Vil du teste dig selv mod de sværeste SAT matematiske spørgsmål? Vil du vide, hvad der gør disse spørgsmål så vanskelige, og hvordan man bedst løser dem? Hvis du er klar til virkelig at sætte tænderne i SAT-matematik-sektionen og have dit blik på det perfekte resultat, så er dette guiden for dig.

Vi har sammensat det, vi tror på de 15 sværeste spørgsmål til den nuværende SAT , med strategier og svarforklaringer til hver. Disse er alle svære SAT Math-spørgsmål fra College Board SAT-praksistest, hvilket betyder at forstå dem er en af ​​de bedste måder at studere på for dem af jer, der sigter efter perfektion.

Billede: Sonia Sevilla /Wikimedia

Kort oversigt over SAT Math

Tredje og fjerde afsnit af SAT vil altid være matematiske afsnit . Det første matematikunderafsnit (mærket '3') gør ikke giver dig mulighed for at bruge en lommeregner, mens det andet matematikunderafsnit (mærket som '4') gør tillade brug af en lommeregner. Du skal dog ikke bekymre dig for meget om sektionen uden lommeregner: Hvis du ikke må bruge en lommeregner på et spørgsmål, betyder det, at du ikke behøver en lommeregner for at besvare det.

Hvert matematikunderafsnit er arrangeret i rækkefølge efter stigende sværhedsgrad (hvor jo længere tid det tager at løse et problem og jo færre der svarer rigtigt på det, jo sværere er det). På hvert underafsnit vil spørgsmål 1 være 'let', og spørgsmål 15 vil blive betragtet som 'svært'. Imidlertid nulstilles den stigende sværhedsgrad fra let til hård på grid-ins.

Derfor er multiple choice-spørgsmål arrangeret i stigende sværhedsgrad (spørgsmål 1 og 2 vil være de nemmeste, spørgsmål 14 og 15 vil være de sværeste), men sværhedsgraden nulstilles for grid-in sektionen (hvilket betyder, at spørgsmål 16 og 17 igen vil være 'let' og spørgsmål 19 og 20 vil være meget vanskelige).

Med meget få undtagelser altså de sværeste SAT matematiske problemer vil blive grupperet i slutningen af ​​multiple choice-segmenterne eller anden halvdel af grid-in-spørgsmålene. Ud over deres placering på testen har disse spørgsmål dog også et par andre fællestræk. Om et minut vil vi se på eksempler på spørgsmål, og hvordan man løser dem, og derefter analysere dem for at finde ud af, hvad disse typer spørgsmål har til fælles.

Men først: Skal du fokusere på de sværeste matematiske spørgsmål lige nu?

Hvis du lige er begyndt i din studieforberedelse (eller hvis du simpelthen har sprunget over dette første, afgørende trin), skal du helt sikkert stoppe og tage en fuld øvelsestest for at måle dit nuværende scoreniveau. Tjek vores guide til alle de gratis SAT-øvelsesprøver, der er tilgængelige online og så sæt dig ned for at tage en test på én gang.

Den absolut bedste måde at vurdere dit nuværende niveau på er simpelthen at tage SAT-øvelsestesten, som om den var ægte , holde streng timing og arbejde lige igennem med kun de tilladte pauser (vi ved det - sandsynligvis ikke din foretrukne måde at tilbringe en lørdag på). Når du har fået en god idé om dit nuværende niveau og percentilrangering, kan du sætte milepæle og mål for din ultimative SAT Math-score.

Hvis du i øjeblikket scorer i intervallet 200-400 eller 400-600 på SAT Math, er dit bedste bud først at tjekke vores guide til at forbedre din matematikscore at være konsekvent på eller over 600, før du begynder at forsøge at tackle de sværeste matematiske problemer på testen.

Hvis du dog allerede scorer over 600 i matematik-sektionen og vil teste din evne til den rigtige SAT, så fortsæt bestemt til resten af ​​denne guide. Hvis du sigter efter perfekt (eller tæt på) , så skal du vide, hvordan de sværeste SAT-matematikspørgsmål ser ud, og hvordan du løser dem. Og det er heldigvis præcis, hvad vi vil gøre.

