Akkord i en cirkel er den linje, der forbinder to punkter på cirklens omkreds. En cirkel kan have forskellige akkorder, og den største akkord i en cirkel er diameteren af ​​cirklen. Vi kan nemt beregne længden af ​​akkorden ved hjælp af Chord Length Formula. Som navnet antyder, er det formlen til at beregne længden af ​​akkorden i en cirkel i geometri.

I denne artikel vil vi lære om definitionen af ​​akkorden, sætninger for akkorderne og cirklen, forklare dens egenskaber og formlerne til at beregne længden af ​​akkorden ved hjælp af forskellige metoder. Artiklen har også nogle løste prøveproblemer for bedre forståelse.

Indholdsfortegnelse

• Cirkel definition
• Akkord af en cirkel Definition
• Hvad er Chord Length Formula?
• Akkord af en cirkel teoremer
• Egenskaber for akkorder i en cirkel
• Løste problemer
• Ofte stillede spørgsmål

Cirkel definition

En cirkel er en perfekt rund form, der består af alle punkter i et plan, der er placeret i en given afstand fra et givet punkt. De består af en lukket buet linje omkring et centralt punkt. Punkterne på linjen er i samme afstand fra det centrale punkt. Afstanden til midten af ​​en cirkel kaldes en radius.

Akkord af en cirkel Definition

Linjestykket, der forbinder to punkter på cirklens omkreds, er kendt som en cirkels korde. Da diameteren også forbinder de to punkter på omkredsen af ​​en cirkel, er den dermed også en korde til en cirkel. Faktisk er diameteren den længste korde til cirklen. Med andre ord er akkorden et linjestykke, hvis begge ender ligger på omkredsen af ​​en cirkel. Følgende illustration kan hjælpe os med at forstå mere.

Hvad er Chord Length Formula?

Der er to grundlæggende metoder eller formler til at beregne længden af ​​akkorden. en kordelængde kan bestemmes ved at bruge den vinkelrette afstand fra centrum af cirklen samt ved den trigonometriske metode. Således kan længden af ​​en akkord findes

• Brug af Pythagoras sætning
• Brug af Cosinusloven

Lad os forstå disse metoder i detaljer som følger:

Metode 1: Brug af Pythagoras sætning

I det følgende diagram for en akkord, som vi kender, halverer vinkelret tegnet fra midten af ​​cirklen til akkorden den i to halvdele.

I trekanter OAM, vha Pythagoras sætning ,

r²= x²+ d²

⇒ x²= r²– d²

⇒ x = √(r²– d²)

Da x er halvdelen af ​​akkordens længde,

Således er akkordlængden for enhver cirkel med dens vinkelrette afstand fra centrum kendt som

Længden af ​​en akkord i en cirkel = 2 ×[√(r ² – d ² )]

Hvor,

• r er radius af cirkel, og
• d er den vinkelrette afstand mellem cirkelcentrum og akkord.

Metode 2: Brug af Cosinusloven

Som vi kender for en trekant ABC, med siderne a, b og c, er den Cosinusloven stater,

c ² = a ² + b ² – 2ab cos C

Ved at bruge denne lov i det følgende diagram af en akkord, der undertrykker θ vinkel i midten af ​​cirklen, kan vi finde længden af ​​akkorden.

I trekant OAB, ved hjælp af cosinusloven,

⇒ x²= r²+ r²– 2×r×r×cos θ

⇒ x²= 2r²– 2r²cos θ

⇒ x²= 2r²(1- cos θ)

⇒ x = sqrt{2r^2(1- cos heta)}

Rightarrow x =rsqrt{2(sin^2 heta/2 + cos^2 heta/2 – cos^2 heta/2 + sin^2 heta/2)}

Rightarrow x =rsqrt{4sin^2 heta/2 }

Rightarrow x =2rsin heta/2

Således er akkordlængden givet ved:

Akkordlængde = 2r × sin [θ/2]

Hvor,

• jeg er den vinkel, der er dæmpet af akkorden i midten, og
• r er radius af cirklen.

