På den nyligt redesignede 2016 SAT er indholdet af matematiksektionen opdelt i fire kategorier af College Board: Heart of Algebra, Problemløsning og dataanalyse, Passport to Advanced Math og Yderligere emner i matematik. Heart of Algebra tegner sig for den største del af SAT matematik sektionen (33% af testen) , så du skal være godt forberedt på det. I dette indlæg vil jeg diskutere denne kategoris indhold og spørgsmålstyper, arbejde gennem øvelsesproblemer og give tips til, hvordan du kan besvare disse spørgsmål.

Heart of Algebra: Oversigt

Indhold dækket

Ligesom navnet antyder, dækker Heart of Algebra algebraindhold, men hvilket algebraindhold specifikt? Disse spørgsmål dækker:

• Lineære ligninger
• Ligningssystem
• Absolut værdi
• Tegning af lineære ligninger
• Lineære uligheder og ulighedssystemer

Jeg vil dykke ned i hvert af disse indholdsområder nedenfor. Jeg vil forklare præcis, hvad du har brug for at vide inden for hvert område, og jeg vil lede dig gennem nogle praksisproblemer.

BEMÆRK: Alle praksisproblemerne i denne artikel kommer fra en ægte College Board SAT praksis test (Practice Test #1).

Jeg vil anbefale, at du ikke læser denne artikel, før du har taget Practice Test #1 (så jeg ødelægger det ikke for dig!). Hvis du ikke har taget Practice Test #1, skal du bogmærke denne artikel og vende tilbage, når du har gennemført den. Hvis du allerede har taget Practice Test #1, så læs videre!

Opdeling af spørgsmål i hjertet af algebra

Som jeg nævnte i starten af ​​artiklen, udgør Heart of Algebra 33% af matematikafsnittet, hvilket virker til at 19 spørgsmål. Der vil være otte i sektion 3 (den ikke-beregner-matematikprøve) og 11 i sektion 4 (beregner-matematikprøven).

Heart of Algebra-spørgsmål varierer i præsentation. Fordi der er så mange, var College Board nødt til at blande, hvordan de stiller dig disse spørgsmål. Du vil se multiple-choice og grid-in Heart of Algebra-spørgsmål. Du kan simpelthen præsenteres for en(e) ligning(er) og skal løses eller du måske få et scenarie i den virkelige verden som et ordproblem og skal lave en eller flere ligninger for at finde svaret.

SAT-matematikafsnittet præsenterer spørgsmål i rækkefølge efter sværhedsgrad (defineret ved, hvor lang tid det tager en gennemsnitlig elev at løse et problem og procentdelen af ​​elever, der svarer rigtigt på spørgsmålet). Du vil se Heart of Algebra-spørgsmål i hele afsnittet : de ligetil, 'lette' vil dukke op i begyndelsen af ​​multiple choice og grid-ins, mens de mere udfordrende, der kræver, at du laver en ligning eller ligninger, der skal løses, vises mod slutningen.

Jeg vil give eksempler på hver type spørgsmål (let og svært), når vi lærer om hvert indholdsområde i næste afsnit.

Vi er på vej til at erobre algebra!

Indholdsområdeopdelinger

Lineære ligninger

Lineære ligningsspørgsmål kan præsenteres på et par måder. De nemmere lineære ligningsspørgsmål vil bede dig om at løse en lineær ligning, som er givet til dig. De sværere lineære ligningsspørgsmål vil bede dig om at skrive en lineær ligning for at repræsentere den givne situation.

Ingen lommeregnerøvelsesproblemer

Dette spørgsmål er et af de enkleste, nemmeste og mest direkte Heart of Algebra-spørgsmål som du vil se. Spørgsmålet beder dig bare om at løse en lineær ligning uden at placere den i en situation i den virkelige verden, der ville kræve, at du forstår konteksten såvel som ligningen.

Svar Forklaring:

Da $k=3$, kan man erstatte 3 med k i ligningen, hvilket giver ${x-1}/{3}=3$. At gange begge sider af ${x-1}/{3}=3$ med 3 giver $x-1=9$, og hvis du tilføjer 1 til hver side, så er resultatet $x=10$. D er det rigtige svar.

