Ligningen af ​​en linje i et fly er givet som y = mx + C hvor x og y er koordinaterne for planen, m er linjens hældning og C er skæringspunktet. Konstruktionen af ​​en linje er dog ikke begrænset til kun et fly.

Vi ved, at en linje er en vej mellem to punkter. Disse to punkter kan være placeret hvor som helst, uanset om de kan være i et enkelt plan, eller de kan være i rummet. I tilfælde af et plan er linjens placering kendetegnet ved to koordinater arrangeret i et ordnet par givet som (x, y), mens i tilfælde af rum er punktets placering karakteriseret ved tre koordinater udtrykt som (x) y, z).

I denne artikel vil vi lære de forskellige former for ligninger af linjer i 3D-rum.

Indholdsfortegnelse

• Hvad er en linjes ligning?
• Linjeligning i 3D
• Kartesisk form for linjeligning i 3D
• Vektorform for linjeligning i 3D
• 3D-linjers formler
• Løste eksempler på ligning af en linje i 3D

Hvad er en linjes ligning?

En linjes ligning er en algebraisk måde at udtrykke en linje på i form af koordinaterne for de punkter, den forbinder. Ligningen for en linje vil altid være a lineær ligning .

Hvis vi forsøger at plotte punkterne opnået fra en lineær ligning, vil det være a lige linje . Standardligningen for en linje er givet som:

ax + by + c = 0

hvor,

• a og b er koefficienter for x og y
• c er konstant term

Andre former for linjeligningen er nævnt nedenfor:

Nu vil vi lære linjens ligning i 3D.

Linjeligning i 3D

Ligningen for lige linje i 3D kræver to punkter, som er placeret i rummet. Placeringen af ​​hvert punkt er givet ved hjælp af tre koordinater udtrykt som (x, y, z).

3D-ligningen for en linje er givet i to formater, kartesisk form og vektor form . I denne artikel vil vi lære ligningen for en linje i 3D i både kartesisk og vektorform og også lære at udlede ligningen. De forskellige tilfælde for linjeligning er anført nedenfor:

• Kartesisk Linieform
  • Linje, der går gennem to punkter
  • Linje, der går gennem et givet punkt og parallelt med en given vektor
• Vektor Form af linje
  • Linje, der går gennem to punkter
  • Linje, der går gennem et givet punkt og parallelt med en given vektor

Kartesisk form for linjeligning i 3D

Den kartesiske form for linje er givet ved at bruge koordinaterne for to punkter placeret i rummet, hvorfra linjen passerer. I dette vil vi diskutere to tilfælde, når linjen går gennem to punkter, og når linjen går gennem punkter og er parallel med en vektor.

Tilfælde 1: 3D-ligning af linje i kartesisk form, der passerer gennem to punkter

Lad os antage, at vi har to punkter A og B, hvis koordinater er givet som A(x₁, og₁, Med₁) og B(x₂, og₂, Med₂).

Så er 3D-ligningen for ret linje i kartesisk form givet som

old{frac{x – x_1} {x_2 – x_1} = frac{y – y_1} {y_2 – y_1} = frac{z -z_1} {z_2 – z_1}}

hvor x, y og z er rektangulære koordinater.

Udledning af ligning af linje, der går gennem to punkter

Vi kan udlede den kartesiske form af 3D-ligning af lige linje ved at bruge følgende nævnte trin:

• Trin 1: Find DR'erne (Retningsforhold) ved at tage forskellen mellem de tilsvarende positionskoordinater for de to givne punkter. l = (x₂- x₁), m = (og₂- og₁), n = (z₂- Med₁); Her l, m, n er DR’erne.
• Trin 2: Vælg en af ​​de to givne punkter sige, vi vælger (x₁, og₁, Med₁).
• Trin 3: Skriv den påkrævede ligning for den rette linje, der går gennem punkterne (x₁, og₁, Med₁) og (x₂, og₂, Med₂).
• Trin 4: 3D-ligningen for lige linje i kartesisk form er givet som L : (x – x₁)/l = (y – y₁)/m = (z – z₁)/n = (x – x₁)/(x₂- x₁) = (y – y₁)/(og₂- og₁) = (z – z₁)/(Med₂- Med₁)

Hvor (X og Z) er positionskoordinaterne for ethvert variabelt punkt, der ligger på den lige linje.