Anden beslægtet formel for akkordlængde

Når to cirkler deler en fælles akkord, så kan længden af ​​den fælles akkord beregnes ved hjælp af formlen

Længden af ​​en fælles akkord af to cirkler = 2R ₁ × R ₂ /D

java format streng

Hvor,

• R ₁ og R ₂ refererer til radius af cirkler
• D er afstanden mellem de to centre i cirklen

Akkord af en cirkel teoremer

Cirklens akkord underlægger vinklen i midten af ​​cirklen, hvilket hjælper os med at bevise forskellige begreber i cirklen. Der er forskellige teoremer baseret på akkorden i en cirkel,

• Sætning 1: Equal Chords Equal Angles Theorem
• Sætning 2: Equal Angles Equal Chords Theorem (modsat sætning 1)
• Sætning 3: Equal Chords Equidistant from Center Theorem

Lad os nu diskutere det samme i artiklen nedenfor.

Sætning 1: Equal Chords Equal Angles Theorem

Udsagn: Lige akkorder underspænder lige store vinkler i midten af ​​cirklen, dvs. vinklen, der spænder af akkorden, er ens, hvis akkorden er ens.

Bevis:

Fra figuren,

I ∆AOB og ∆DOC

• AB = CD …eq(i) (givet)
• OA = OD …eq(ii) (cirkelradius)
• OB = OC …eq(iii) (cirkelradius)

Ved SSS-kongruensbetingelser er trekanten ∆AOB og ∆COD således kongruente.

Dermed,

∠AOB = ∠DOC (af CPCT)

Dermed er sætningen verificeret.

Sætning 2: Equal Angles Equal Chords Theorem (modsat sætning 1)

Udmelding: Akkorder, der lægger lige store vinkler i midten af ​​en cirkel, er lige lange. Dette er det modsatte af den første sætning.

Fra figuren,

I ∆AOB og ∆DOC

• ∠AOB = ∠DOC …eq(i) (givet)
• OA = OD …eq(ii) (cirkelradius)
• OB = OC …eq(iii) (cirkelradius)

Ved SAS kongruensbetingelser er trekanten ∆AOB og ∆COD således kongruente.

Dermed,

AB = CD (af CPCT)

Dermed er sætningen verificeret.

Sætning 3: Equal Chords Equidistant from Center Theorem

Udmelding: Lige akkorder er lige langt fra midten, dvs. afstanden mellem cirklens centrum og den lige akkord er altid lige stor.

Fra figuren,

I ∆AOL og ∆COM

• ∠ALO = ∠CMO …eq(i) (90 grader)
• OA = OC …eq(ii) (cirkelradius)
• OL = OM …eq(iii) (givet)

Ved RHS-kongruensbetingelser er trekanten ∆AOB og ∆COD således kongruente.

Dermed,

AL = CM (af CPCT)...(iv)

Nu ved vi, at vinkelret tegnet fra midten halverer akkorderne.

Fra eq(iv)

2AL=2CM

AB = CD

Dermed er sætningen verificeret.

Egenskaber for akkorder i en cirkel

Der er forskellige egenskaber ved akkorder i en cirkel, nogle af disse egenskaber er som følger:

• En akkord, der passerer gennem midten af ​​en cirkel, kaldes en diameter, og den er den længste akkord i cirklen.
• Den vinkelrette på en akkord, der er tegnet fra midten af ​​cirklen, halverer akkorden.
• Akkorder, der er lige langt fra midten af ​​en cirkel, er lige lange.
• Der er kun én cirkel, der passerer gennem tre collineære punkter.
• Akkorder, der er lige lange, underlægger lige store vinkler i midten af ​​en cirkel.
• Den vinkelrette halveringslinje af en akkord passerer gennem midten af ​​cirklen.
• Hvis en radius er vinkelret på en akkord, så halverer den akkorden og den bue, den opskærer. Dette er kendt som den vinkelrette halveringsretning.
• Når de underspændte vinkler af en akkord er ens, så er længden af ​​akkorder også ens.
• Hvis to akkorder i en cirkel skærer hinanden, så er produktet af segmenterne i den ene akkord lig med produktet af segmenterne i den anden akkord. Dette er kendt som krydsende akkordsætning.
• Vinklen underspændt af en akkord i midten er dobbelt så stor som vinklen, der dæmpes af akkorden ved omkredsen.

