammen med visse eksempler.

Hvad er rekursion?

Rekursion refererer til en proces, hvor en rekursiv proces gentager sig selv. Rekursiv er en slags funktion af en og flere variable, normalt specificeret af en bestemt proces, der producerer værdier af denne funktion ved løbende at implementere en bestemt relation til kendte værdier af funktionen.

Her vil vi forstå rekursionen ved hjælp af et eksempel.

Antag, at du tager en trappe for at nå første sal fra stueetagen. Så for at gøre dette skal du tage et efter et skridt. Der er kun en måde at gå til det andet trin, som er til det stejle første trin. Antag, at du vil gå til det tredje trin; du skal tage det andet skridt først. Her kan du tydeligt se gentagelsesprocessen. Her kan du se, at du med hvert næste trin tilføjer det forrige trin som en gentaget sekvens med den samme forskel mellem hvert trin. Dette er selve konceptet bag den rekursive funktion.

eks af brugernavn

Trin 2: Trin 1 + laveste trin.

Trin 3: Trin 2 + Trin 1 + laveste trin.

Trin 4: Trin 3 + trin 2 + trin 1+ laveste trin, og så videre.

Et sæt naturlige tal er det grundlæggende eksempel på de rekursive funktioner, der starter fra man går til uendelig, 1,2,3,4,5,6,7,8, 9,…….infinitiv. Derfor viser mængden af ​​naturlige tal en rekursiv funktion, fordi du kan se en fælles forskel mellem hvert led som 1; det viser hver gang det næste led gentages af det forrige led.

Hvad er en rekursivt defineret funktion?

De rekursivt definerede funktioner består af to dele. Den første del omhandler den mindste argumentdefinition, og på den anden side omhandler anden del den n'te termdefinition. Det mindste argument er angivet med f (0) eller f (1), hvorimod det n'te argument er angivet med f (n).

Følg det givne eksempel.

Antag at en sekvens er 4,6,8,10

Den eksplicitte formel for ovenstående sekvens er f (n)= 2n + 2

Den eksplicitte formel for ovenstående sekvens er givet af

f (0) = 2

f(n) = f (n-1) + 2

Nu kan vi få sekvensleddene ved at anvende den rekursive formel som følger f(2 ) f (1) + 2

f(2) = 6

f (0) = 2

f(1) = f(0) + 2

f (1) = 2 + 2 = 4

f(2) = f (1) + 2

f(2) = 4 + 2 = 6

execlp

f(3) = f (2) + 2

f(3) = 6 + 2 = 8

Ved hjælp af ovenstående rekursive funktionsformel kan vi bestemme næste led.

Hvad gør funktionen rekursiv?

At gøre enhver funktion rekursiv kræver sit eget led for at beregne det næste led i rækkefølgen. For eksempel, hvis du vil beregne det n'te led i den givne sekvens, skal du først kende det forrige led og det før det foregående led. Derfor skal du kende det foregående udtryk for at finde ud af, om sekvensen er rekursiv eller ikke rekursiv. Så vi kan konkludere, at hvis funktionen har brug for det foregående led for at bestemme det næste led i rækkefølgen, betragtes funktionen som en rekursiv funktion.

Formlen for den rekursive funktion

Hvis en₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, ……..a_n,……er mange sæt eller en sekvens, så skal en rekursiv formel beregne alle de termer, der eksisterede tidligere for at beregne værdien af ​​en

-en_n= a_n-1+-en₁

Ovenstående formel kan også defineres som aritmetisk sekvens rekursiv formel. Du kan tydeligt se i rækkefølgen nævnt ovenfor, at det er en aritmetisk rækkefølge, som omfatter det første led efterfulgt af de andre led og en fælles forskel mellem hvert led. Den fælles forskel refererer til et tal, som du tilføjer eller trækker fra til dem.