ADVARSEL: Da der er et begrænset antal officielle SAT praksis tests , vil du måske vente med at læse denne artikel, indtil du har prøvet alle eller de fleste af de første fire officielle øvelsesprøver (da de fleste af spørgsmålene nedenfor er taget fra disse prøver). Hvis du er bekymret for at ødelægge disse tests, så stop med at læse denne guide nu; kom tilbage og læs det, når du har gennemført dem.

Lad os nu komme til vores liste over spørgsmål (whoo)!

Billede: Niytx /DeviantArt

De 15 sværeste SAT-matematikspørgsmål

Nu hvor du er sikker på, at du burde prøve disse spørgsmål, så lad os dykke direkte ind! Vi har samlet 15 af de sværeste SAT Math-spørgsmål, som du kan prøve nedenfor, sammen med gennemgange af, hvordan du får svaret (hvis du er i tvivl).

Ingen lommeregner SAT matematiske spørgsmål

Spørgsmål 1

$$C=5/9(F-32)$$

Ligningen ovenfor viser, hvordan temperatur $F$, målt i grader Fahrenheit, forholder sig til en temperatur $C$, målt i grader Celsius. Baseret på ligningen, hvilket af følgende skal være sandt?

1. En temperaturstigning på 1 grad Fahrenheit svarer til en temperaturstigning på /9$ grad Celsius.
2. En temperaturstigning på 1 grad Celsius svarer til en temperaturstigning på 1,8 grader Fahrenheit.
3. En temperaturstigning på /9$ grad Fahrenheit svarer til en temperaturstigning på 1 grad Celsius.

A) Kun jeg
B) Kun II
C) Kun III
D) Kun I og II

SVAR FORKLARING: Tænk på ligningen som en ligning for en linje

$$y=mx+b$$

hvor i dette tilfælde

$$C= {5}/{9} (F−32)$$

eller

$$C={5}/{9}F −{5}/{9}(32)$$

Du kan se, at grafens hældning er /{9}$, hvilket betyder, at for en stigning på 1 grad Fahrenheit er stigningen /{9}$ på 1 grad Celsius.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} (1)= {5}/{9}$$

Derfor er udsagn I sandt. Dette svarer til at sige, at en stigning på 1 grad Celsius er lig med en stigning på /{5}$ grader Fahrenheit.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$= {5}/{9} (F)$$

$$(F)={9}/{5}$$

Da /{5}$ = 1,8, er sætning II sandt.

Det eneste svar, der har både udsagn I og udsagn II som sandt, er D , men hvis du har tid og vil være helt grundig, kan du også tjekke, om sætning III (en stigning på /{9}$ grad Fahrenheit er lig med en temperaturstigning på 1 grad Celsius) er sand :

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} ({5}/{9})$$

$$C= {25} /{81} (som er ≠ 1)$$

javascript operatører

En stigning på /9$ grad Fahrenheit fører til en stigning på /{81}$, ikke 1 grad, Celsius, og derfor er udsagn III ikke sandt.

Det endelige svar er D.

Spørgsmål 2

Ligningen${24x^2 + 25x -47}/{ax-2} = -8x-3-{53/{ax-2}}$er sandt for alle værdier af $x≠2/a$, hvor $a$ er en konstant.

Hvad er værdien af ​​$a$?

A) -16
B) -3
C) 3
D) 16

SVAR FORKLARING: Der er to måder at løse dette spørgsmål på. Den hurtigere måde er at gange hver side af den givne ligning med $ax-2$ (så du kan slippe af med brøken). Når du ganger hver side med $ax-2$, skal du have:

$x^2 + 25x - 47 = (-8x-3)(ax-2) - 53$$

Du skal derefter gange $(-8x-3)$ og $(ax-2)$ ved hjælp af FOIL.

