Logaritmeregler eller logregler er afgørende for at forenkle komplicerede formuleringer, der inkluderer logaritmiske funktioner. Logregler gør det nemmere at beregne og manipulere logaritmer i en række matematiske og videnskabelige applikationer. Ud af alle disse logregler er tre af de mest almindelige produktregel, kvotientregel og magtregel. Udover disse har vi mange logaritmeregler, som vi vil diskutere yderligere i artiklen. Denne artikel udforsker alle reglerne for logfiler, inklusive afledte og integrale, i detaljer med eksemplerne på logaritmereglerne. Så lad os begynde at lære om alle de regler, logaritmer har.

Indholdsfortegnelse

• Hvad er logregler?
• Typer af logaritme
• Liste over logaritmeregler
• Regler for naturlige logfiler
• Anvendelser af logaritme
• Produktregel for logaritmer
• Logaritmepotensregel
• Kvotientregel for logaritmer
• Løste eksempler på logregler
• Øvelsesspørgsmål om logregler

Hvad er logregler?

Logaritme Regler i matematik er de regler og love, der bruges til at forenkle og manipulere logaritmiske funktionsudtryk. Disse principper skaber relationer mellem eksponentielle og logaritmiske former og giver en systematisk teknik til at håndtere komplicerede logaritmiske beregninger.

De vigtigste regler er som følger: produktregel : som giver os mulighed for at opdele et produkt inden for en logaritme i en sum af separate logaritmer; kvotientreglen : som tillader os at opdele en kvotient inden for en logaritme i en forskel af logaritmer; magtregel: som giver os mulighed for at udtrække eksponenter fra en logaritme; base switch regel eller ændring af basis regel : som giver os mulighed for at ændre basen af ​​en logaritme.

Disse love er afgørende i mange matematiske og videnskabelige anvendelser, hvilket gør logaritmer til et værdifuldt værktøj til at løse ligninger, modellere eksponentiel vækst og analysere store mængder data.

Typer af logaritme

Vi beskæftiger os normalt med to slags logaritmer:

• Fælles logaritme
• Naturlig logaritme

Bemærk: Der kan være en logaritme med et hvilket som helst reelt tal som sin base, men disse to, dvs. almindelig og naturlig logaritme, er de mest almindelige og standard.

Lad os diskutere disse typer i detaljer.

Almindelig logaritme

En almindelig logaritme, ofte kendt som log base 10 eller blot log, er en matematisk funktion, der repræsenterer den eksponent, som et givet tal skal øges til for at nå et givet tal. Den beregner styrken af ​​ti, der er nødvendig for at få et bestemt tal.

For eksempel log₁₀(100) er lig med 2, fordi 10 hævet til 2 er lig med 100. Den fælles logaritme på 100 i dette tilfælde er 2, hvilket viser at 10²= 100. Almindelige logaritmer bruges i mange sektorer, herunder videnskab, teknik og finans, for at forenkle repræsentationer af enorme tal og hjælpe i beregninger, der kræver potenser på 10.

Naturlig logaritme

Den naturlige logaritme er en matematisk funktion, der udtrykker logaritmen til grundtallet 'e' (Eulers tal, cirka 2,71828). Det er det omvendte af den eksponentielle funktion og repræsenterer mængden af ​​tid, der kræves for en mængde at stige eller falde med en konstant faktor.

For eksempel betyder ln (10) ≈ 2,30259, at e ganget med 2,30259 er lig med 10. Den naturlige logaritme bruges i mange domæner, herunder matematik, fysik og finans, til at beskrive fænomener, der viser eksponentiel vækst eller forfald, såsom befolkningsudvidelse, radioaktivt henfald og sammensatte renteberegninger.

Hvad er logaritmeregler?

Logaritmiske operationer kan udføres i henhold til specifikke regler. Disse regler er kendt som:

• Produktregel
• Quotientregel
• Nul regel
• Identitetsregel
• Power Regel eller Eksponentiel Regel
• Ændring af basisregel
• Gensidig regel

Ud over disse almindelige regler kan vi også have nogle usædvanlige regler, såsom:

• Logaritme omvendt egenskab
• Afledt af Log
• Integration af log

Produktregel for log

Ifølge produktreglen er logaritmen af ​​et produkt summen af ​​logaritmerne af dets elementer.