Eksempel: Hvis en ret linje går gennem de to faste punkter i den 3-dimensionelle, hvis positionskoordinater er P (2, 3, 5) og Q (4, 6, 12), så er dens kartesiske ligning ved hjælp af topunktsformen givet af

Løsning:

l = (4 – 2), m = (6 – 3), n = (12 – 5)

kort java

l = 2, m = 3, n = 7

Valg af punkt P (2, 3, 5)

Linjens krævede ligning

L: (x – 2) / 2 = (y – 3) / 3 = (z – 5) / 7

Case 2: 3D-ligning af linje i kartesisk passage gennem et punkt og parallelt med en given vektor

Lad os antage, at linjen går gennem et punkt P(x₁, og₁, Med₁) og er parallel med en vektor givet somvec n = ahat i + bhat j + chat k .

Så er linjeligningen givet som

old{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

hvor x, y, z er rektangulære koordinater og a, b, c er retningscosinus.

Afledning af 3D-ligning af linje i kartesisk passage gennem et punkt og parallelt med en given vektor

Lad os antage, at vi har et punkt P, hvis positionsvektor er givet somvec pfra oprindelsen. Lad linjen, der går gennem P, være parallel med en anden vektorvec n. Lad os tage et punkt R på linjen, der går gennem P, så er positionsvektoren for R givet somvec r .

Siden er PR parallel medvec n⇒overline {PR} = lambda vec n

Hvis vi nu bevæger os på linjen PR, vil koordinaten for ethvert punkt, der ligger på linjen, have koordinaten i form af (x₁+ λa), (og₁+ λb), (z₁+ λc), hvor λ er en parameter, hvis værdi går fra -∞ til +∞ afhængigt af retningen fra P, hvor vi bevæger os.

Derfor vil koordinaterne for det nye punkt være

x = x₁+ λa ⇒ λ = x – x₁/en

y = y₁+ λb ⇒ λ = y – y₁/b

z = z₁+ λc ⇒ λ = z – z₁/c

Ved at sammenligne ovenstående tre ligninger har vi ligningen for linje som

old{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

Eksempel: Find ligningen for en linje, der går gennem et punkt (2, 1, 3) og parallelt med en vektor 3i – 2j + k

Løsning:

Ligningen for en linje, der går gennem et punkt og parallelt med en vektor, er givet som

(x – x₁)/a = (y – y₁)/b = (z – z₁)/c

Fra det spørgsmål, vi har, x₁= 2, og₁= 1, z₁= 3 og a = 3, b = -2 og c = k. Derfor vil den krævede ligning af linjen være

⇒ (x – 2)/3 = (y – 1 )/-2 = (z – 3)/1

Vektorform for linjeligning i 3D

Vektorform for linjeligningen i 3D er givet ved hjælp af en vektorligning, der involverer punkternes positionsvektor. I denne overskrift vil vi få 3D-ligningen af ​​linjen i vektorform for to tilfælde.

Tilfælde 1: 3D-ligning af linje, der passerer gennem to punkter i vektorform

Lad os antage, at vi har to punkter A og B, hvis positionsvektor er givet somvec aogvec b.

Så er vektorligningen for Linjen L givet som

vec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

hvor(vec b – vec a)er afstanden mellem to punkter og λ er parameteren der ligger på linjen.

Udledning af 3D-ligning af linje, der passerer gennem to punkter i vektorform

Antag, at vi har to punkter A og B, hvis positionsvektor er givet somvec aogvec b. Nu ved vi, at en linje er afstanden mellem to punkter. Derfor skal vi trække de to positionsvektorer fra for at opnå afstanden.