$x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x + 6 - 53$$

Reducer derefter på højre side af ligningen

$x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x - 47$$

Da koefficienterne for $x^2$-leddet skal være ens på begge sider af ligningen, $−8a = 24$, eller $a = −3$.

Den anden mulighed, som er længere og mere kedelig, er at forsøge at tilslutte alle svarmulighederne for a og se, hvilket svarvalg der gør begge sider af ligningen lige. Igen, dette er den længere mulighed, og jeg anbefaler det ikke til den faktiske SAT, da det vil spilde for meget tid.

Det endelige svar er B.

Spørgsmål 3

Hvis x-y = 12$, hvad er værdien af ​​${8^x}/{2^y}$?

A) ^{12}$
B) ^4$
C) ^2$
D) Værdien kan ikke bestemmes ud fra de givne oplysninger.

SVAR FORKLARING: En tilgang er at udtrykke

$${8^x}/{2^y}$$

således at tæller og nævner er udtrykt med samme grundtal. Da 2 og 8 begge er 2 potenser, giver det at erstatte ^3$ med 8 i tælleren ${8^x}/{2^y}$

$${(2^3)^x}/{2^y}$$

som kan omskrives

$${2^3x}/{2^y}$$

Da tælleren og nævneren af ​​har en fælles base, kan dette udtryk omskrives til ^(3x−y)$. I spørgsmålet står der, at x − y = 12$, så man kan erstatte eksponenten med 12, x − y$, hvilket betyder, at

$${8^x}/{2^y}= 2^12$$

Det endelige svar er A.

Spørgsmål 4

Punkterne A og B ligger på en cirkel med radius 1, og buen ${AB}↖⌢$ har en længde på $π/3$. Hvilken brøkdel af cirklens omkreds er længden af ​​buen ${AB}↖⌢$?

SVAR FORKLARING: For at finde ud af svaret på dette spørgsmål skal du først kende formlen til at finde omkredsen af ​​en cirkel.

Omkredsen, $C$, af en cirkel er $C = 2πr$, hvor $r$ er cirklens radius. For den givne cirkel med en radius på 1 er omkredsen $C = 2(π)(1)$, eller $C = 2π$.

For at finde ud af, hvilken brøkdel af omkredsen længden af ​​${AB}↖⌢$ er, divideres længden af ​​buen med omkredsen, hvilket giver $π/3 ÷ 2π$. Denne division kan repræsenteres ved $π/3 * {1/2}π = 1/6$.

Brøken /6$ kan også omskrives til

Vil du teste dig selv mod de sværeste SAT matematiske spørgsmål? Vil du vide, hvad der gør disse spørgsmål så vanskelige, og hvordan man bedst løser dem? Hvis du er klar til virkelig at sætte tænderne i SAT-matematik-sektionen og have dit blik på det perfekte resultat, så er dette guiden for dig.

Vi har sammensat det, vi tror på de 15 sværeste spørgsmål til den nuværende SAT , med strategier og svarforklaringer til hver. Disse er alle svære SAT Math-spørgsmål fra College Board SAT-praksistest, hvilket betyder at forstå dem er en af ​​de bedste måder at studere på for dem af jer, der sigter efter perfektion.

Billede: Sonia Sevilla /Wikimedia

Kort oversigt over SAT Math

Tredje og fjerde afsnit af SAT vil altid være matematiske afsnit . Det første matematikunderafsnit (mærket '3') gør ikke giver dig mulighed for at bruge en lommeregner, mens det andet matematikunderafsnit (mærket som '4') gør tillade brug af en lommeregner. Du skal dog ikke bekymre dig for meget om sektionen uden lommeregner: Hvis du ikke må bruge en lommeregner på et spørgsmål, betyder det, at du ikke behøver en lommeregner for at besvare det.

