logo

TechCodeview

Primtal

Hvad er primtal?

EN primtal defineres som et naturligt tal større end 1 og er kun delelig med 1 og sig selv.

Primtallet er med andre ord et positivt heltal større end 1, der har præcis to faktorer, 1 og selve tallet. De første par primtal er 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. . .



Bemærk: 1 er hverken prime eller sammensat. De resterende tal, bortset fra 1, er klassificeret som primtal og sammensatte tal.

Primtal

Nogle interessante fakta om primtal:

  • Bortset fra 2, som er den mindste primtal og det eneste lige primtal, alle primtal er ulige tal.
  • Hvert primtal kan repræsenteres i form af 6n + 1 eller 6n – 1 undtagen primtallene 2 og 3 , hvor n er ethvert naturligt tal.
  • 2 og 3 er kun to på hinanden følgende naturlige tal, der er primtal.
  • Goldbachs formodning: Hvert lige heltal større end 2 kan udtrykkes som summen af ​​to primtal.
  • Wilsons sætning : Wilsons sætning siger, at et naturligt tal p> 1 er et primtal, hvis og kun hvis

(p – 1) ! ≡ -1 mod p
ELLER,
(s – 1) ! ≡ (p-1) mod s



-enn-1≡ 1 (mod n)
ELLER,
-enn-1% n = 1

  • Primtalssætning : Sandsynligheden for, at et givet, tilfældigt valgt tal n er primtal, er omvendt proportional med dets antal cifre eller med logaritmen af ​​n.
  • Lemoines formodning : Ethvert ulige heltal større end 5 kan udtrykkes som summen af ​​et ulige primtal (alle primtal bortset fra 2 er ulige) og et lige semiprimtal. Et semiprimtal er et produkt af to primtal. Dette kaldes Lemoines formodning.

Primtals egenskaber:

  • Hvert tal større end 1 kan divideres med mindst ét ​​primtal.
  • Hvert lige positivt heltal større end 2 kan udtrykkes som summen af ​​to primtal.
  • Bortset fra 2 er alle andre primtal ulige. Med andre ord kan vi sige, at 2 er det eneste lige primtal.
  • To primtal er altid coprime til hinanden.
  • Hvert sammensat tal kan indregnes i primfaktorer, og hver for sig er alle disse unikke.

Primtal og Co-primtal:

Det er vigtigt at skelne mellem Primtal og co-primtal . Nedenfor er anført forskellene mellem primtal og co-primtal.

  • Coprimtal betragtes altid som et par, hvorimod et primtal er et enkelt tal.
  • Co-primtal er tal, der ikke har nogen fælles faktor undtagen 1. Derimod har primtal ikke en sådan betingelse.
  • Et co-primtal kan enten være primtal eller sammensat, men dets største fælles faktor (GCF) skal altid være 1. I modsætning til sammensatte tal har primtal kun to faktorer, 1 og selve tallet.
  • Eksempel på co-prime: 13 og 15 er co-prime. Faktorerne 13 er 1 og 13 og faktorerne 15 er 1, 3 og 5. Vi kan se, at de kun har 1 som deres fælles faktor, derfor er de coprimtal.
  • Eksempel på prime: Et par eksempler på primtal er 2, 3, 5, 7 og 11 osv.

Hvordan kontrollerer man, om et tal er prime eller ej?

Naiv tilgang: Den naive tilgang er at



Gentag fra 2 til (n-1), og kontroller, om et tal i dette interval deler sig n . Hvis tallet deler sig n , så er det ikke et primtal.

Tidskompleksitet: PÅ)
Hjælpeplads: O(1)

Naiv tilgang (rekursiv): Rekursion kan også bruges til at kontrollere, om et tal mellem 2 til n – 1 deler n. Hvis vi finder et tal, der deler, returnerer vi falsk.

