Propositionel logik er en gren af ​​matematik, der studerer de logiske forhold mellem påstande (eller udsagn, sætninger, påstande) taget som en helhed og forbundet via logiske forbindelser.

I denne artikel har vi dækket detaljeret om propositionel logik og relaterede emner.

Indholdsfortegnelse

• Hvad er logik?
• Propositionel logik
• Sandhedstabel
• 1. Negation
• 2. Konjunktion
• 3. Disjunktion
• 4. Eksklusiv Or
• 5. Implikation
• 6. Bibetinget eller dobbelt implikation

Hvad er logik?

Logik er grundlaget for al matematisk ræsonnement og al automatiseret ræsonnement. Logikkens regler angiver betydningen af ​​matematiske udsagn. Disse regler hjælper os med at forstå og ræsonnere med udsagn som –

exists~x~such~that~x~ eq~a^2~+~b^2,~where~:x,~a,~bin~Z

Hvilket på simpelt engelsk betyder Der findes et heltal, der ikke er summen af ​​to kvadrater .

Betydningen af ​​matematisk logik

Logikkens regler giver præcis mening til matematiske udsagn. Disse regler bruges til at skelne mellem gyldige og ugyldige matematiske argumenter. Bortset fra dens betydning for forståelsen af ​​matematisk ræsonnement, har logik adskillige anvendelser inden for datalogi, der varierer fra design af digitale kredsløb til konstruktion af computerprogrammer og verifikation af programmernes rigtighed.

Propositionel logik

Hvad er et forslag? Et forslag er logikkens grundlæggende byggesten. Det er defineret som en deklarativ sætning, der enten er Sand eller Falsk, men ikke begge dele. Det Sandhedsværdi af en proposition er True (betegnes som T), hvis den er en sand erklæring, og False (benævnt F), hvis den er en falsk erklæring. For eksempel,

1. Solen står op i øst og går ned i vest.
2. 1 + 1 = 2
3. 'b' er en vokal.

Alle ovenstående sætninger er påstande, hvor de to første er gyldige (sand) og den tredje er ugyldige (falsk). Nogle sætninger, der ikke har en sandhedsværdi eller kan have mere end én sandhedsværdi, er ikke påstande. For eksempel,

1. Hvad er klokken?
2. Gå ud og leg
3. x + 1 = 2

Ovenstående sætninger er ikke påstande, da de to første ikke har en sandhedsværdi, og den tredje kan være sand eller falsk. For at repræsentere forslag, propositionelle variable er brugt. Ved konvention er disse variable repræsenteret af små alfabeter som f.eksp,:q,:r,:s . Det logiske område, der beskæftiger sig med propositioner, kaldes propositionsregning eller propositionel logik . Det inkluderer også at producere nye forslag ved hjælp af eksisterende. Påstande konstrueret ved hjælp af en eller flere påstande kaldes sammensatte forslag . Forslagene kombineres vha Logiske forbindelser eller Logiske operatører .

Propositionel logik

Få den aktuelle dato i java

Sandhedstabel

Da vi har brug for at kende sandhedsværdien af ​​en proposition i alle mulige scenarier, overvejer vi alle de mulige kombinationer af propositionerne, som er forbundet med logiske forbindelser for at danne den givne sammensatte proposition. Denne kompilering af alle mulige scenarier i et tabelformat kaldes en sandhedstabel . Mest almindelige logiske forbindelser-

1. Negation

Hvisp er et forslag, så negationen afp er betegnet med eg p , som når oversat til simpelt engelsk betyder- Det er ikke tilfældet, at s eller simpelthen ikke s . Sandhedsværdien af -s er det modsatte af sandhedsværdien af s . Sandhedstabellen af -s er:

Eksempel, Negation af Det regner i dag, er Det er ikke sådan, at det regner i dag eller simpelthen Det regner ikke i dag.

2. Konjunktion

For alle to forslagp ogq , deres konjunktion er betegnet medpwedge q , hvilket betyderp ogq . Konjunktionenpwedge q er sandt, når begge delep ogq er sande, ellers falske. Sandhedstabellen afpwedge q er:

Eksempel, Sammenhæng af forslagenep – I dag er det fredag ​​ogq – Det regner i dag,pwedge q er i dag er det fredag ​​og det regner i dag. Dette forslag er kun sandt på regnfulde fredage og er forkert på enhver anden regnvejrsdag eller på fredage, når det ikke regner.

3. Disjunktion

For to forslagp ogq , deres disjunktion er betegnet medpvee q , hvilket betyderp ellerq . Adskillelsenpvee q er sandt, når entenp ellerq er sandt, ellers falsk. Sandhedstabellen afpvee q er:

Eksempel, Adskillelse af forslagenep – I dag er det fredag ​​ogq – Det regner i dag,pvee q er i dag er det fredag, eller det regner i dag. Dette forslag er sandt på enhver dag, der er en fredag ​​eller en regnvejrsdag (inklusive regnfulde fredage) og er falsk på alle andre dage end fredag, hvor det heller ikke regner.

