Integral af Cot x er ln |sin x| + C . Cot x er blandt en af ​​de trigonometriske funktioner, der er forholdet mellem cosinus og sinus. Integralet af cot x er matematisk repræsenteret som ∫cot x dx = ln |sinx| + C.

I denne artikel vil vi udforske integralet af cot x, integralet af cot x formlen, udledningen af ​​integralet af cot x, det definitive integral af cot x sammen med nogle eksempler baseret på integralet af cot x.

Hvad er integral af Cot x?

Integralet af tremmeseng x er ln |sin x| +C . Det er matematisk betegnet som ∫seng x dx = ln |sin x| +C . Det omfattende af cot x betyder at finde antiderivatet af cot x. Processen med at finde anti-derivatet af en funktion kaldes integration . Resultatet af integrationen kaldes integral. Derfor er antiderivatet af barnesengen x ln |sin x| +C.

Læs i detaljer:

• Regning i matematik
• Integralregning

Integral af Cot x Formula

Integralet af barneseng x formlen er givet af:

∫seng x dx = ln |sin x| +C

Integral af Cot x i forhold til Cosec x

Integral af Cot x i form af cosec x er givet som følger:

∫seng x dx = – ln |cosec x| + C

Integral af Cot x Proof

Vi kan udlede integralet af cot x ved at bruge Substitutionsmetode i integration.

Integral af Cot x ved substitutionsmetode

For at bevise integral af cot x vil vi bruge integrationen ved substitution-metoden, som er beskrevet nedenfor:

Vi ved det,

barneseng x = cos x / sin x

Ved at integrere begge sider får vi,

∫sengeseng x dx = ∫ [cos x / sin x] dx —-(1)

Lad t = sin x

At differentiere begge sider w.r.t t, får vi

dt = cos x dx

Indsættelse af ovenstående værdier i ligning (1)

∫sengeseng x dx = ∫ [1 / t] dt

∫seng x dx = ln |t| + C

Sætte værdi af t

∫seng x dx = ln |sin x| +C

T integralet af barneseng x er ln |sin x| + C .

postordre krydsning

Bestemt integral af barneseng x dx

Integral af barneseng x med den øvre og nedre grænse kaldes bestemt integral af tremmeseng x. I dette anvender vi grænserne og vurderer den resulterende værdi for integralet. Værdien af ​​bestemt integral af barneseng x er angivet nedenfor:

Integral af Cot x fra 0 til pi/2

Værdien af ​​integralet af barneseng x med nedre grænse 0 og øvre grænse π/2 er angivet nedenfor:

Vi ved det,

∫seng x dx = ln |sin x| +C

Ved at anvende nedre grænse = 0 og øvre grænse = π/2, får vi

∫₀^p/2tremmeseng x dx = [ln |sin x| ]₀^p/2

∫₀^p/2barneseng x dx = ln |sin(π/2) | – |ln sin (0) |

∫₀^p/2barneseng x dx = ln |sin(π/2) | – |ln 0|

Da ln 0 ikke er defineret, er det bestemte integral ∫₀^p/2tremmeseng x dx divergerer.

Integral af Cot x fra pi/4 til pi/2

Værdien af ​​integralet af barneseng x med nedre grænse π/4 og øvre grænse π/2 er angivet nedenfor:

Vi ved det,

∫seng x dx = ln |sin x| +C

Anvendelse af nedre grænse = π/4 og øvre grænse = π/2

∫_s/4^p/2tremmeseng x dx = [ln |sin x| ]_s/4^p/2

⇒ ∫_s/4^p/2barneseng x dx = ln |sin(π/2) | – |ln sin(π/4) |

⇒ ∫_s/4^p/2tremmeseng x dx = ln 1 – ln (1/√2)

⇒ ∫_s/4^p/2tremmeseng x dx = ln 1 – [ln 1 – ln √2]

⇒ ∫_s/4^p/2barneseng x dx = ln (√2)

Integralet af Cot x fra pi/4 til pi/2 er ln (√2).