Tip:

Hvis du kæmpede med dette spørgsmål, kunne du også løse det ved at tilslutte svarvalgene for x og se, hvilket der virkede. Tilslutning vil fungere, men det vil tage dig mere tid end blot at løse ligningen.

Hvis du løser ligningen for at finde x, kan du dobbelttjekke dit svar ved at sætte det i. Hvis du tilslutter dit svarvalg for x, og begge sider af ligningen er lige, ved du, at du har det rigtige svar!

Følgende spørgsmål er lidt mere udfordrende da den beder dig om at oprette en lineær ligning for at repræsentere det virkelige scenarie, den præsenterer.

Svar Forklaring:

Der er to måder at gribe dette problem an på.

Fremgangsmåde 1: Det samlede antal beskeder sendt af Armand er lig med hans hastighed af sms'er (m tekster/time) ganget med de 5 timer han brugte på at sms'e: m tekster/time × 5 timer = $5m$ tekster. Tilsvarende er det samlede antal beskeder sendt af Tyrone lig med hans sms-hastighed (p-beskeder/time) ganget med de 4 timer, han brugte på at sms: p-beskeder/time × 4 timer = $4p$-beskeder. Det samlede antal meddelelser sendt af Armand og Tyrone er lig med summen af ​​det samlede antal meddelelser sendt af Armand og det samlede antal meddelelser sendt af Tyrone: $5m+4p$. C er det rigtige svar.

Fremgangsmåde 2: Vælg numre og sæt dem i. For eksempel vil jeg vælge numre og sige, at Armand sender 3 tekstbeskeder i timen, og Tyrone sender 10 tekstbeskeder i timen. Baseret på de givne oplysninger, hvis Armand sender sms'er i 5 timer, sendte Armand (3 tekstbeskeder i timen) (5 timer) tekster eller 15 tekstbeskeder; hvis Tyrone sender sms'er i 4 timer, sendte Tyrone (10 sms'er i timen) (4 timer) sms'er eller 40 sms'er. Derfor er det samlede antal tekster sendt af Armand og Tyrone $15+40=55$ tekster. Nu tilslutter jeg de tal, jeg valgte, til svarvalgene og ser, om antallet af tekster matcher 55 tekster, så for svar C, $5(3) +4(10)=15+40=55$ tekster. Derfor er C det rigtige svar. BEMÆRK: for dette spørgsmål var denne strategi langsommere, men for mere komplicerede spørgsmål kan dette være en hurtigere og nemmere tilgang.

Tip:

Tag disse problemer et skridt ad gangen. Find ud af Armands samlede antal tekstbeskeder, find derefter Tyrones samlede antal tekstbeskeder, og kombiner dem derefter til ét udtryk. Skynd dig ikke at springe til det endelige svar. Du kan tage fejl undervejs.

Ligningssystemer

System af ligningsspørgsmål vil blive præsenteret på lignende måder som lineære ligningsspørgsmål; imidlertid, de er sværere fordi du nu skal udføre flere trin og/eller oprette en anden ligning.

Det lettere system af ligningsspørgsmål vil bede dig om at løse en variabel, når du får to ligninger med to variable.

Det sværere system af ligningsspørgsmål vil kræve, at du skriver et ligningssystem for at repræsentere den givne situation og derefter løser for en variabel ved hjælp af de ligninger, du har oprettet.

Ingen lommeregnerøvelsesproblemer

Dette spørgsmål er uden tvivl enkleste, nemmeste og mest ligetil systemer af ligningsspørgsmål som du vil se. Den opstiller ligningerne for dig og beder dig blot løse for x.

Svar Forklaring:

At trække venstre og højre side af $x+y=−9$ fra de tilsvarende sider af $x+2y =−25$ giver $(x+2y)−(x+y)=−25−(−9)$ , hvilket svarer til $y=−16$. Ved at erstatte $y$ med $−16$ i $x+y=−9$ får du $x+(−16)=−9$, hvilket svarer til $x=−9−(−16) =7$. Det rigtige svar er 7.

Tip:

Tilslutning kan være en god mulighed, hvis du får dette spørgsmål i multiple-choice (hvilket ikke er tilfældet her). Du kunne dog også have tilsluttet dit svar for at dobbelttjekke dit arbejde!

Her er et andet ret ligetil system af ligning spørgsmål, men det er lidt sværere da du skal give svaret for både x og y (hvilket skaber mere potentiale for fejl).