Formel: log_-en(XY) = log_-enX + log_-enOG

Eksempel: log₂(3 × 5) = log₂(3) + log₂(5)

Logbogskvotientregel

Quotientreglen hævder, at logaritmen af ​​en kvotient er lig med forskellen mellem tæller- og nævnerlogaritmerne.

Formel: log_-en(X/Y) = log_-enX – log_-enOG

Eksempel: log₃(9 / 3) = log₃(9) – log₃(3)

Nul logbog

Ifølge nulreglen er logaritmen af ​​1 til en hvilken som helst base altid 0.

Formel: log_-en(1) = 0

Eksempel: log₄(1) = 0

Identitetsregel for log

Ifølge identitetsreglen er logaritmen af ​​en base til sig selv altid 1.

Formel: log_-en(a) = 1

Eksempel: log₇(7) = 1

Gensidig regel

Ifølge den reciproke logaritmeregel er logaritmen af ​​et tals reciproke (1 divideret med det tal) lig med det negative af logaritmen af ​​det oprindelige tal. I matematisk notation:

Formel: log_-en(1/X) = – log_-en(X)

Eksempel: log_-en(1/2) = – log_-en(2)

Power-regel eller eksponentiel log-regel

Ifølge potensreglen er logaritmen af ​​et tal hævet til en eksponent lig med eksponenten ganget med logaritmen af ​​grundtallet.

Formel: log_-en(Xⁿ) = n × log_-enx

Eksempel: log₅(9²) = 2 × log₅(9)

Ændring af basisregel for log

Ændringen af ​​grundreglen giver dig mulighed for at beregne logaritmen af ​​et tal i en anden grundtal ved at bruge en fælles logaritme (typisk grundtal 10 eller grundtal e). Ændring af basisregel kaldes også Base Switch Regel.

Formel: log_-en(X) = logᵦ(X) / logᵦ(a)

Eksempel: log₃(7) = log₁₀(7) / log₁₀(3)

Logaritme omvendt egenskab

Den logaritme-inverse egenskab hævder, at beregning af logaritmen af ​​en eksponentiel værdi giver den oprindelige eksponent.

Formel: log_-en(aⁿ) = n

Eksempel: log₄(4²) = 2

Afledt af Log

Den afledte af en funktions naturlige logaritme er den gensidige af funktionen ganget med den afledede af funktionen.

Formel: d/dx [ln(f(x))] = f'(x) / f(x)

Eksempel: Hvis y = ln(x²), så dy/dx = 2x / x²= 2/x

Integration af log

Udover differentiering kan vi også beregne integralet af logaritmen. Integralet af Log-funktionen er givet som følger:

Formel: ∫ln(x) dx = x · ln(x) – x + C = x · (ln(x) – 1) + C

Regler for naturlige logfiler

Da naturlige og almindelige træstammer kun har en forskel i basis, er reglerne for naturlige træstammer de samme som almindelige træstammer, som allerede er diskuteret. Den eneste forskel er, at i naturlige logregler bruger vi i stedet for log (symbol på fælles log med base 10) ln (symbol for naturlig log base e). Disse regler kan oplyses som følger:

• ln (mn) = ln m + ln n
• ln (m/n) = ln m – ln n
• ln mⁿ= n ln m
• ln a = (log a) / (log e)
• ln e = 1
• ln 1 = 0
• det er^{ln x}= x

Anvendelser af logaritme

Lad os se på nogle af anvendelserne af log.

• Vi bruger logaritmer til at beregne surhedsgraden og alkaliniteten af ​​kemiske opløsninger.
• Richter-skalaen bruges til at beregne jordskælvets intensitet.
• Mængden af ​​støj måles i decibel (dB) på en logaritmisk skala.
• Logaritmer bruges til at analysere eksponentielle processer såsom henfaldet af forholdsaktive isotoper, bakteriel udvikling, spredningen af ​​en epidemi i en befolkning og afkølingen af ​​et dødt lig.
• En logaritme bruges til at beregne tilbagebetalingstiden for et lån.
• Logaritmen bruges i calculus til at differentiere svære ligninger og beregne arealet under kurver.

Produktregel for logaritmer

Ifølge produktreglen for logaritmer er logaritmen af ​​en multiplikation af to led den samme som tilføjelsen af ​​de enkelte leds logaritmer. Med andre ord er denne regel udtrykt som log_b(mn) = log_b(m) + log_b(n). Lad os fortsætte med at udlede denne regel.