Vigtige bemærkninger

Nogle vigtige punkter relateret til integral af barneseng x er:

• ∫seng x dx = ln |sinx| + C

• ∫seng x dx = ln |cosec x|^-1+ C [Som sinx = (cosec x)^-1]

• Det definitive integral af barneseng x divergerer, når den øvre grænse er pi/2 og den nedre grænse er 0.

• Det definitive integral af barneseng x fra øvre grænse pi/2 til nedre grænse pi/4 evalueres til ln (√2).

• ∫ barneseng²x dx = – cosec x + C

Læs mere:

• Integrationsformler
• Integration af trigonometriske funktioner
• Integration af Tan x
• Integration af Cos x
• Integration af Sec x

Løste eksempler på integral af barneseng x

Eksempel 1: Find ∫seng 6x dx

strsep

Løsning:

Vi har ∫sengeseng 6x dx ——(1)

Lad t = 6x

Differentiering w.r.t

dt = 6 dx

⇒ dx = dt / 6

Indsættelse (1)

∫sengeseng 6x dx = ∫sengeseng t (dt / 6)

⇒ ∫seng 6x dx = (1 / 6) ∫seng t dt

⇒ ∫seng 6x dx = (1 / 6) [ln |sin t| + C]

⇒ ∫sengeseng 6x dx = (1 / 6) [ln |sin (6x) | + C]

Eksempel 2: Vurder: ∫seng x cosec ² x dx

Løsning:

Lad I = ∫seng x cosec²x dx —–(1)

Tag t = tremmeseng x

Differentiering w.r.t

dt = – cosec²x dx

sætte ind (1)

I = -∫t dt

⇒ I = -t²/ 2 + C (sætte værdier)

⇒ I = – barneseng²x/2 + C

⇒ ∫seng x cosec²x dx = – barneseng²x/2 + C

Eksempel 3: Løs ∫seng x. sek x dx

Løsning:

I = ∫seng x. sek x dx

Vi ved det,

barneseng x = cos x / sin x og sek x = 1 / cos x

Indsætter I

I = ∫ [cos x / sin x]. [1/cos x]dx

⇒ I = ∫ [1 / sin x] dx

⇒ I = ∫ cosec x dx

⇒ I = – ln | cosec x + barneseng x| + C

Eksempel 4: Evaluer ∫sengeseng ² x dx

Løsning:

I = ∫seng²x dx

Vi ved det,

[d / dx] (cosec x) = – barneseng²x

barneseng²x = – [d / dx] (cosec x)

Indsætter I

stak java

I = ∫ – [d / dx] (cosec x) dx

Ved egenskaben ∫[d / dx] f(x) dx = f(x) + C

I = – cosec x + C

Øvelsesspørgsmål om Integral af Cot x

Q1. Løs ∫seng x. cos x dx.

Q2. Evaluer integralet ∫ [seng x / √ (6 + 16 barneseng ² x)] dx.

Q3. Find ∫ barneseng (4x) dx.

Q4. Evaluer ∫ (1 + barneseng x) / (1 – barneseng x) dx

Integral af Cot x – ofte stillede spørgsmål

Hvad er antiderivatet af cot x?

Det antiderivat af tremmeseng x er ln |sin x| + C.

Hvordan beviser man integralet af Cot x?

Vi kan bevise integralet af cot x ved at anvende substitutionsmetoden.

Er den afledte af cot x lig med integralet af cot x?

Nej, den afledte af cot x er ikke lig med integralet af cot x. Afledten af ​​cot x = -cosec²x hvorimod integralet af barneseng x = ln |sinx| + C.

Hvad er formlen for integralet af barneseng x?

Formlen for integralet af barneseng x er givet ved:

∫seng x dx = ln |sin x| +C

Hvad er v alue af bestemt integral af barneseng x i intervallet pi/4 til pi/2?

Værdien af ​​det bestemte integral af cot x i intervallet pi/4 til pi/2 er ln √2.

Hvad er differentiering af tremmeseng X?

Differentieringen af ​​barneseng x er -cosec²x

Hvad er integralet af barneseng²x?

Det integrerede af barneseng²x er – cosec x + C.

Hvad er integral af barneseng x dx?

Integralet af barneseng x dx er ln |sin x| + C