Nedenfor er implementeringen af ​​ovenstående idé:

C++




// C++ program to check whether a number> // is prime or not using recursion> #include> using> namespace> std;> > // function check whether a number> // is prime or not> bool> isPrime(>int> n)> {> >static> int> i = 2;> > >// corner cases> >if> (n == 0 || n == 1) {> >return> false>;> >}> > >// Checking Prime> >if> (n == i)> >return> true>;> > >// base cases> >if> (n % i == 0) {> >return> false>;> >}> >i++;> >return> isPrime(n);> }> > // Driver Code> int> main()> {> > >isPrime(35) ? cout <<>' true '> : cout <<>' false '>;> >return> 0;> }> > // This code is contributed by yashbeersingh42> 

>

>

Java




// Java program to check whether a number> // is prime or not using recursion> import> java.io.*;> > class> GFG {> > >static> int> i =>2>;> > >// Function check whether a number> >// is prime or not> >public> static> boolean> isPrime(>int> n)> >{> > >// Corner cases> >if> (n ==>0> || n ==>1>) {> >return> false>;> >}> > >// Checking Prime> >if> (n == i)> >return> true>;> > >// Base cases> >if> (n % i ==>0>) {> >return> false>;> >}> >i++;> >return> isPrime(n);> >}> > >// Driver Code> >public> static> void> main(String[] args)> >{> >if> (isPrime(>35>)) {> >System.out.println(>'true'>);> >}> >else> {> >System.out.println(>'false'>);> >}> >}> }> > // This code is contributed by divyeshrabadiya07> 

>

>

Python3




# Python3 program to check whether a number> # is prime or not using recursion> > # Function check whether a number> # is prime or not> > > def> isPrime(n, i):> > ># Corner cases> >if> (n>=>=> 0> or> n>=>=> 1>):> >return> False> > ># Checking Prime> >if> (n>=>=> i):> >return> True> > ># Base cases> >if> (n>%> i>=>=> 0>):> >return> False> > >i>+>=> 1> > >return> isPrime(n, i)> > > # Driver Code> if> (isPrime(>35>,>2>)):> >print>(>'true'>)> else>:> >print>(>'false'>)> > # This code is contributed by bunnyram19> 

>

>

C#




// C# program to check whether a number> // is prime or not using recursion> using> System;> class> GFG {> > >static> int> i = 2;> > >// function check whether a number> >// is prime or not> >static> bool> isPrime(>int> n)> >{> > >// corner cases> >if> (n == 0 || n == 1) {> >return> false>;> >}> > >// Checking Prime> >if> (n == i)> >return> true>;> > >// base cases> >if> (n % i == 0) {> >return> false>;> >}> >i++;> >return> isPrime(n);> >}> > >static> void> Main()> >{> >if> (isPrime(35)) {> >Console.WriteLine(>'true'>);> >}> >else> {> >Console.WriteLine(>'false'>);> >}> >}> }> > // This code is contributed by divyesh072019> 

>

>

Javascript




> >// JavaScript program to check whether a number> >// is prime or not using recursion> > >// function check whether a number> >// is prime or not> >var> i = 2;> > >function> isPrime(n) {> > >// corner cases> >if> (n == 0 || n == 1) {> >return> false>;> >}> > >// Checking Prime> >if> (n == i)>return> true>;> > >// base cases> >if> (n % i == 0) {> >return> false>;> >}> >i++;> >return> isPrime(n);> >}> > >// Driver Code> > >isPrime(35) ? document.write(>' true '>) : document.write(>' false '>);> > >// This code is contributed by rdtank.> >>

tojson java 

>

>

Produktion 

 false>

Tidskompleksitet: PÅ)
Hjælpeplads: O(N), hvis vi betragter rekursionsstakken. Ellers er det O(1).

Effektiv tilgang: En effektiv løsning er at:

Gentag gennem alle tal fra 2 til kvadratrod af n og for hvert tal tjek om det deler n [fordi hvis et tal er udtrykt som n = xy og enhver af x eller y er større end roden af ​​n, den anden skal være mindre end rodværdien]. Hvis vi finder et tal, der deler, returnerer vi falsk.

Nedenfor er implementeringen:

C++14




// A school method based C++ program to> // check if a number is prime> #include> using> namespace> std;> > // Function check whether a number> // is prime or not> bool> isPrime(>int> n)> {> >// Corner case> >if> (n <= 1)> >return> false>;> > >// Check from 2 to square root of n> >for> (>int> i = 2; i <=>sqrt>(n); i++)> >if> (n % i == 0)> >return> false>;> > >return> true>;> }> > // Driver Code> int> main()> {> >isPrime(11) ? cout <<>'true '> : cout <<>'false '>;> >return> 0;> }> 

