Objektiv funktion er formålet med det lineære programmeringsproblem, som navnet antyder. I lineær programmering eller lineær optimering bruger vi forskellige teknikker og metoder til at finde den optimale løsning på det lineære problem med nogle begrænsninger. Teknikken kan også omfatte ulighedsbegrænsninger. Den objektive funktion i Lineær Programmering er at optimere for at finde den optimale løsning til et givent problem.

I denne artikel vil vi lære alt om objektivfunktionen inklusive dens definition, typer, hvordan man formulerer en objektiv funktion for et givet problem osv. Vi vil også lære forskellige repræsentationer af objektivfunktioner såsom lineære målfunktioner eller ikke-lineære mål funktioner. Så lad os begynde at lære om dette grundlæggende koncept i lineær programmering, dvs. Objektiv funktion.

Hvad er objektiv funktion?

Som navnet antyder, sætter den objektive funktion grundlæggende målet for problemet. Det fokuserer på beslutningstagning baseret på begrænsninger. Det er en funktion med virkelig værdi, der enten skal maksimeres eller minimeres afhængigt af begrænsningerne. Det er ligesom en overskuds- eller tabsfunktion. Det er normalt betegnet med Z.

Terminologierne forbundet med Objective Function er som følger:

• Begrænsninger: De er dybest set de betingede ligninger, der styrer den lineære funktion
• Beslutningsvariabler: De variabler, hvis værdier skal findes frem. Ligningerne løses for at få den optimale værdi af disse variable.
• Gennemførlig region: Det er det område i grafen, hvor begrænsningerne er opfyldt, og beslutningsvariablerne findes i hjørnerne af regionen.
• Optimal løsning: Den bedst mulige løsning, der opfylder alle begrænsninger og opnår det højeste eller laveste mål.
• Uigennemførlig løsning: En løsning, der overtræder en eller flere begrænsninger og ikke kan implementeres eller udføres.

Objektiv funktion i lineær programmering

I lineær programmering er en objektiv funktion en lineær funktion, der omfatter to beslutningsvariable. Det er en lineær funktion, der skal maksimeres eller minimeres afhængigt af begrænsningerne. Hvis a og b er konstanter, og x og y er beslutningsvariable, hvor x> 0 og y> 0, så er objektivfunktionen

Z = axe + by

Så for at få den optimale værdi af optimeringsfunktionen først skal vi løse begrænsningerne ved hjælp af en hvilken som helst af teknikkerne og finde ud af beslutningsvariablerne. Derefter sætter vi værdierne af beslutningsvariabler i funktionen Objektiv for at generere den optimale værdi.

java-sammenkædede strenge

Formulering af en målfunktion

Lineær programmering handler om at finde de optimale værdier af beslutningsvariablerne og sætte disse værdier i den objektive funktion for at generere maksimum eller minimum værdi. Der er mange teknikker såsom Simplex Method og Graphical Method til at løse lineær programmering. Imidlertid foretrækkes grafisk metode normalt på grund af dens enkelhed. Trinene for at få de optimale værdier af objektivfunktionen er som følger:

• Generer begrænsningsligningerne og den objektive funktion ud fra problemet.
• Tegn begrænsningsligningerne på grafen.
• Identificer nu den mulige region, hvor begrænsningerne er opfyldt.
• Generer værdierne af beslutningsvariabler, der er placeret i hjørnerne af den mulige region.
• Sæt alle de genererede værdier i objektivfunktionen og generer den optimale værdi.

Almindelige typer af målfunktioner

Der er to typer objektive funktioner.

• Maksimeringsmålfunktion
• Minimering Objektiv funktion

Lad os diskutere disse to typer i detaljer som følger:

Maksimeringsmålfunktion

I denne type sigter vi normalt efter at maksimere den objektive funktion. De hjørner, der findes efter at have tegnet begrænsningerne, har en tendens til at generere den maksimale værdi af objektivfunktionen. Lad os illustrere ved hjælp af et eksempel

Eksempel: En mand investerer højst 8 timers tid i at lave tegnebøger og skoletasker. Han investerer 2 timer i at lave tegnebøger og 4 timer i skoletasker. Han sigter efter at lave højst 5 tegnebøger og skoletasker og ønsker at sælge dem og generere en fortjeneste på 20 Rs på en tegnebog og 100 Rs på en skoletaske. Find den objektive funktion.