Svar Forklaring:

Tilføjelse af x og 19 til begge sider af $2y−x=−19$ giver $x=2y+19$. Hvis du derefter erstatter x med $2y+19$ i $3x+4y=−23$, giver det $3(2y + 19)+4y=−23$. Denne sidste ligning svarer til $10y+57=−23$. Løsning af $10y+57=−23$ giver $y=−8$. Til sidst, hvis −8 erstattes af y i $2y−x=−19$, giver det $2(−8)−x=−19$, eller $x=3$. Derfor er løsningen $(x, y)$ til det givne ligningssystem $(3, −8)$.

Tip:

At tilslutte ville også have været en hurtig måde at løse dette på! Når du bliver bedt om at løse for begge variabler i et spørgsmål om ligning, så prøv altid at tilslutte!

Følgende er en lidt sværere. Selvom du får ligningerne, skal du stadig bestemme, hvad spørgsmålet stiller dig (hvilken variabel du skal løse for), hvilket er lidt mere udfordrende, da det stiller dig spørgsmålet ved hjælp af et scenarie i den virkelige verden. Du skal også løse det ved hjælp af mental matematik (da det er i sektionen uden lommeregner).

Svar Forklaring:

For at bestemme prisen pr. pund oksekød, når den var lig med prisen pr. pund kylling, skal du bestemme værdien af ​​x (antallet af uger efter 1. juli), når de to priser var lige store. Priserne var lige, når $b=c$; det vil sige, når $2,35+0,25x=1,75+0,40x$. Denne sidste ligning svarer til $0,60=0,15x$, og så $x={0,6}/{0,15}=4$. For at bestemme $b$, prisen pr. pund oksekød, skal du erstatte 4 med $x$ i $b=2,35+0,25x$, hvilket giver $b=2,35+0,25(4)=3,35$ dollars pr. pund. Derfor er D det rigtige svar.

Tip:

Tag dig tid til at arbejde gennem hvert trin. Det er nemt at lave en lille fejl og få det forkerte svar.

Lommeregner øve problem

Det følgende er et af de sværeste Heart of Algebra-spørgsmål. Baseret på det virkelige scenarie, som du får i spørgsmålet, skal du oprette to ligninger og derefter løse dem.

Svar Forklaring:

For at bestemme antallet af solgte salater skal du skrive og løse et system med to ligninger. Lad $x$ svare til antallet af solgte salater, og lad $y$ svare til antallet af solgte drinks. Da antallet af salater plus antallet af solgte drinks er lig med 209, skal ligningen $x+y=209$ holde. Da hver salat kostede 6,50, hver sodavand kostede 2,00, og den samlede omsætning var 836,50, skal ligningen $6,50x+2,00y=836,50$ også holde. Ligningen $x+y=209$ svarer til $2x+2y=418$, og subtrahering af hver side af $2x+2y=418$ fra den respektive side af $6,50x+2,00y=836,50$ giver 4,5x=418,50$ $. Derfor var antallet af solgte salater x $x={418,50}/{4,50}=93$. Derfor er B det rigtige svar.

Tip:

Tag disse problemer et skridt ad gangen. Skriv ligningen for det samlede antal solgte salater og drikkevarer, find derefter ligningen for omsætning, og løs derefter. Skynd dig ikke, ellers kan du lave en fejl.

Absolut værdi

Der vil typisk kun være ét Absolute Value-spørgsmål i SAT-matematikafsnittet. Spørgsmålet er normalt ret nemt og ligetil, men det kræver, at du kender reglerne for absolut værdi for at svare korrekt. Alt, der er en absolut værdi, vil blive sat i parentes med absolutte værditegn, der ser sådan ud: || For eksempel $|-4|$ eller $|x-1|$

En absolut værdi er en repræsentation af afstand langs en tallinje, fremad eller bagud.

Det betyder at hvad der er i absolutværditegnet vil blive positivt da det repræsenterer afstand langs en tallinje, og det er umuligt at have en negativ afstand. For eksempel på ovenstående tallinje er -2 2 væk fra 0. Alt inden for den absolutte værdi bliver positivt.

Det betyder også, at en absolutværdiligning altid vil have to løsninger . For eksempel vil $|x-1|=2$ have to løsninger $x-1=2$ og $x-1=-2$. Derefter løser du hver enkelt ligning for at finde de to løsninger, $x=3,-1$.