En rekursiv funktion kan også defineres som den geometriske sekvens, hvor talmængderne eller en sekvens har en fælles faktor eller fælles forhold mellem sig. Formlen for den geometriske rækkefølge er givet som

-en_n= a_{n-1 *}r

Normalt er den rekursive funktion defineret i to dele. Den første er udsagnet af det første led sammen med formlen, og en anden er udsagnet af det første led sammen med reglen relateret til de efterfølgende led.

Hvordan man skriver en rekursiv formel for aritmetisk rækkefølge

For at skrive den rekursive formel for aritmetisk sekvensformel skal du følge de givne trin

Trin 1:

I det første trin skal du sikre dig, om den givne rækkefølge er aritmetisk eller ej (for dette skal du tilføje eller trække to på hinanden følgende led). Hvis du får det samme output, så tages rækkefølgen som en aritmetisk rækkefølge.

Trin 2:

Nu skal du finde den fælles forskel for den givne sekvens.

Trin 3:

Formuler den rekursive formel ved hjælp af det første led, og opret derefter formlen ved at bruge det foregående udtryk og fælles forskel; dermed får du det givne resultat

-en_n= a_n-1+d

nu forstår vi den givne formel ved hjælp af et eksempel

antag, at 3,5,7,9,11 er en given sekvens

I ovenstående eksempel kan du nemt finde ud af, at det er den aritmetiske rækkefølge, fordi hvert led i rækkefølgen øges med 2. Så den fælles forskel mellem to led er 2. Vi kender formlen for rekursiv rækkefølge

-en_n= a_n-1+d

givet,

d = 2

-en₁= 3

så,

-en₂= a_(2-1)+ 2 = a₁+2 = 3+2 = 5

-en₃= a_(3-1)+ 2 = a₂+2 = 5+2 = 7

fibonacci-sekvens java

-en₄= a_(4-1)+ 2 = a₃+2 = 7+2 = 9

-en₅= a_(5-1)+ 2 = a + 2 = 9+2 = 11, og processen fortsætter.

Hvordan skriver man en rekursiv formel for geometrisk sekvens?

For at skrive den rekursive formel for geometrisk sekvensformel skal du følge de givne trin:

Trin 1

I det første trin skal du sikre dig, om den givne sekvens er geometrisk eller ej (for dette skal du gange eller dividere hvert led med et tal). Hvis du får det samme output fra et led til det næste led, tages rækkefølgen som en geometrisk rækkefølge.

Trin 2

Nu skal du finde det fælles forhold for den givne sekvens.

Trin 3

Formuler den rekursive formel ved hjælp af det første led, og opret derefter formlen ved at bruge det foregående led og fælles forhold; dermed får du det givne resultat

-en_n= r_*-en_n-1

Nu forstår vi den givne formel ved hjælp af et eksempel

str til int

antag, at 2,8,32, 128,.er en given sekvens

I ovenstående eksempel kan du nemt finde ud af, at det er den geometriske rækkefølge, fordi det efterfølgende led i rækkefølgen opnås ved at gange 4 med det foregående led. Så det fælles forhold mellem to udtryk er 4. Vi kender formlen for rekursiv sekvens

-en_n= r_*-en_n-1

-en_n= 4

-en_n-1= ?

givet,

r = 4

-en₁= 2

så,

-en₂= a_(2-1)* 4 = a₁+ * 4 = 2* 4 = 8

-en₃= a_(3-1)* 4 = a₂* 4 = 8 * 4 = 32

-en₄= a_(4-1)* 4 = a₃* 4 = 32* 4 = 128, og processen fortsætter.

Eksempel på rekursiv funktion

Eksempel 1:

Bestem den rekursive formel for sekvensen 4,8,16,32,64, 128,...?

Løsning:

Givet sekvens 4,8,16,32,64,128,…..

Den givne rækkefølge er geometrisk, fordi hvis vi multiplicerer det foregående led, får vi de efterfølgende led.

For at bestemme den rekursive formel for den givne sekvens skal vi skrive den i tabelform

Derfor er den rekursive formel i funktionsbegrebet givet af

f(1) = 4, f(n) . f(n- 1)

I sænket notation er den rekursive formel givet af

-en₁= 4, a_n= 2. a_n-1