Løsning:

Lad x være antallet af rotis og y være antallet af brød.

En mand kan maksimalt investere 8 timer ved at investere 2 timer på at lave en pung og 4 timer på at lave en skoletaske. Derfor er den første begrænsningsligning

2x + 4 år ⩽ 8

⇒ x + 2y ⩽ 4

Det maksimale antal han kan lave er 5

x+y ⩽ 5

Lad objektivfunktionen betegnes med Z

Derfor Z = 20x + 100y

Minimering Objektiv funktion

I denne type tilstræber vi normalt at minimere den objektive funktion. De hjørner, der findes efter at have tegnet begrænsningerne, har en tendens til at generere minimumsværdien af ​​objektivfunktionen. Lad os illustrere ved hjælp af et eksempel

Eksempel: Givet summen af ​​de to variable er mindst 20. Det er givet, at en variabel er større end lig med 9. Udled den objektive funktion, hvis prisen for en variabel er 2 enheder, og prisen for en anden variabel er 9 enheder.

Løsning:

Lad x og y være de to variable. Det er givet summen af ​​de to variable skal være mindst 20.

x+y ⩾ 20

og x ⩾ 9

Over to uligheder er begrænsninger for den følgende objektive funktion.

Lad objektivfunktionen betegnes med Z. Derfor er Z

Z = 2x + 9y

Matematisk fremstilling af målfunktion

Som vi diskuterede om objektiv funktion i forbindelse med lineær programmering, men objektiv funktion kan også være ikke-lineær.

• Lineære objektivfunktioner: I denne type objektivfunktion er både begrænsningerne og objektive funktioner lineære. Eksponenterne for variablerne er 1.
• Ikke-lineære objektivfunktioner: I denne type objektivfunktion er både begrænsningerne og objektive funktioner lineære. Eksponenterne for variablerne er enten 1 eller større end 1.

Anvendelser af objektive funktioner

Objektive funktioner er vigtige i virkelige scenarier. For eksempel bruges disse funktioner af forretningsmænd. Forretningsmænd bruger det til at maksimere deres fortjeneste. Objektive funktioner er også nyttige til transportproblemer. Ved at opsætte en funktion kan man analysere, hvor meget brændstofforbrug der finder sted, og hvordan brugeren dermed kan skære priserne for samme. Objektive funktioner er også nyttige i afstandsproblemer.

Løste problemer om objektiv funktion

Opgave 1: En person vil have nogle bælter og tegnebøger. Han har en samlet opsparing på Rs 6000 og ønsker at bruge alle sine opsparinger på at købe bælter og tegnebøger, så han kan sælge dem senere. Værdien af ​​tegnebogen er 20 Rs, og værdien af ​​bæltet er 10 Rs. Han vil opbevare dem i et skab, og skabets maksimale kapacitet er 50 enheder. Han forventer et overskud på 2 Rs på bæltet og 3 Rs på tegnebogen. Find begrænsningerne og den resulterende objektive funktion.

Løsning:

Lad x være antallet af tegnebøger, der skal købes, og y være antallet af bælter, der skal købes. Det skal bemærkes, når maksimum er nævnt i opgaven, skal vi bruge '⩽' for at finde begrænsningerne

Den maksimale investering er Rs 6000. Den første begrænsningsligning er

20x+10y⩽6000

Skabets maksimale opbevaringskapacitet er 50

x+y⩽50

Her er profitfunktion i bund og grund den objektive funktion. Lad dette betegnes med P. Derfor er profitfunktionen

P = 3x + 2y

np.middel

Opgave 2: Identificer begrænsningsligningerne og objektivfunktionen fra det givne sæt

• 2x + 3y ⩾ 50
• x + y ⩽ 50
• 5x + 4 år ⩽ 40
• Z = 7x + 8y

Hvor x og y er større end 0.