Afledningsproces:

Lad os starte med at antage log_b(m) = x og log_b(n) = y. Konverterer vi begge til deres eksponentielle former, får vi:

log_b(m) = x betyder m = b^x… (1)

log_b(n) = y betyder n = b^og… (2)

Når vi multiplicerer ligning (1) og (2) sammen,

mn = b^{x .}b^og

Ved at bruge reglerne for multiplikation af eksponenter,

mn = b^{x + y}

Konvertering tilbage til logaritmiske formudbytter,

log_b(mn) = x + y

Ved at erstatte x og y tilbage,

log_b(mn) = log_b(m) + log_b(n)

Således har vi udledt produktreglen for logaritmer. Denne regel kan bruges på forskellige måder, såsom:

log(3a) = log 3 + log a log 10 = log(5×2) = log 5 + log 2 log3(ab) = log3 a + log3 b Det er vigtigt at bemærke, at produktreglen for logaritmer ikke gælder for log (m + n), som ikke kan opdeles i separate logaritmer. Denne regel vedrører udelukkende logaritmen af ​​et produkt, log(mn).

Logaritmepotensregel

Reglen for logaritmepotenser siger, at når en logaritmes argument hæves til en potens, kan denne eksponent flyttes til forsiden af ​​logaritmen. Med andre ord, logb mn = n logb m. Lad os undersøge udledningen af ​​denne regel.

Afledningsproces:

Start med at antage log_bm er lig med x. Konvertering af dette til dets eksponentielle form giver os:

b^x= m

Hæv derefter begge sider til magten n, hvilket resulterer i:

forårets rammer

(b^x)ⁿ= mⁿ

Anvendelse af eksponentpotensreglen giver:

b^nx= mⁿ

Konverterer vi tilbage til logaritmisk form, får vi:

log_bmⁿ= nx

Ved at erstatte x med log_bm, vi ankommer til:

log_bmⁿ= n log_bm

Dette afslutter udledningen af ​​logaritmepotensreglen. Nedenfor er flere eksempler på, hvordan denne regel anvendes:

log 3z = z log 3 log y2 = 2 log y log3 yx = x log3 y

Kvotientregel for logaritmer

Ifølge kvotientreglen for logaritmer er logaritmen af ​​en division mellem to tal subtraktionen af ​​hvert tals logaritmer.

Konkret angiver reglen, at log_b(m/n) = log_bm – log_bn. Lad os fortsætte med at udlede denne regel.

Afledningsproces:

Antag log_bm er lig med x og log_bn er lig med y. Vi vil udtrykke disse i deres eksponentielle former.

log_bm = x betyder m = b^x… (1)

log_bn = y betyder n = b^og… (2)

Når vi dividerer ligning (1) med ligning (2),

m/n = b^x/b^og

Anvendelse af kvotientreglen for eksponenter,

m/n = b^x-y

Konvertering tilbage til logaritmisk form,

log_b(m/n) = x – y

Ved at erstatte x og y tilbage,

log_b(m/n) = log_bm – log_bn

Vi har således udledt kvotientreglen for logaritmer. Denne regel kan bruges som følger:

log (y/3) = log y – log 3

log 25 = log (125/5) = log 125 – log 5

log7 (a/b) = log7 a – log7 b

Det er vigtigt at bemærke, at kvotientreglen ikke betyder noget for log (m – n).

Relaterede emner:

• Antilog tabel
• Log Lommeregner
• Naturlig log
• Log Tabel

Løste eksempler på logregler

Eksempel 1: Forenkle log ₂ (4 x 8).

Løsning:

Ved at bruge produktreglen opdeler vi produktet i en sum af logaritmer:

log₂(4 × 8) = log₂(4) + log₂(8) = 2 + 3 = 5.

Eksempel 2: Forenkle log ₄ (16/2).

Løsning:

Ved at bruge kvotientreglen opdeler vi kvotienten i en forskel af logaritmer:

log₄(16 / 2) = log₄(16) – log₄(2) = 2 – 0,5 = 1,5.

Eksempel 3: Forenkle log ₅ (25 ³ ).