Hvert matematikunderafsnit er arrangeret i rækkefølge efter stigende sværhedsgrad (hvor jo længere tid det tager at løse et problem og jo færre der svarer rigtigt på det, jo sværere er det). På hvert underafsnit vil spørgsmål 1 være 'let', og spørgsmål 15 vil blive betragtet som 'svært'. Imidlertid nulstilles den stigende sværhedsgrad fra let til hård på grid-ins.

Derfor er multiple choice-spørgsmål arrangeret i stigende sværhedsgrad (spørgsmål 1 og 2 vil være de nemmeste, spørgsmål 14 og 15 vil være de sværeste), men sværhedsgraden nulstilles for grid-in sektionen (hvilket betyder, at spørgsmål 16 og 17 igen vil være 'let' og spørgsmål 19 og 20 vil være meget vanskelige).

Med meget få undtagelser altså de sværeste SAT matematiske problemer vil blive grupperet i slutningen af ​​multiple choice-segmenterne eller anden halvdel af grid-in-spørgsmålene. Ud over deres placering på testen har disse spørgsmål dog også et par andre fællestræk. Om et minut vil vi se på eksempler på spørgsmål, og hvordan man løser dem, og derefter analysere dem for at finde ud af, hvad disse typer spørgsmål har til fælles.

Men først: Skal du fokusere på de sværeste matematiske spørgsmål lige nu?

Hvis du lige er begyndt i din studieforberedelse (eller hvis du simpelthen har sprunget over dette første, afgørende trin), skal du helt sikkert stoppe og tage en fuld øvelsestest for at måle dit nuværende scoreniveau. Tjek vores guide til alle de gratis SAT-øvelsesprøver, der er tilgængelige online og så sæt dig ned for at tage en test på én gang.

Den absolut bedste måde at vurdere dit nuværende niveau på er simpelthen at tage SAT-øvelsestesten, som om den var ægte , holde streng timing og arbejde lige igennem med kun de tilladte pauser (vi ved det - sandsynligvis ikke din foretrukne måde at tilbringe en lørdag på). Når du har fået en god idé om dit nuværende niveau og percentilrangering, kan du sætte milepæle og mål for din ultimative SAT Math-score.

Hvis du i øjeblikket scorer i intervallet 200-400 eller 400-600 på SAT Math, er dit bedste bud først at tjekke vores guide til at forbedre din matematikscore at være konsekvent på eller over 600, før du begynder at forsøge at tackle de sværeste matematiske problemer på testen.

Hvis du dog allerede scorer over 600 i matematik-sektionen og vil teste din evne til den rigtige SAT, så fortsæt bestemt til resten af ​​denne guide. Hvis du sigter efter perfekt (eller tæt på) , så skal du vide, hvordan de sværeste SAT-matematikspørgsmål ser ud, og hvordan du løser dem. Og det er heldigvis præcis, hvad vi vil gøre.

ADVARSEL: Da der er et begrænset antal officielle SAT praksis tests , vil du måske vente med at læse denne artikel, indtil du har prøvet alle eller de fleste af de første fire officielle øvelsesprøver (da de fleste af spørgsmålene nedenfor er taget fra disse prøver). Hvis du er bekymret for at ødelægge disse tests, så stop med at læse denne guide nu; kom tilbage og læs det, når du har gennemført dem.

Lad os nu komme til vores liste over spørgsmål (whoo)!

Billede: Niytx /DeviantArt

De 15 sværeste SAT-matematikspørgsmål

Nu hvor du er sikker på, at du burde prøve disse spørgsmål, så lad os dykke direkte ind! Vi har samlet 15 af de sværeste SAT Math-spørgsmål, som du kan prøve nedenfor, sammen med gennemgange af, hvordan du får svaret (hvis du er i tvivl).

Ingen lommeregner SAT matematiske spørgsmål

Spørgsmål 1

$$C=5/9(F-32)$$

Ligningen ovenfor viser, hvordan temperatur $F$, målt i grader Fahrenheit, forholder sig til en temperatur $C$, målt i grader Celsius. Baseret på ligningen, hvilket af følgende skal være sandt?