⇒vec d = vec b – vec a

Nu ved vi, at ethvert punkt på denne linje vil blive givet som summen af ​​positionsvektorvec a space or space vec b med produktet af parameteren λ og positionsvektoren af ​​afstanden mellem to punkter dvs.vec d

Derfor vil ligningen for linjen i vektorformen værevec l = vec a + lambda (vec b – vec a)ellervec l = vec b + lambda (vec a – vec b)

Eksempel: Find vektorligningen for en linje i 3D, der går gennem to punkter, hvis positionsvektorer er angivet som 2i + j – k og 3i + 4j + k

Løsning:

Givet at de to positionsvektorer er givet som 2i + j – k og 3i + 4j + k

Afstand d = (3i + 4j + k) – (2i + j -k) = i + 3j + 2k

Vi ved, at linjens ligning er givet somvec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

Derfor vil linjens ligning værevec l= 2i + j – k + λ(i + 3j + 2k)

Case 2: Vektorform af 3D-ligning af linje, der går gennem et punkt og parallelt med en vektor

Lad os sige, at vi har et punkt P, hvis positionsvektor er givet somvec p. Lad denne linje være parallel med en anden linje, hvis positionsvektor er angivet somvec d .

Så er vektorligningen for linjen 'l' givet som

vec l = vec p + lambda vec d

hvor λ er parameteren der ligger på linjen.

Afledning af vektorformen for 3D-ligningen af ​​linje, der går gennem et punkt og parallelt med en vektor

Betragt et punkt P, hvis positionsvektor er givet somvec p. Lad os nu antage, at denne linje er parallel med en vektorvec dså vil linjens ligning værevec l = lambda vec d. Da linjen også passerer gennem punktet P, så når vi bevæger os væk fra punktet P i begge retninger på linjen, vil punktets positionsvektor være i form afvec p + lambda vec d . Derfor vil linjens ligning værevec l = vec p + lambda vec dhvor λ er parameteren der ligger på linjen.

Eksempel: Find vektorformen for ligningen af ​​linjen, der går gennem punktet (-1, 3, 2) og parallelt med en vektor 5i + 7j – 3k.

Løsning:

Vi ved, at vektorformen af ​​ligningen for en linje, der går gennem et punkt og parallelt med en vektor, er givet somvec l = vec p + lambda vec d

Givet at punktet er (-1, 3, 2), vil punktets positionsvektor derfor være -i + 3j + 2k og den givne vektor er 5i + 7j – 3k.

Derfor vil den krævede ligning af linjen værevec l = (-i + 3j + 2k) + λ(5i + 7j – 3k).

3D-linjers formler

Lignende læsninger

• Ligning af en ret linje
• Tangent og Normal
• Slope of Line

Løste eksempler på ligning af en linje i 3D

Øv linjeligninger i 3D med disse løste øvelsesspørgsmål.

Eksempel 1: Hvis en ret linje går gennem de to faste punkter i den 3-dimensionelle, hvis positionsvektorer er (2 i + 3 j + 5 k) og (4 i + 6 j + 12 k), så dens vektorligning ved hjælp af to-punkts form er givet af

Løsning:

{vec {p}}= (4 jeg + 6 j + 12 k ) - (2 jeg + 3 j + 5 k )

{vec {p}}= (2 jeg + 3 j + 7 k ); Her{vec {p}}er en vektor parallel med den rette linje

Valg af positionsvektor (2 jeg + 3 j + 5 k )

Den krævede ligning af den rette linje

L :{vec {r}}= (2 jeg + 3 j + 5 k ) + t . (2 jeg + 3 j + 7 k )

Eksempel 2: Hvis en ret linje går gennem de to faste punkter i det 3-dimensionelle rum, hvis positionskoordinater er (3, 4, -7) og (1, -1, 6), så er dens vektorligning ved hjælp af topunkts form er givet af