Læs mere,

• Ligning af en cirkel
• Arealet af en cirkel
• Cirkels omkreds

Løste problemer på Chord of a Circle

Opgave 1: En cirkel er en vinkel på 70 grader, hvis radius er 5 cm. Beregn akkordlængden af ​​cirklen.

Løsning:

Givet

• Radius = 5 cm
• Vinkel = 70°

Nu,

akkordlængde = 2R × Sin [vinkel/2]

= 2 × 5 × synd [70/2]

= 10 × sin35°

= 10 × 0,5736

= 5,73 cm

Opgave 2: I en cirkel , radius er 7 cm og den vinkelrette afstand fra centrum af cirklen til dens akkorder er 6 cm. Beregn længden af ​​akkorden.

Løsning:

Givet

• Radius = 7 cm
• Afstand = 6 cm

Nu,

Længde af akkorden = 2 √r²– d²

= 2 √7²– 6²

= 2 √ 49- 36

= 2 √13 cm

Opgave 3: En cirkel er en vinkel på 60 grader, hvis radius er 12 cm. Beregn akkordlængden af ​​cirklen.

Løsning:

Givet

• Radius = 12 cm
• Vinkel = 60°

Nu,

akkordlængde = 2R × Sin [vinkel/2]

⇒ 2 × 12 × sin [60/2]

⇒ 24 × sin30°

⇒ 24 × 0,5

⇒ 12 cm

Opgave 4: I en cirkel er radius 16 cm, og den vinkelrette afstand fra cirklens centrum til dens akkorder er 5 cm. Beregn længden af ​​akkorden.

Løsning:

Givet

• Radius = 16 cm
• Afstand = 5 cm

Nu,

Længde af akkord = 2 √r²– d²

⇒ 2 √(16)²- (5)²

⇒ 2 √ 256- 25

⇒ 2 √231

⇒ 2 × 15,1

⇒ 30,2 cm

Opgave 6: Beregn længden af ​​en fælles korde mellem cirklerne med en radius på henholdsvis 6 cm og 5 cm. Og afstanden mellem de to centre blev målt til at være 8 cm.

java system.out.println

Løsning:

Givet

Afstand mellem de to centre = 8 cm

Radius af de to cirkler er R₁og R₂med længder henholdsvis 6 cm og 5 cm

Nu,

Længden af ​​en fælles akkord af to cirkler = (2R₁× R₂) / Afstand mellem to centre af cirkler

⇒ 2 × 5 × 6/8

⇒ 60/8

⇒ 7,5 cm

Ofte stillede spørgsmål om Chord of a Circle

Definer akkord.

Et linjestykke, der forbinder to punkter på cirklens omkreds, er kendt som Chord.

Hvad er Chord Length Formula?

Akkordlængdeformlen beregner længden af ​​en akkord i en cirkel.

Kan længden af ​​en akkord være større end diameteren af ​​en cirkel?

Nej, længden af ​​en akkord kan ikke være større end diameteren, da diameteren er den længste akkord i cirklen.

Hvordan påvirkes længden af ​​en akkord, hvis den er tættere på midten af ​​cirklen?

Når akkorden nærmer sig midten af ​​cirklen, nærmer dens længde sig til maksimal længde, dvs. diameter.

Hvordan påvirkes længden af ​​en akkord, hvis den er tættere på kanten af ​​cirklen?

Når akkorden nærmer sig kanten af ​​cirklen, nærmer dens længde sig til 0. Således har akkordens længde og dens afstand fra kanten et omvendt forhold.

Hvad er forholdet mellem akkordlængden og den centrale vinkel i en cirkel?

Forholdet mellem e-akkordens længde og den centrale vinkel i en cirkel er som følger:

Akkordlængde = 2r × sin [θ/2]

Hvor,

• jeg er den vinkel, der er dæmpet af akkorden i midten, og
• r er radius af cirklen.

Kan akkordlængdeformlen bruges til enhver cirkel?

Ja, akkordlængdeformlen kan bruges til enhver cirkel, så længe radius og midtervinkel er kendt.

Er diameteren en akkord i en cirkel?

Ja, diameteren er en akkord af en cirkel. Det er den længste mulige akkord i en cirkel. Det er lig med to gange radius af cirklen.

D = 2r

Hvor,

• D er cirklens diameter
• r er cirklens radius