1. En temperaturstigning på 1 grad Fahrenheit svarer til en temperaturstigning på $5/9$ grad Celsius.
2. En temperaturstigning på 1 grad Celsius svarer til en temperaturstigning på 1,8 grader Fahrenheit.
3. En temperaturstigning på $5/9$ grad Fahrenheit svarer til en temperaturstigning på 1 grad Celsius.

A) Kun jeg
B) Kun II
C) Kun III
D) Kun I og II

SVAR FORKLARING: Tænk på ligningen som en ligning for en linje

$$y=mx+b$$

hvor i dette tilfælde

$$C= {5}/{9} (F−32)$$

eller

$$C={5}/{9}F −{5}/{9}(32)$$

Du kan se, at grafens hældning er ${5}/{9}$, hvilket betyder, at for en stigning på 1 grad Fahrenheit er stigningen ${5}/{9}$ på 1 grad Celsius.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} (1)= {5}/{9}$$

Derfor er udsagn I sandt. Dette svarer til at sige, at en stigning på 1 grad Celsius er lig med en stigning på ${9}/{5}$ grader Fahrenheit.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$1= {5}/{9} (F)$$

$$(F)={9}/{5}$$

Da ${9}/{5}$ = 1,8, er sætning II sandt.

Det eneste svar, der har både udsagn I og udsagn II som sandt, er D , men hvis du har tid og vil være helt grundig, kan du også tjekke, om sætning III (en stigning på ${5}/{9}$ grad Fahrenheit er lig med en temperaturstigning på 1 grad Celsius) er sand :

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} ({5}/{9})$$

$$C= {25} /{81} (som er ≠ 1)$$

En stigning på $5/9$ grad Fahrenheit fører til en stigning på ${25}/{81}$, ikke 1 grad, Celsius, og derfor er udsagn III ikke sandt.

Det endelige svar er D.

Spørgsmål 2

Ligningen${24x^2 + 25x -47}/{ax-2} = -8x-3-{53/{ax-2}}$er sandt for alle værdier af $x≠2/a$, hvor $a$ er en konstant.

Hvad er værdien af ​​$a$?

A) -16
B) -3
C) 3
D) 16

SVAR FORKLARING: Der er to måder at løse dette spørgsmål på. Den hurtigere måde er at gange hver side af den givne ligning med $ax-2$ (så du kan slippe af med brøken). Når du ganger hver side med $ax-2$, skal du have:

$$24x^2 + 25x - 47 = (-8x-3)(ax-2) - 53$$

Du skal derefter gange $(-8x-3)$ og $(ax-2)$ ved hjælp af FOIL.

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x + 6 - 53$$

Reducer derefter på højre side af ligningen

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x - 47$$

Da koefficienterne for $x^2$-leddet skal være ens på begge sider af ligningen, $−8a = 24$, eller $a = −3$.

Den anden mulighed, som er længere og mere kedelig, er at forsøge at tilslutte alle svarmulighederne for a og se, hvilket svarvalg der gør begge sider af ligningen lige. Igen, dette er den længere mulighed, og jeg anbefaler det ikke til den faktiske SAT, da det vil spilde for meget tid.

Det endelige svar er B.

Spørgsmål 3

Hvis $3x-y = 12$, hvad er værdien af ​​${8^x}/{2^y}$?

A) $2^{12}$
B) $4^4$
C) $8^2$
D) Værdien kan ikke bestemmes ud fra de givne oplysninger.

SVAR FORKLARING: En tilgang er at udtrykke

$${8^x}/{2^y}$$

således at tæller og nævner er udtrykt med samme grundtal. Da 2 og 8 begge er 2 potenser, giver det at erstatte $2^3$ med 8 i tælleren ${8^x}/{2^y}$

$${(2^3)^x}/{2^y}$$

som kan omskrives

$${2^3x}/{2^y}$$

Da tælleren og nævneren af ​​har en fælles base, kan dette udtryk omskrives til $2^(3x−y)$. I spørgsmålet står der, at $3x − y = 12$, så man kan erstatte eksponenten med 12, $3x − y$, hvilket betyder, at

$${8^x}/{2^y}= 2^12$$

Det endelige svar er A.