Når man arbejder med absolutte værdiproblemer, husk, at du skal lave to separate løsninger, den positive og den negative, som vi gjorde ovenfor.

Lommeregner øve problem

Svar Forklaring:

Hvis værdien af ​​$|n−1|+1$ er lig med 0, så er $|n−1|+1=0$. At trække 1 fra begge sider af denne ligning giver $|n−1|=−1$. Udtrykket $|n−1|$ på venstre side af ligningen er den absolutte værdi af $n−1$, og som jeg lige nævnte, kan den absolutte værdi aldrig være et negativt tal, da den repræsenterer afstand. Således har $|n−1|=−1$ ingen løsning. Derfor er der ingen værdier for n, hvor værdien af ​​$|n−1|+1$ er lig med 0. D er det rigtige svar.

Tip:

Husk reglerne for absolut værdi (det er altid positivt!). Hvis du husker reglerne, bør du have spørgsmålet rigtigt!

Tegning af lineære ligninger

Disse spørgsmål tester din evne til at læse en graf og fortolke den til $y=mx+b$ form. En hurtig genopfriskning, $y=mx+b$ er hældningsskæringsligningen for en linje, hvor m repræsenterer hældningen og b repræsenterer y-skæringspunktet.

I disse spørgsmål vil du typisk blive præsenteret for grafen for en linje, og du bliver nødt til at bestemme, hvad hældningen og y-skæringspunktet er for at skrive linjens ligning.

Lommeregner øve problem

Svar Forklaring:

Forholdet mellem h og C er repræsenteret af en hvilken som helst ligning af den givne linje. Linjens C-skæringspunkt er 5. Da punkterne $(0, 5)$ og $(1, 8)$ ligger på linjen, er linjens hældning ${8-5}/{1-0 }={3}/{1}=3$. Derfor kan forholdet mellem h og C repræsenteres ved $C=3h+5$, linjens hældningsskæringsligning. C er det rigtige svar.

Tip:

Få hældningsskæringsformen ($y=mx+b$) og hældningsligningen $m={y_2-y_1}/{x_2-x_1}$ husket. Ved, hvad hver variabel i ligningerne betyder. Hvis du ved alt dette, burde du være i stand til at klare ethvert grafisk lineært ligningsproblem, du får.

Lineære uligheder og systemer af lineære uligheder

Disse er uden tvivl de mest udfordrende Heart of Algebra-spørgsmål fordi mange elever kæmper, når variable kombineres med uligheder. Hvis du har brug for en hurtig, men dybdegående genopfriskning af uligheder, så tjek vores ulighedsguide.

Disse spørgsmål vises typisk i slutningen af ​​multiple-choice og grid-ins i hver sektion. Disse spørgsmål vil blive præsenteret som ligefremme allerede opstillede uligheder (du bliver ikke bedt om at skabe uligheder, og du vil heller ikke blive præsenteret for et virkeligt scenarie, der bruger uligheder). Selvom de præsenteres på en ligetil måde, er disse spørgsmål udfordrende, og det er nemt at lave en fejl, så tag dig god tid!

Lommeregner øve problemer

Svar Forklaring:

At trække $3x$ fra og lægge 3 til på begge sider af $3x−5≥4x−3$ giver $−2≥x$. Derfor er x en løsning til $3x−5≥4x−3$, hvis og kun hvis x er mindre end eller lig med −2, og x IKKE er en løsning til $3x−5≥4x−3$, hvis og kun hvis x er større end −2. Af de givne valg er kun −1 større end −2 og kan derfor ikke være en værdi af x. A er det rigtige svar.

Du kan også prøve at besvare dette ved at tilslutte svarvalgene og se, hvilken der ikke virkede. Hvis du tilslutter A til uligheden, vil du få $3(-1)-5≥4(-1)−3$. Forenklet uligheden, ville du få -8≥-7, hvilket ikke er sandt, så A er det rigtige svar.

Tip

Husk reglerne for ulighed! Tag dig tid til at arbejde dig igennem hvert trin, så du ikke laver nogen fejl. Husk også at prøve at tilslutte svarvalgene for at finde det rigtige svar!

Lad os tage et kig på et andet eksempel.