>

>

Java




// A school method based Java program to> // check if a number is prime> import> java.lang.*;> import> java.util.*;> > class> GFG {> > >// Check for number prime or not> >static> boolean> isPrime(>int> n)> >{> > >// Check if number is less than> >// equal to 1> >if> (n <=>1>)> >return> false>;> > >// Check if number is 2> >else> if> (n ==>2>)> >return> true>;> > >// Check if n is a multiple of 2> >else> if> (n %>2> ==>0>)> >return> false>;> > >// If not, then just check the odds> >for> (>int> i =>3>; i <= Math.sqrt(n); i +=>2>) {> >if> (n % i ==>0>)> >return> false>;> >}> >return> true>;> >}> > >// Driver code> >public> static> void> main(String[] args)> >{> >if> (isPrime(>19>))> >System.out.println(>'true'>);> > >else> >System.out.println(>'false'>);> >}> }> > // This code is contributed by Ronak Bhensdadia> 

>

>

Python3




# A school method based Python3 program> # to check if a number is prime> > > # import sqrt from math module> from> math>import> sqrt> > > > # Function check whether a number> # is prime or not> def> isPrime(n):> > ># Corner case> >if> (n <>=> 1>):> >return> False> > ># Check from 2 to sqrt(n)> >for> i>in> range>(>2>,>int>(sqrt(n))>+>1>):> >if> (n>%> i>=>=> 0>):> >return> False> > >return> True> > > # Driver Code> if> __name__>=>=> '__main__'>:> >if> isPrime(>11>):> >print>(>'true'>)> >else>:> >print>(>'false'>)> > # This code is contributed by Sachin Bisht> 

>

>

C#




// A school method based C# program to> // check if a number is prime> using> System;> > class> GFG {> > >// Function check whether a> >// number is prime or not> >static> bool> isPrime(>int> n)> >{> >// Corner case> >if> (n <= 1)> >return> false>;> > >// Check from 2 to sqrt(n)> >for> (>int> i = 2; i <= Math.Sqrt(n); i++)> >if> (n % i == 0)> >return> false>;> > >return> true>;> >}> > >// Driver Code> >static> void> Main()> >{> >if> (isPrime(11))> >Console.Write(>'true'>);> > >else> >Console.Write(>'false'>);> >}> }> > // This code is contributed by Sam007> 

>

>

Javascript

hvornår blev den første computer opfundet




// A school method based Javascript program to> // check if a number is prime> > > // Function check whether a number> // is prime or not> function> isPrime(n)> {> >// Corner case> >if> (n <= 1)> >return> false>;> > >// Check from 2 to n-1> >for> (let i = 2; i if (n % i == 0) return false; return true; } // Driver Code isPrime(11) ? console.log(' true') : console.log(' false'); // This code is contributed by Mayank Tyagi> 

>

>

PHP




// A school method based PHP program to // check if a number is prime // Function check whether a number // is prime or not function isPrime($n) { // Corner case if ($n <= 1) return false; // Check from 2 to n-1 for ($i = 2; $i <$n; $i++) if ($n % $i == 0) return false; return true; } // Driver Code if(isPrime(11)) echo('true'); else echo('false'); // This code is contributed by Ajit. ?>> 

>

>

Produktion 

true>

Tidskompleksitet: O(sqrt(n))
Hjælpeplads: O(1)

En anden effektiv tilgang: For at kontrollere, om tallet er primtal eller ej, følg nedenstående idé:

Vi vil beskæftige os med nogle få tal såsom 1, 2, 3 og de tal, der er delelige med 2 og 3 i separate tilfælde og for resterende tal. Iterer fra 5 til sqrt(n) og kontroller for hver iteration, om (den værdi) eller (den værdi + 2) deler n eller ej, og forøg værdien med 6 [fordi ethvert primtal kan udtrykkes som 6n+1 eller 6n-1 ]. Hvis vi finder et tal, der deler, returnerer vi falsk.