Spørgsmål 4

Punkterne A og B ligger på en cirkel med radius 1, og buen ${AB}↖⌢$ har en længde på $π/3$. Hvilken brøkdel af cirklens omkreds er længden af ​​buen ${AB}↖⌢$?

SVAR FORKLARING: For at finde ud af svaret på dette spørgsmål skal du først kende formlen til at finde omkredsen af ​​en cirkel.

Omkredsen, $C$, af en cirkel er $C = 2πr$, hvor $r$ er cirklens radius. For den givne cirkel med en radius på 1 er omkredsen $C = 2(π)(1)$, eller $C = 2π$.

For at finde ud af, hvilken brøkdel af omkredsen længden af ​​${AB}↖⌢$ er, divideres længden af ​​buen med omkredsen, hvilket giver $π/3 ÷ 2π$. Denne division kan repræsenteres ved $π/3 * {1/2}π = 1/6$.

Brøken $1/6$ kan også omskrives til $0,166$ eller $0,167$.

Det endelige svar er $1/6$, $0,166$ eller $0,167$.

Spørgsmål 5

$${8-i}/{3-2i}$$

Hvis udtrykket ovenfor omskrives i formen $a+bi$, hvor $a$ og $b$ er reelle tal, hvad er værdien af ​​$a$? (Bemærk: $i=√{-1}$)

SVAR FORKLARING: For at omskrive ${8-i}/{3-2i}$ i standardformen $a + bi$, skal du gange tælleren og nævneren af ​​${8-i}/{3-2i}$ med konjugatet , $3 + 2i$. Dette svarer til

$$({8-i}/{3-2i})({3+2i}/{3+2i})={24+16i-3+(-i)(2i)}/{(3^2 )-(2i)^2}$$

Da $i^2=-1$, kan denne sidste brøk reduceres simplificeret til

$$ {24+16i-3i+2}/{9-(-4)}={26+13i}/{13}$$

hvilket forenkler yderligere til $2 + i$. Derfor, når ${8-i}/{3-2i}$ omskrives i standardformen a + bi, er værdien af ​​a 2.

Det endelige svar er A.

Spørgsmål 6

I trekant $ABC$ er målet for $∠B$ 90°, $BC=16$ og $AC$=20. Trekant $DEF$ ligner trekant $ABC$, hvor toppunkter $D$, $E$ og $F$ svarer til henholdsvis toppunkter $A$, $B$ og $C$, og hver side af trekant $ DEF$ er $1/3$ længden af ​​den tilsvarende side af trekanten $ABC$. Hvad er værdien af ​​$sinF$?

SVAR FORKLARING: Trekant ABC er en retvinklet trekant med sin rette vinkel ved B. Derfor er $ov {AC}$ hypotenusen af ​​retvinklet trekant ABC, og $ov {AB}$ og $ov {BC}$ er benene af retvinklet ABC. Ifølge Pythagoras sætning,

$$AB =√{20^2-16^2}=√{400-256}=√{144}=12$$

Da trekant DEF ligner trekant ABC, hvor toppunktet F svarer til toppunktet C, er målet for $vinkel ∠ {F}$ lig med målet for $vinkel ∠ {C}$. Derfor er $sin F = sin C$. Fra sidelængderne af trekanten ABC,

$$sinF ={modsat side}/{hypotenuse}={AB}/{AC}={12}/{20}={3}/{5}$$

Derfor er $sinF ={3}/{5}$.

Det endelige svar er ${3}/{5}$ eller 0,6.

