Loven om total sandsynlighed er vigtig for at finde sandsynligheden for, at en begivenhed sker. Hvis sandsynligheden for, at en begivenhed vil ske, vides at være 1, så er den for en umulig begivenhed sandsynligvis 0. En grundlæggende regel i sandsynlighedsteorien, der er forbundet med marginal sandsynlighed og betinget sandsynlighed kaldes loven om total sandsynlighed, eller den samlede sandsynlighedssætning.
Efter flere hændelser ved man, at sandsynligheden for alle mulighederne burde være kendt. Det sætning om total sandsynlighed er kernefundamentet i Bayes sætning. I denne artikel har vi diskuteret vigtige begreber relateret til total sandsynlighed, herunder lov om total sandsynlighed , udsagn, beviser og nogle eksempler.
Lov om total sandsynlighed
Givet n gensidigt udelukkende hændelser A1, A2, …Ak sådan, at deres sandsynlighedssum er enhed, og deres forening er hændelsesrummet E, så Ai ∩ Aj= NULL, for alle I ikke lig med j, og
A1 U A2 U ... U Ak = E>
Derefter Samlet sandsynlighedssætning eller lov om total sandsynlighed, er: 
hvor B er en vilkårlig hændelse, og P(B/Ai) er den betingede sandsynlighed for B, hvis det antages, at A allerede har fundet sted.
Samlet sandsynlighedssætning Bevis
Lad A1, A2, …, Ak være usammenhængende hændelser, der danner en partition af prøverummet, og antag, at P(Ai)> 0, for i = 1, 2, 3….k, således at:
A1 U A2 U A3 U ....U AK = E(Total)>
Så har vi for enhver begivenhed B,
B = B ∩ E B = B ∩ (A1 U A2 U A3 U ....U AK)>
Da kryds og union er distribuerende. Derfor,
B = (B ∩ A1) U (B ∩ A2)U ... U(B ∩ AK)>
Da alle disse partitioner er usammenhængende. Så vi har,
P(B ∩ A1) = P(B ∩ A1) U P(B ∩ A2)U ... U P(B ∩ AK)>
Det er additionssætningen for sandsynligheder for en forening af usammenhængende begivenheder. Brug af betinget sandsynlighed
P(B / A) = P(B ∩ A) / P(A)>
Eller ved multiplikationsreglen,
P(B ∩ A) = P(B / A) x P(A)>
Her siges hændelser A og B at være uafhængige hændelser, hvis P(B|A) = P(B), hvor P(A) ikke er lig med Nul(0),
P(A ∩ B) = P(A) * P(B)>
hvor P(B|A) er den betingede sandsynlighed, som giver sandsynligheden for forekomst af begivenhed B, når begivenhed A allerede er indtruffet. Derfor,
manuel test
P(B ∩ Ai) = P(B | Ai).P(Ai) ; i = 1, 2, 3....k>
Ved at anvende denne regel ovenfor får vi,
Dette er lov om total sandsynlighed . Loven om total sandsynlighed kaldes også den samlede sandsynlighedssætning eller lov om alternativer.
Bemærk:
Loven om total sandsynlighed bruges, når du ikke kender sandsynligheden for en begivenhed, men du kender dens forekomst under flere usammenhængende scenarier og sandsynligheden for hvert scenarie.
Anvendelse af sætning om total sandsynlighed
Det bruges til evaluering af nævneren i Bayes' sætning . Bayes' sætning for n sæt begivenheder er defineret som,
Lad E1, OG2,…, OGnvære et sæt af hændelser forbundet med prøverummet S, hvor alle hændelser E1, OG2,…, OGnhar en sandsynlighed for forekomst, der ikke er nul. Alle begivenheder E1, OG2,…, E danner en partition af S. Lad A være en begivenhed fra rum S, som vi skal finde sandsynlighed for, så ifølge Bayes' sætning,
P(E jeg |A) = P(E jeg )P(A|E jeg ) / ∑ P(E k )P(A|E k )
for k = 1, 2, 3, …., n
Eksempel
1. Vi trækker to kort fra et spil med blandede kort med erstatninger. Find sandsynligheden for at få det andet kort en konge.
Forklaring:- Lad, A – repræsentere begivenheden med at få det første kort en konge. B – repræsenterer den begivenhed, at det første kort ikke er en konge. E – repræsenterer den begivenhed, at det andet kort er en konge. Så vil sandsynligheden for, at det andet kort vil være en konge eller ej, blive repræsenteret af loven om total sandsynlighed som:
P(E)= P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B)>
Hvor P(E) er sandsynligheden for, at det andet kort er en konge, P(A) er sandsynligheden for, at det første kort er en konge, P(E|A) er sandsynligheden for, at det andet kort er en konge, givet at første kort er en konge, P(B) er sandsynligheden for, at det første kort ikke er en konge, P(E|B) er sandsynligheden for, at det andet kort er en konge, men det første kort, der trækkes, er ikke en konge. Ifølge spørgsmålet:
P(A) = 4 / 52 P(E|A) = 4 / 52 P(B) = 48 / 52 P(E|B) = 4 / 52>
Derfor,
P(E) = P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B) =(4 / 52) * (4 / 52) + (48 / 52) * (4 / 52) = 0.0769230>
Ofte stillede spørgsmål om loven om total sandsynlighed
Q.1: Hvad er brugen af total sandsynlighed?
Svar:
Lov om total sandsynlighed bruges til at beregne sandsynligheden for en begivenhed givet et vilkårligt antal relaterede begivenheder. Brug af Bayes sætning til at opdatere sandsynligheden for en hypotese givet nyt bevis.
Q.2: Er den samlede sandsynlighed altid 1?
Svar:
Summen af sandsynligheden for alle hændelser er altid 1.
forårets rammer
Q.3: Kan den samlede sandsynlighed være større end 1 ?
Svar:
Nej, den samlede sandsynlighed kan ikke være større end 1.