Regel 2

Hvis LHS og RHS af udtrykkene udveksles, så vender uligheden. Det kaldes omvendt egenskab.

• Hvis a> b, så b
• Hvis en -en
• Hvis a ≥ b, så er b ≤ a
• Hvis a ≤ b, så er b ≥ a

Regel 3

Hvis den samme konstant k adderes eller trækkes fra begge sider af uligheden, så er begge sider af uligheden ens.

• Hvis a> b, så a + k> b + k
• Hvis a> b, så a – k> b – k

Tilsvarende for andre uligheder.

• Hvis en
• Hvis en
• Hvis a ≤ b, så er a + k ≤ b + k
• Hvis a ≤ b, så a – k ≤ b – k
• Hvis a ≥ b, så er a + k ≥ b + k
• Hvis a ≥ b, så a – k ≥ b – k

Retningen af ​​uligheden ændres ikke efter addering eller subtraktion af en konstant.

Regel 4

Hvis k er en positiv konstant, der ganges eller divideres med begge sider af uligheden, så er der ingen ændring i retningen af ​​uligheden.

• Hvis a> b, så ak> bk
• Hvis en
• Hvis a ≤ b, så ak ≤ bk
• Hvis a ≥ b, så ak ≥ bk

Hvis k er en negativ konstant, der multipliceres eller divideres med begge sider af uligheden, så bliver retningen af ​​uligheden vendt.

• Hvis a> b, så ak
• Hvis a> b, så ak
• Hvis a ≥ b, så ak ≤ bk
• Hvis a ≤ b, så ak ≥ bk

Regel 5

Kvadratet af ethvert tal er altid større end eller lig med nul.

• -en²≥ 0

Regel 6

At tage kvadratrødder på begge sider af uligheden ændrer ikke retningen af ​​uligheden.

• Hvis a> b, så √a> √b
• Hvis en
• Hvis a ≥ b, så √a ≥ √b
• Hvis a ≤ b, så √a ≤ √b

Graf for uligheder

Uligheder er enten med en variabel eller to, eller vi har et system af uligheder, alle kan tegnes til den kartesiske plan, hvis den kun indeholder to variable. Uligheder i en variabel er plottet på reelle linjer, og to variable er plottet på det kartesiske plan.

Intervalnotation for uligheder

Vigtige punkter for at skrive intervaller for uligheder:

ankita dave

• I tilfælde af større end og lig med ( ≥ ) eller mindre end lig med ( ≤ ), er slutværdierne inkluderet, så lukkede eller firkantede parenteser [ ] bruges.
• I tilfælde af større end ( > ) eller mindre end ( < ), er slutværdierne udelukket, så åbne parenteser () bruges.
• For både positiv og negativ uendelighed bruges åbne parenteser ().

Følgende tabel repræsenterer intervaller for forskellige uligheder:

Graf for lineære uligheder med én variabel

Fra følgende tabel kan vi forstå, hvordan man plotter forskellige lineære uligheder med én variabel på en reel linje.

Ulighed	Interval	Kurve
x> 1	(1, ∞)	Lineære uligheder med én variabel
x <1	(-∞, 1) java erstatte alt
x ≥ 1	[1, ∞)
x ≤ 1	(-∞, 1]

Graf for lineære uligheder med to variable

Lad os tage et eksempel på lineære uligheder med to variable.

Betragt den lineære ulighed 20x + 10y ≤ 60, da de mulige løsninger for given ulighed er (0, 0), (0,1), (0, 2), (0,3), (0,4), (0) ,5), (0,6), (1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,0), (2,1) ), (2,2), (3,0), og også alle punkter ud over disse punkter er også løsningen af ​​uligheden.

Lad os plotte grafen ud fra de givne løsninger.

Det skraverede område i grafen repræsenterer de mulige løsninger for den givne ulighed.

Læs også

• Grafisk løsning af lineære uligheder i to variable

Typer af uligheder

Der er forskellige typer af uligheder, der kan klassificeres som følger:

• Polynomiske uligheder: Polynomielle uligheder er uligheder, der kan repræsenteres i form af polynomier. Eksempel- 2x + 3 ≤ 10.
• Absolutte værdiuligheder: Absolutte værdiuligheder er ulighederne inden for absolutværditegnet. Eksempel- |y + 3| ≤ 4.
• Rationelle uligheder: Rationelle uligheder er uligheder med brøker sammen med variablerne. Eksempel- (x + 4) / (x – 5) <5.