Lommeregner-Tilladte SAT matematiske spørgsmål

Spørgsmål 7

Den ufuldstændige tabel ovenfor opsummerer antallet af venstrehåndede elever og højrehåndede elever efter køn for ottende klasses elever på Keisel Middle School. Der er 5 gange så mange højrehåndede kvindelige elever, som der er venstrehåndede kvindelige elever, og der er 9 gange så mange højrehåndede mandlige elever, som der er venstrehåndede mandlige elever. hvis der i alt er 18 venstrehåndede elever og 122 højrehåndede elever på skolen, hvilket af følgende er tættest på sandsynligheden for, at en tilfældigt udvalgt højrehåndet elev er kvinde? (Bemærk: Antag, at ingen af ​​eleverne i ottende klasse er både højrehåndede og venstrehåndede.)

A) 0,410
B) 0,357
C) 0,333
D) 0,250

SVAR FORKLARING: For at løse dette problem bør du oprette to ligninger ved hjælp af to variable ($x$ og $y$) og den information, du får. Lad $x$ være antallet af venstrehåndede kvindelige studerende og lad $y$ være antallet af venstrehåndede mandlige studerende. Ved at bruge oplysningerne i opgaven vil antallet af højrehåndede kvindelige studerende være $5x$ og antallet af højrehåndede mandlige studerende vil være $9y$. Da det samlede antal venstrehåndede elever er 18 og det samlede antal højrehåndede elever er 122, skal ligningssystemet nedenfor være sandt:

$$x + y = 18$$

$$5x + 9y = 122$$

Når du løser dette ligningssystem, får du $x = 10$ og $y = 8$. Således er 5*10, eller 50, af de 122 højrehåndede studerende kvinder. Derfor er sandsynligheden for, at en tilfældigt udvalgt højrehåndet elev er en kvinde, ${50}/{122}$, hvilket til nærmeste tusindedel er 0,410.

Det endelige svar er A.

Spørgsmål 8 og 9

Brug følgende oplysninger til både spørgsmål 7 og spørgsmål 8.

Hvis shoppere kommer ind i en butik med en gennemsnitlig rate på $r$ shoppere i minuttet og hver forbliver i butikken i en gennemsnitlig tid på $T$ minutter, angives det gennemsnitlige antal shoppere i butikken, $N$, på ethvert tidspunkt ved formlen $N=rT$. Dette forhold er kendt som Littles lov.

Ejeren af ​​Good Deals Store vurderer, at der i åbningstiden i gennemsnit går 3 shoppere i minuttet ind i butikken, og at hver af dem i gennemsnit bliver 15 minutter. Butiksejeren bruger Littles lov til at vurdere, at der til enhver tid er 45 handlende i butikken.

Spørgsmål 8

Littles lov kan anvendes på enhver del af butikken, såsom en bestemt afdeling eller kasselinjerne. Butiksejeren fastslår, at i åbningstiden foretager cirka 84 kunder i timen et køb, og hver af disse kunder bruger i gennemsnit 5 minutter i kassen. På et hvilket som helst tidspunkt i åbningstiden, hvor mange shoppere, der i gennemsnit venter i kassen for at foretage et køb i Good Deals Store?

SVAR FORKLARING: Da spørgsmålet siger, at Littles lov kan anvendes på en hvilken som helst del af butikken (for eksempel kun kasselinjen), så er det gennemsnitlige antal kunder, $N$, i kasselinjen til enhver tid $N = rT $, hvor $r$ er antallet af kunder, der går ind i kassen pr. minut, og $T$ er det gennemsnitlige antal minutter, hver shopper bruger i kassen.

Da 84 kunder i timen foretager et køb, kommer 84 kunder i timen til kassen. Dette skal dog konverteres til antallet af kunder pr. minut (for at kunne bruges med $T = 5$). Da der er 60 minutter i en time, er prisen ${84 shoppers per hour}/{60 minutes} = 1,4$ shoppere pr. minut. Brug af den givne formel med $r = 1,4$ og $T = 5$ giver

$$N = rt = (1,4)(5) = 7$$

Derfor er det gennemsnitlige antal kunder, $N$, i kassen på ethvert tidspunkt i åbningstiden 7.

Det endelige svar er 7.