Nedenfor er implementeringen af ​​ovenstående idé:

C++


smid java undtagelseshåndtering ind



// A school method based C++ program to> // check if a number is prime> #include> using> namespace> std;> > // Function check whether a number> // is prime or not> bool> isPrime(>int> n)> > > // Driver Code> int> main()> {> >isPrime(11) ? cout <<>'true '> : cout <<>'false '>;> >return> 0;> }> // This code is contributed by Suruchi kumari> 

>

>

C




// A school method based C program to> // check if a number is prime> #include> #include> > // Function check whether a number> // is prime or not> int> isPrime(>int> n)> n % 3 == 0)> >return> 0;> >// Check from 5 to square root of n> >// Iterate i by (i+6)> >for> (>int> i = 5; i * i <= n; i = i + 6)> >if> (n % i == 0> > // Driver Code> int> main()> {> >if> (isPrime(11) == 1)> >printf>(>'true '>);> >else> >printf>(>'false '>);> >return> 0;> }> // This code is contributed by Suruchi Kumari> 

>

>

Java




// Java program to check whether a number> import> java.lang.*;> import> java.util.*;> > class> GFG {> > >// Function check whether a number> >// is prime or not> >public> static> boolean> isPrime(>int> n)> >> >if> (n <=>1>)> >return> false>;> > >// Check if n=2 or n=3> >if> (n ==>2> > > >// Driver Code> >public> static> void> main(String[] args)> >{> >if> (isPrime(>11>)) {> >System.out.println(>'true'>);> >}> >else> {> >System.out.println(>'false'>);> >}> >}> }> > // This code is contributed by Sayan Chatterjee> 

>

>

Python3




import> math> > def> is_prime(n:>int>)>->>>bool>:> > ># Check if n=1 or n=0> >if> n <>=> 1>:> >return> 'false'> > ># Check if n=2 or n=3> >if> n>=>=> 2> or> n>=>=> 3>:> >return> 'true'> > ># Check whether n is divisible by 2 or 3> >if> n>%> 2> =>=> 0> or> n>%> 3> =>=> 0>:> >return> 'false'> > ># Check from 5 to square root of n> ># Iterate i by (i+6)> >for> i>in> range>(>5>,>int>(math.sqrt(n))>+>1>,>6>):> >if> n>%> i>=>=> 0> or> n>%> (i>+> 2>)>=>=> 0>:> >return> 'false'> > >return> 'true'> > if> __name__>=>=> '__main__'>:> >print>(is_prime(>11>))> 

>

>

C#




// C# program to check whether a number> using> System;> class> GFG {> > >// Function check whether a number> >// is prime or not> >public> static> bool> isPrime(>int> n)> >> > >// Driver Code> >public> static> void> Main(String[] args)> >{> >if> (isPrime(11)) {> >Console.WriteLine(>'true'>);> >}> >else> {> >Console.WriteLine(>'false'>);> >}> >}> }> > // This code is contributed by Abhijeet> // Kumar(abhijeet_19403)> 

>

>

Javascript




// A school method based JS program to> // check if a number is prime> > > // Function check whether a number> // is prime or not> function> isPrime(n)> n % (i + 2) == 0)> >return> false>;> > >return> true>;> > > // Driver Code> isPrime(11) ? console.log(>'true'>) : console.log(>'false'>);> > > // This code is contributed by phasing17> 

>

>

Produktion 

true>

Tidskompleksitet: O(sqrt(n))
Hjælpeplads: O(1)

Effektive løsninger

  • Primalitetstest | Sæt 1 (Introduktion og skolemetode)
  • Primalitetstest | Sæt 2 (Fermat-metode)
  • Primalitetstest | Sæt 3 (Miller-Rabin)
  • Primalitetstest | Sæt 4 (Solovay-Strassen)
  • Lucas Primality Test

Algoritmer til at finde alle primtal mindre end N.

  • Sigte af Eratosthenes
  • Sigte af Eratosthenes i 0(n) tidskompleksitet
  • Segmenteret sigte
  • Sigte af Sundaram
  • Bitvis sigte
  • Seneste artikler om Sieve!

Flere problemer relateret til primtal

  • Find to forskellige primtal med -en givet produkt
  • Udskriv alle primtal mindre end eller lig med N
  • Rekursivt program for primtal
  • Find to primtal med -en givet sum
  • Find det højest forekommende ciffer i primtal i et interval
  • Prime Factorization ved hjælp af Sieve O(log n) til flere forespørgsler
  • Program til at udskrive alle primfaktorer af et givet tal
  • Mindste primfaktor for tal indtil n
  • Primære faktorer for LCM af array-elementer – techcodeview.com
  • Program for Goldbachs formodning
  • Primtal og Fibonacci
  • Komposit nummer
  • Seneste artikler om primtal!