Hvordan man løser uligheder

For at løse ulighederne kan vi bruge følgende trin:

• Trin 1: Skriv uligheden i form af ligningen.
• Trin 2: Løs ligningen og få rødderne til ulighederne.
• Trin 3: Repræsenter de opnåede værdier på tallinjen.
• Trin 4: Repræsenter de udelukkede værdier også på tallinjen med de åbne cirkler.
• Trin 5: Find intervallerne fra tallinjen.
• Trin 6: Tag en tilfældig værdi fra hvert interval og sæt disse værdier i uligheden og tjek om den opfylder uligheden.
• Trin 7: Løsningen på uligheden er de intervaller, der tilfredsstiller uligheden.

Sådan løses polynomielle uligheder

Polynomiske uligheder omfatter lineære uligheder, kvadratiske uligheder, kubiske uligheder osv. Her vil vi lære at løse lineære og kvadratiske uligheder.

Løsning af lineære uligheder

Lineære uligheder kan løses som lineære ligninger, men efter ulighedsreglen. Lineære uligheder kan løses ved hjælp af simple algebraiske operationer.

Et eller to-trins uligheder

Et-trins ulighed er uligheder, der kan løses i ét trin.

Eksempel: Løs: 5x <10

Løsning:

⇒ 5x <10 [Dividering af begge sider med 5]

⇒ x <2 eller (-∞, 2)

To-trins ulighed er uligheder, der kan løses i to trin.

Eksempel: Løs: 4x + 2 ≥ 10

Løsning:

⇒ 4x + 2 ≥ 10

⇒ 4x ≥ 8 [fratræk 2 fra begge sider]

⇒ 4x ≥ 8 [Divider begge sider med 4]

⇒ x ≥ 2 eller [2, ∞)

Sammensatte uligheder

Sammensatte uligheder er uligheder, der har flere uligheder adskilt af og eller eller. For at løse sammensatte uligheder skal du løse ulighederne separat, og for den endelige løsning udføre skæringspunktet mellem opnåede løsninger, hvis ulighederne er adskilt af og og udføre foreningen af ​​opnåede løsninger, hvis ulighederne er adskilt af eller.

Eksempel: Løs: 4x + 6 <10 og 5x + 2 < 12

Løsning:

Løs først 4x + 6 <10

⇒ 4x + 6 <10 [fratræk 6 fra begge sider]

⇒ 4x <4

⇒ x <1 eller (-∞, 1) —–(i)

For det andet løses 5x + 2 <12

⇒ 5x + 2 <12 [fratræk 2 fra begge sider]

⇒ 5x < 10

np.sum

⇒ x <2 eller (-∞, 2) ——-(ii)

Fra (i) og (ii) har vi to løsninger x <1 og x < 2.

Vi tager kryds for den endelige løsning, da ulighederne er adskilt af og.

⇒ (-∞, 1) ∩ (-∞, 2)

⇒ (-∞, 1)

Den endelige løsning for given forbindelsesulighed er (-∞, 1).

Læs mere

• Sammensatte uligheder
• Ordproblemer med lineære uligheder
• Trekant ulighed

Solvw kvadratiske uligheder

Lad os tage et eksempel for at løse absolutte værdiuligheder.

Eksempel: Løs uligheden: x ² – 7x + 6 ≥ 0

Løsning:

Følgende er trinene til at løse ulighed: x²– 7x + 6 ≥ 0

Trin 1: Skriv uligheden i form af ligning:

x²– 7x + 6 = 0

Trin 2: Løs ligningen:

x²– 7x + 6 = 0

x²– 6x – x + 6 = 0

x(x – 6) – 1(x – 6) = 0

(x – 6) (x – 1) = 0

x = 6 og x = 1

Fra ovenstående trin får vi værdierne x = 6 og x = 1

Trin 3: Fra ovenstående værdier er intervallerne (-∞, 1], [1, 6], [6, ∞)

Da uligheden er ≥ der inkluderer lig med, så vi bruger lukket parentes for de opnåede værdier.