4. Eksklusiv Or

For alle to forslagp ogq , deres eksklusive eller er betegnet medpoplus q , hvilket betyder entenp ellerq men ikke begge dele. Den eksklusive elpoplus q er sandt, når entenp ellerq er Sand og Falsk, når begge er sande, eller begge er falske. Sandhedstabellen afpoplus q er:

Eksempel, Eksklusiv eller af forslagenep – I dag er det fredag ​​ogq – Det regner i dag,poplus q Enten er det fredag ​​i dag, eller også regner det i dag, men ikke begge dele. Dette forslag er sandt på enhver dag, der er en fredag ​​eller en regnvejrsdag (ikke inklusive regnfulde fredage) og er falsk på alle andre dage end fredag, hvor det ikke regner eller regner fredage.

5. Implikation

For alle to forslagp ogq , erklæringen ifp derefterq kaldes en implikation og det er betegnet medp ightarrow q . I implikationenp ightarrow q ,p kaldes hypotese eller forudgående eller præmis ogq kaldes konklusion eller følge . Implikationen erp ightarrow q kaldes også en betinget erklæring . Implikationen er falsk hvornårp er sandt ogq er falsk ellers er det sandt. Sandhedstabellen afp ightarrow q er:

Man kan undre sig over, hvorfor er detp ightarrow q sandt hvornårp er falsk. Dette skyldes, at implikationen garanterer, at hvornårp ogq er sande, så er implikationen sand. Men implikationen garanterer ikke noget, når præmissenp er falsk. Der er ingen måde at vide, om implikationen er falsk eller ejp skete ikke. Denne situation ligner den uskyldige indtil bevist skyldig holdning, hvilket betyder, at implikationenp ightarrow q betragtes som sandt, indtil det er bevist falsk. Da vi ikke kan kalde implikationenp ightarrow q falsk hvornårp er falsk, er vores eneste alternativ at kalde det sandt.

Dette følger af Eksplosionsprincippet som siger: En falsk udsagn indebærer alt. Betingede udsagn spiller en meget vigtig rolle i matematisk ræsonnement, og derfor bruges en række forskellige terminologier til at udtrykkep ightarrow q , hvoraf nogle er anført nedenfor.

Hvis p, så er qp tilstrækkeligt for qq, når pa nødvendig betingelse for p kun er qp, hvis qq, medmindre ≠pq følger af p

Eksempel, Hvis det er fredag, så regner det i dag, er et forslag, som er af formenp ightarrow q . Ovenstående forslag er sandt, hvis det ikke er fredag ​​(forudsætningen er falsk), eller hvis det er fredag, og det regner, og det er forkert, når det er fredag, men det regner ikke.

tilføje i array java

6. Bibetinget eller dobbelt implikation

For alle to forslagp ogq , udtalelsenp hvis og kun hvis (if)q kaldes en bibetinget og den er betegnet medpleftrightarrow q . Udtalelsenpleftrightarrow q kaldes også en bi-implikation .pleftrightarrow q har samme sandhedsværdi som(p ightarrow q) wedge (q ightarrow p) Implikationen er sand hvornårp ogq har samme sandhedsværdier, og er ellers falsk. Sandhedstabellen afpleftrightarrow q er:

Nogle andre almindelige måder at udtrykke sig påpleftrightarrow q er:

p er nødvendigt og tilstrækkeligt for qif p derefter q, og omvendt p hvis q

Eksempel: Det regner i dag, hvis og kun hvis det er fredag ​​i dag. er et forslag, som er af formenpleftrightarrow q . Ovenstående forslag er sandt, hvis det ikke er fredag, og det ikke regner, eller hvis det er fredag, og det regner, og det er forkert, når det ikke er fredag, eller det ikke regner. Dyrke motion:

instruktør Karan Johar

1) Overvej følgende udsagn:

• P: Gode mobiltelefoner er ikke billige.
• Q: Billige mobiltelefoner er ikke gode.
• L: P betyder Q
• M: Q betyder P
• N: P svarer til Q

Hvilken af ​​følgende om L, M og N er KORREKT? (Gate 2014)

(EN) Kun L er SAND.

(B) Kun M er SAND.

(C) Kun N er SAND.

(D) L, M og N er SAND.

For løsning, se PORT | GATE-CS-2014-(Set-3) | Spørgsmål 11

2) Hvilken af ​​følgende svarer ikke til p?q (Gate 2015)

(A)( eg p vee q)wedge(p vee eg q ) (B)( eg p vee q)wedge(q ightarrow p ) (C)( eg p wedge q)vee(p wedge eg q ) (D)( eg p wedge eg q)vee(p wedge q )

For løsning, se PORT | GATE-CS-2015 (Sæt 1) | Spørgsmål 65