Løsning:

Begrænsningerne kan være ulighed eller ulighedsformat. Men en objektiv funktion har altid et lighedssymbol

Derfor er begrænsningsligningerne

2x + 3y ⩾ 50

x + y ⩽ 50

5x + 4 år ⩽ 40

Den objektive ligning er Z = 7x + 8y

Opgave 3: En kvinde investerer højst 7 timers tid i at lave rotis og brød. Hun investerer 2 timer på rotis og 4 timer på brød. Hun har som mål at lave højst 20 brød og rotis og ønsker at sælge dem og generere en fortjeneste på 2 Rs på roti og 1 Rs på brød. Find den objektive funktion.

Løsning:

Lad x være antallet af rotis og y være antallet af brød.

En kvinde kan maksimalt investere 7 timer ved at investere 2 timer på at lave en roti og 4 timer på at lave et brød. Derfor er den første begrænsningsligning

2x + 4 år ⩽ 7

Det maksimale antal brød og rotis, hun kan lave, er 20

x + y ⩽ 20

Lad objektivfunktionen betegnes med Z

Derfor er Z = 2x + y.

Opgave 4: Virksomheden ønsker at fremstille produkt A og produkt B. Produkt A kræver 4 enheder kakaopulver og 1 enhed mælkepulver Produkt B kræver 3 enheder kakaopulver og 2 enheder mælkepulver. Der er 87 enheder kakaopulver til rådighed og 45 enheder mælkepulver. Fortjenesten, der skal tjenes på hvert produkt, er henholdsvis og . Find den objektive funktion.

Løsning:

Lad x angive antallet af produkt A og y angive antallet af varer af type B.

Den maksimale mængde kakaopulver er 87 enheder. Så den første begrænsningsligning er

4x + 3y ⩽ 87

Den maksimale tilgængelige mængde mælkepulver er 45 enheder. Så den anden begrænsningsligning er

substring_index i sql

x + 2y ⩽ 45

Her er vores mål at maksimere profitten. Så vores profitfunktion er Objektivfunktionen. Lad det være betegnet med Z

Z = 3x + 5y

Opgave 5: Der skal dannes to typer madpakker A og B, som består af vitaminer. Der er mindst 45 enheder madpakke A, der skal stilles til rådighed, og fremstillingen af ​​begge madpakker skal være mindst 30. Generer den objektive funktion, der skal genereres, hvor madpakke A har 6 enheder vitaminer og madpakke B har 8 enheder .

Løsning:

Lad x være antallet af madpakker A og y være antallet af madpakker B

Der skal stilles mindst 45 madpakker til rådighed. Derfor er den første begrænsningsligning

x ⩾ 45

Den anden begrænsningsligning er

x + y ⩾ 30

Den objektive funktion er som følger:

Z = 6x + 8y

Ofte stillede spørgsmål om målfunktion

Q1: Hvad er den objektive funktion i lineær programmeringsproblem?

Svar:

En objektiv funktion er en funktion med reel værdi, der enten skal maksimeres eller minimeres afhængigt af begrænsningerne. Den består af to beslutningsvariable.

Q2: Hvad er formålet med målfunktionen?

Svar:

Målet med den objektive funktion er at maksimere eller minimere den resulterende værdi. Det er en ligning, der udtrykkes i form af beslutningsvariable og spiller en afgørende rolle i Lineær Programmering.

Q3: Hvordan forstår vi, om en funktion skal maksimeres eller minimeres?

Svar:

For at kontrollere, om en funktion skal maksimeres eller ej, bør vi være bekendt med udtryk som 'højst', 'mindst'. Hvis udtrykket 'mindst' er angivet, skal den objektive funktion minimeres. For udtrykket 'højst' bør funktionen maksimeres.

Spørgsmål 4: Navngiv de almindelige typer af målfunktioner.

Svar:

Der er to typer objektive funktioner:

• Maksimering Objektiv funktion
• Minimering Objektiv funktion

Spørgsmål 5: Hvad er anvendelserne af målfunktionen?

Svar:

Der er forskellige anvendelser af objektivfunktionen. De er nyttige i virkelige scenarier. De bruges grundlæggende til at estimere fortjeneste eller tab i hvert enkelt tilfælde. Objektive funktioner er nyttige i transportproblemer, problemer med tidsbegrænsning osv.