Trin 4: Tallinjerepræsentation af ovenstående intervaller.

Trin 5: Tag tilfældige tal mellem hvert interval og tjek om det opfylder værdien. Hvis det opfylder, så medtag interval i løsningen.

For interval (-∞, 1] lad den tilfældige værdi være -1.

Sætter x = -1 i uligheden x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ (-1)²– 7(-1) + 6 ≥ 0

⇒ 1 + 7 + 6 ≥ 0

⇒ 14 ≥ 0 (sandt)

For interval [1, 6] lad den tilfældige værdi være 2.

Sætter x = 0 i uligheden x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ 2²– 7(2) + 6 ≥ 0

⇒ 4 – 14 + 6 ≥ 0

⇒ -4 ≥ 0 (falsk)

For interval [6, ∞) lad den tilfældige værdi være 7.

Sætter x = 7 i uligheden x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ 7²– 7(7) + 6 ≥ 0

⇒ 49 – 49 + 6 ≥ 0

⇒ 6 ≥ 0 (sandt)

Trin 6: Så løsningen for den absolutte værdi ulighed x²– 7x + 6 ≥ 0 er intervallet (-∞, 1] ∪ [6, ∞), da det opfylder uligheden, der kan plottes på tallinjen som:

Sådan løses uligheder i absolutte værdier

Lad os tage et eksempel for at løse absolutte værdiuligheder.

Eksempel: Løs uligheden: |y + 1| ≤ 2

Løsning:

Følgende er trinene til at løse ulighed: |y + 1| ≤ 2

Trin 1: Skriv uligheden i form af en ligning:

|y + 1| = 2

Trin 2: Løs ligningen:

y + 1 = ∓ 2

y + 1 = 2 og y + 1 = – 2

y = 1 og y = -3

Fra ovenstående trin får vi værdierne y = 1 og y = -3

Trin 3: Fra ovenstående værdier er intervallerne (-∞, -3], [-3, 1], [1, ∞)

Da uligheden er ≤, der inkluderer lig med, så vi bruger lukket parentes for de opnåede værdier.

Trin 4: Tallinjerepræsentation af ovenstående intervaller.

Trin 5: Tag tilfældige tal mellem hvert interval og tjek om det opfylder værdien. Hvis det opfylder, så medtag interval i løsningen.

For interval (-∞, -3] lad den tilfældige værdi være -4.

Sætter y = -4 i uligheden |y + 1| ≤ 2

⇒ |-4+ 1| ≤ 2

⇒ |-3| ≤ 2

⇒ 3 ≤ 2 (falsk)

For interval [-3, 1] skal den tilfældige værdi være 0.

Sætter y = 0 i uligheden |y + 1| ≤ 2

⇒ |0+ 1| ≤ 2

⇒ |1| ≤ 2

⇒ 1 ≤ 2 (Sand)

For interval [1, ∞) lad den tilfældige værdi være 2.

Sætter y = 2 i uligheden |y + 1| ≤ 2

⇒ |2+ 1| ≤ 2

⇒ |3| ≤ 2

⇒ 3 ≤ 2 (falsk)

Trin 6: Så løsningen for den absolutte værdi ulighed |y + 1| ≤ 2 er interval [-3, -1], da det opfylder uligheden, der kan plottes på tallinjen som:

Hvordan man løser rationelle uligheder

Lad os tage et eksempel for at løse rationelle uligheder.

Eksempel: Løs uligheden: (x + 3) / (x – 1) <2

Løsning:

Følgende er trinene til at løse ulighed:

Trin 1: Skriv uligheden i form af ligning: (x + 3) / (x – 1) <2

(x + 3) / (x – 1) = 2

Trin 2: Løs ligningen:

(x + 3) / (x – 1) = 2

base64 javascript afkodning

(x + 3) = 2(x – 1)

x + 3 = 2x – 2

2x – x = 3 + 2

x = 5

Fra ovenstående trin får vi værdien x = 5

Trin 3: Fra ovenstående værdier er intervallerne (-∞,1), (1, 5), (5, ∞)

Siden er uligheden

Da uligheden for x = 1 er udefineret, så vi tager åben parentes for x = 1.