Svar Forklaring:

Da (0, 0) er en løsning på systemet af uligheder, skal substituering af 0 for x og 0 for y i det givne system resultere i to sande uligheder. Efter denne udskiftning, y<−x + a becomes 0 x + b becomes 0>b. Derfor er a positiv, og b er negativ. Derfor a > b. Valg A er korrekt.

Tip:

Behandl dette system af uligheder med fire variable på samme måde, som du ville behandle et ulighedssystem med to variable. Husk, at hvis (0,0) er en løsning, betyder det, at når x=0, y=0.

4 nøglestrategier for Heart of Algebra

Jeg har blandet strategierne til at angribe disse spørgsmål gennem denne artikel i 'tip'-sektionerne, men jeg vil opsummere dem her nu.

Strategi #1: Husk reglerne og formlen

Du skal kende reglerne for uligheder, reglerne for absolut værdi og formlen for intercept-hældningsversionen af ​​en linje ($y=mx+b$) for at besvare disse typer algebraspørgsmål korrekt. Uden reglerne og formlen er disse spørgsmål stort set umulige.

Hvis du har brug for mere hjælp til et af begreberne, så tjek vores dybdegående vejledninger til lineære ligninger, ligningssystemer, absolut værdi, intercept-hældningsform og lineære uligheder og ulighedssystemer.

Strategi #2: Tilslutning af svar

På multiple-choice-spørgsmålene skal du tjek altid for at se, om du kan tilslutte svarvalgene til de(n) givne ligning(er) eller ulighed for at finde det rigtige svar . Nogle gange vil denne tilgang være meget enklere end at prøve at løse ligningen.

Selvom du opdager, at tilslutning af svar gør dig langsommere, bør du i det mindste overveje at bruge det til at tjekke dit arbejde. Tilslut det svarvalg, du finder, og se, om det resulterer i en afbalanceret ligning eller korrigerer uligheder. Hvis det gør, ved du, at du har det rigtige svar!

Sæt den i! Sæt den i!

Strategi #3: Tilslutning af tal

Hvis det ikke er muligt at tilslutte svar, er det ofte en mulighed at tilslutte tal, som i spørgsmål 2 ovenfor. Når du vælger tal, der skal tilsluttes, anbefaler jeg generelt ikke at bruge -1, 0 eller 1 (da de kan resultere i forkerte svar), og sørg for at læse spørgsmålet for at se, hvilke tal du skal vælge. For eksempel i spørgsmål 2 repræsenterede tallene antallet af sendte sms'er, så du bør ikke bruge et negativt tal til at repræsentere antallet af sms'er, da det er umuligt at sende et negativt antal sms'er.

For uligheder er dette særligt vigtigt, ofte vil spørgsmålet sige 'det følgende gælder for alle $x>0$.' Hvis det er tilfældet, kan du ikke tilslutte 0 eller -5; du kan kun tilslutte tal, der er større end 0, da det er den parameter, der er sat af spørgsmålet.

Strategi #4: Arbejd et trin ad gangen

For Heart of Algebra-spørgsmål skal du tage dig tid til at arbejde gennem hvert trin. Disse spørgsmål kan involvere 5, 10, 15 trin, og du skal tage dig god tid til at sikre dig, at du ikke laver en lille fejl i trin 3, som vil resultere i et forkert svar. Du kan dine ting, så lad ikke små fejl koste dig point!

Hvad er det næste?

Nu hvor du ved, hvad du kan forvente af Heart of Algebra-spørgsmål, skal du sørge for, at du er forberedt på alle de andre matematikemner du vil se på SAT. Alle vores matematikguider vil tage dig gennem strategier og øvelsesproblemer for alle de emner, der er dækket i matematikafsnittet, fra heltal til forhold, cirkler til polygoner (og mere!).

Føler du dig nervøs for testdagen? Sørg for, at du ved præcis, hvad du skal gøre, og tag med for at lette dit sind og få ro på dine nerver, før det er tid til at tage din SAT.

Løber du tør for tid på SAT-matematiksektionen? Led ikke længere end vores guide til at hjælpe dig med at slå uret og maksimere din SAT-matematikscore.

Lystfisker du for at få en perfekt score? Tjek vores guide til at få en perfekt 800 , skrevet af en perfekt scorer.