Løsning:

Positionsvektorer for de givne punkter vil være (3 i + 4 j – 7 k) og (i – j + 6 k)

{vec {p}}= (3 i + 4 j – 7 k) – (i – j + 6 k)

{vec {p}}= (2 i + 5 j – 13 k); Her{vec {p}}er en vektor parallel med den rette linje

Valg af positionsvektor (i – j + 6 k)

grå kode

Den krævede ligning af den rette linje

L :{vec {r}}= (i – j + 6 k) + t . (2 i + 5 j – 13 k)

Eksempel 3: Hvis en ret linje går gennem de to faste punkter i den 3-dimensionelle, hvis positionsvektorer er (5 i + 3 j + 7 k) og (2 i + j – 3 k), så er dens vektorligning ved hjælp af topunktsformen er givet af

Løsning:

{vec {p}}= (5 i + 3 j + 7 k) – (2 i + j – 3 k)

{vec {p}}= (3i + 2 j + 10 k); Her{vec {p}}er en vektor parallel med den rette linje

Valg af positionsvektor (2 i + j – 3 k)

Den krævede ligning af den rette linje

L:{vec {r}}= (2 i + j – 3 k) + t . (3 i + 2 j + 10k)

Eksempel 4: Hvis en ret linje går gennem de to faste punkter i den 3-dimensionelle, hvis positionskoordinater er A (2, -1, 3) og B (4, 2, 1), så er dens kartesiske ligning ved hjælp af to-punkts form er givet af

Løsning:

l = (4 – 2), m = (2 – (-1)), n = (1 – 3)

l = 2, m = 3, n = -2

Valg af punkt A (2, -1, 3)

Linjens krævede ligning

L : (x – 2) / 2 = (y + 1) / 3 = (z – 3) / -2 eller

L: (x – 2) / 2 = (y + 1) / 3 = (3 – z) / 2

Eksempel 5: Hvis en ret linje går gennem de to faste punkter i den 3-dimensionelle, hvis positionskoordinater er X (2, 3, 4) og Y (5, 3, 10), så er dens kartesiske ligning ved hjælp af topunktsformen givet ved

Løsning:

l = (5 – 2), m = (3 – 3), n = (10 – 4)

l = 3, m = 0, n = 6

Valg af punktet X (2, 3, 4)

Linjens krævede ligning

L : (x – 2) / 3 = (y – 3) / 0 = (z – 4) / 6 eller

L: (x – 2) / 1 = (y – 3) / 0 = (z – 4) / 2

Ligning af en linje i 3D – ofte stillede spørgsmål

Hvad er ligning af en linje i 3D?

Ligningen for en linje i 3D er givet som (x – x₁)/(x₂- x₁) = (y – y₁)/(og₂- og₁) = (z – z₁)/(Med₂- Med₁)

Hvad er kartesisk form for ligningen af ​​en linje i 3D?

Cartesisk form for linjeligningen i 3D er givet for to tilfælde

Tilfælde 1: Når linjen går gennem to punkter:{frac{x – x_1} {x_2 – x_1} = frac{y – y_1} {y_2 – y_1} = frac{z -z_1} {z_2 – z_1}}

Tilfælde 2: Når en linje går gennem et punkt og er parallel med en vektor:{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

Hvad er vektorform for ligning af en linje i 3D?

Vektorform af ligningen for en linje i 3D er givet for to tilfælde:

Tilfælde 1: Linje, der går gennem to punkter:vec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

Tilfælde 2: Linje går gennem et punkt og parallelt med en vektor:vec l = vec p + lambda vec d

Hvad er en linjes hældningspunktligning?

Hældningspunktsligningen for en linje er givet som y = mx + C hvor m er hældningen

Hvad er standardligningen for en linje?

Standardligningen for en linje er ax + by + c = 0