Trin 4: Tallinjerepræsentation af ovenstående intervaller.

Trin 5: Tag tilfældige tal mellem hvert interval og tjek om det opfylder værdien. Hvis det opfylder, så medtag interval i løsningen.

For interval (-∞, 1) lad den tilfældige værdi være 0.

Sætter x = 0 i uligheden (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (0 + 3) / (0 – 1) <2

⇒ 3 / (-1) <2

⇒ -3 <2 (sandt)

For interval (1, 5) lad den tilfældige værdi være 2.

Sætter x = 3 i uligheden (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (3 + 3) / (3 – 1) <2

⇒ 6 / 2 <2

⇒ 3 <2 (falsk)

For interval (5, ∞) lad den tilfældige værdi være 2.

Sætter y = 6 i uligheden (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (6 + 3) / (6 – 1) <2

⇒ 9/5 <2

⇒ 1,8 <2 (sand)

Trin 6: Så løsningen for den absolutte værdi ulighed (x + 3) / (x – 1) <2 er interval (-∞, 1) ∪ (5, ∞), da det opfylder uligheden, der kan plottes på tallinjen som:

Sådan løses lineær ulighed med to variable

Lad os tage et eksempel for at løse lineær ulighed med to variable.

Eksempel: Løs: 20x + 10y ≤ 60

Løsning:

Overvej x = 0 og sæt det i den givne ulighed

⇒ 20x + 10y ≤ 60

⇒ 20(0) + 10y ≤ 60

⇒ 10y ≤ 60

⇒ og ≤ 6 ——(i)

Nu, når x = 0, kan y være 0 til 6.

På samme måde tilfredsstiller det uligheden at sætte værdier i ulighed og kontrollere det.

For x = 1 kan y være 0 til 4.

For x = 2 kan y være 0 til 2.

For x = 3 kan y være 0.

Den mulige løsning for given ulighed er (0, 0), (0,1), (0, 2), (0,3), (0,4), (0,5), (0,6), ( 1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,0), (2,1), (2,2), (3, 0).

Ulighedssystemer

Ulighedssystemerne er et sæt af to eller flere uligheder med en eller flere variable. Systemer af uligheder indeholder flere uligheder med en eller flere variable.

Systemet af uligheder er af formen:

-en_ellevex₁+ a₁₂x₂+ a₁₃x₃…….. + a_1nx_{n 1}

-en_enogtyvex₁+ a₂₂x₂+ a₂₃x₃…….. + a_2nx_{n 2}

-en_n1x₁+ a_n2x₂+ a_n3x₃…….. + a_nnx_{n n}

Grafisk fremstilling af ulighedssystemer

System af uligheder er en gruppe af flere uligheder. Løs først hver ulighed og plot grafen for hver ulighed. Skæringspunktet mellem grafen for alle ulighederne repræsenterer grafen for ulighedssystemer.

Overvej et eksempel,

Eksempel: Plot graf for systemer af uligheder

• 2x + 3y ≤ 6
• x ≤ 3
• y ≤ 2

Løsning:

Graf for 2x + 3y ≤ 6

Skraveret område af grafen repræsenterer 2x + 3y ≤ 6

Graf for x ≤ 3

Skraveret område repræsenterer x ≤ 3

Graf for y ≤ 2

Skraveret område repræsenterer y ≤ 2

java andet

Graf for givet system af uligheder

Skraveret region repræsenterer et givet system af uligheder.

Uligheder – ofte stillede spørgsmål

Hvad er begrebet uligheder?

Uligheder er de matematiske udtryk, hvori udtrykkets LHS og RHS er ulige.

Hvad er symbolerne for uligheder?

Symboler på uligheder er:>, <, ≥, ≤ og ≠.

Hvad er ulighedens transitive egenskab?

Transitiv egenskab ved uligheder siger, at hvis a, b, c er tre tal, så

• Hvis a> b og b> c, så a> c
• Hvis en
• Hvis a ≥ b og b ≥ c, så a ≥ c
• Hvis a ≤ b og b ≤ c, så er a ≤ c