Løsning:

Ved at bruge potensreglen kan vi nedbringe eksponenten som en koefficient:

log₅(25³) = 3 × log₅(25) = 3 × 2 = 6.

Eksempel 4: Konverter log ₃ (7) til et udtryk med base 10.

Løsning:

Ved hjælp af base switch-reglen dividerer vi med logaritmen for den nye base:

log₃(7) = log₁₀(7) / log₁₀(3) ≈ 1,7712

Eksempel 5: Evaluer log ₇ (49) ved at bruge ændringen af ​​basisreglen med basis 2.

stak java

Løsning:

Brug af ændring af grundregel med base 2:

log₇(49) = log₂(49) / log₂(7) = 5 / 1,807 = 2,77 (ca.).

Øvelsesspørgsmål om logregler

Opgave 1: Forenkle udtrykket: log₂(4) + log₂(8).

Opgave 2: Forenklet: log₅(25) – log₅(5).

Opgave 3: Forenkle udtrykket: log₃(9²).

Opgave 4: Express log₄(25) i form af almindelige logaritmer.

Opgave 5: Forenkle ved hjælp af logregler: log₇(49) + 2 log₇(3).

Opgave 6: Løs for x: log₂(x) = 3.

Opgave 7: Løs for x: 2^{3x – 1}= 8.

Logregler – ofte stillede spørgsmål

Hvad er logaritmeregler?

Logaritmeregler er en samling af anbefalinger til at manipulere og forenkle formler ved hjælp af logaritmiske funktioner. De tilbyder en systematisk metode til at håndtere komplicerede beregninger og interaktioner mellem eksponentialer og logaritmer.

Hvor mange nøglelogaritmeregler er der?

Produktreglen, kvotientreglen, potensreglen, basisomskifterreglen og ændring af basisreglen er alle vigtige logaritmeregler. Disse principper tillader logaritmiske udtryksmodifikationer og beregninger.

Hvad er logaritmisk produktregel?

Ifølge produktreglen er logaritmen af ​​et produkt lig med summen af ​​logaritmerne af de enkelte faktorer: logₐ(xy) = logₐx + logₐy.

Hvad er to typer logaritmer?

De to mest almindeligt anvendte logaritmetyper er:

• Almindelig logaritme eller base 10 logaritme
• Naturlig logaritme eller base e logaritme

Hvad er logregel for ændring af base?

I henhold til ændring af grundregel for log, log_-en(b)=[log_c(blog_c(a)], hvor c er ethvert positivt reelt tal.

Hvad er Log 0?

Logaritmen af ​​nul er ukendt. Vi opnår aldrig tallet 0 ved at hæve en værdi til en anden værdis magt.

Hvad er Log 1?

På grund af nulreglen er logaritmen af ​​1 til en hvilken som helst base altid 0, dvs. log_-en(1) = 0.

Hvad er logaritme af ethvert tal for sig selv som base?

Ifølge identitetsreglen er logaritmen af ​​en base til sig selv altid 1, dvs. log_-en(a) = 1.

Hvad er forholdet mellem logaritmer og eksponentialer?

Logaritmer og eksponentialer er inverse operationer. En logaritme fortæller dig den eksponent, der skal til for at nå et bestemt tal, mens en eksponentiel hæver en base til en eksponent.

Hvad er de 7 regler for logaritmer?

De 7 logaritmeregler inkluderer

• Produktregel
• Quotientregel
• Magtregel
• Ændring af basisregler
• Nul regel
• Identitetsregel
• Negativ regel

Disse regler bruges til at forenkle logaritmiske udtryk.

Hvad er logeksponentregel?

Logeksponentreglen siger, at logbasen b af a^xer lig med x gange log base b af a, dvs. log_b-en^x= x log_ben.

Hvad er nøgleforskellen mellem almindelig log og naturlig log?

Den vigtigste forskel mellem almindelig og naturlig log er, at almindelige logfiler bruger base 10, mens naturlige logs bruger den matematiske konstant 'e' som deres base.

Hvad er den afledte regel for log?

Den afledte reglen for logfunktioner er: d/dx[log_b(x)] = 1 / (x ln(b)), hvor 'b' er basis for logaritmen.

Hvad er Base Switch Rule?

Ifølge Base Switch-reglen kan basis for enhver logaritme ændres til enhver anden ønsket base ved hjælp af formlen: loga(X) = logb(X) / logb(a).