Spørgsmål 9

Ejeren af ​​Good Deals Store åbner en ny butik på tværs af byen. For den nye butik vurderer ejeren, at der i åbningstiden i gennemsnit er 90 handlende prtimegå ind i butikken, og hver af dem bliver i gennemsnit 12 minutter. Hvor mange procent er det gennemsnitlige antal kunder i den nye butik til enhver tid mindre end det gennemsnitlige antal kunder i den oprindelige butik til enhver tid? (Bemærk: Ignorer procentsymbolet, når du indtaster dit svar. Hvis svaret f.eks. er 42,1 %, skal du indtaste 42,1)

SVAR FORKLARING: Ifølge de oprindelige oplysninger er det estimerede gennemsnitlige antal handlende i den oprindelige butik til enhver tid (N) 45. I spørgsmålet står der, at lederen i den nye butik vurderer, at der i gennemsnit er 90 handlende i timen. (60 minutter) gå ind i butikken, hvilket svarer til 1,5 shoppere i minuttet (r). Lederen vurderer også, at hver shopper i gennemsnit bliver i butikken i 12 minutter (T). Ifølge Littles lov er der således i gennemsnit $N = rT = (1,5)(12) = 18$ shoppere i den nye butik til enhver tid. Dette er

$${45-18}/{45} * 100 = 60$$

procent mindre end det gennemsnitlige antal kunder i den oprindelige butik til enhver tid.

Det endelige svar er 60.

Spørgsmål 10

I $xy$-planet ligger punktet $(p,r)$ på linjen med ligning $y=x+b$, hvor $b$ er en konstant. Punktet med koordinaterne $(2p, 5r)$ ligger på linjen med ligningen $y=2x+b$. Hvis $p≠0$, hvad er værdien af ​​$r/p$?

A) $2/5$

B) $3/4$

C) $4/3$

D) $5/2$

SVAR FORKLARING: Da punktet $(p,r)$ ligger på linjen med ligning $y=x+b$, skal punktet opfylde ligningen. Ved at erstatte $x$ med $p$ og $y$ med $r$ i ligningen $y=x+b$ får $r=p+b$, eller $i b$ = $i r-i p $.

På samme måde, da punktet $(2p,5r)$ ligger på linjen med ligningen $y=2x+b$, skal punktet opfylde ligningen. At erstatte $2p$ med $x$ og $5r$ for $y$ i ligningen $y=2x+b$ giver:

$5r=2(2p)+b$

$5r=4p+b$

$y b$ = $o 5 y r-o 4y p$.

Dernæst kan vi sætte de to ligninger lig med $b$ lig med hinanden og forenkle:

$b=r-p=5r-4p$

$3p=4r$

Til sidst, for at finde $r/p$, skal vi dividere begge sider af ligningen med $p$ og med $4$:

$3p=4r$

$3={4r}/p$

$3/4=r/p$

Det rigtige svar er B , $3/4$.

Hvis du valgte valg A og D, kan du have dannet dit svar forkert ud fra koefficienterne i punktet $(2p, 5r)$. Hvis du valgte valg C, har du muligvis forvekslet $r$ og $p$.

Bemærk, at selvom dette er i lommeregnerafsnittet i SAT, behøver du absolut ikke din lommeregner for at løse det!

Spørgsmål 11

En kornsilo er bygget af to højre cirkulære kegler og en højre cirkulær cylinder med indvendige mål repræsenteret af figuren ovenfor. Af følgende, hvilken er tættest på kornsiloens volumen, i kubikfod?

A) 261,8
B) 785,4
C) 916,3
D) 1047,2

SVAR FORKLARING: Kornsiloens volumen kan findes ved at tilføje volumen af ​​alle de faste stoffer, som den er sammensat af (en cylinder og to kegler). Siloen består af en cylinder (med højde 10 fod og basisradius 5 fod) og to kegler (hver med højde 5 fod og basisradius 5 fod). Formlerne givet i begyndelsen af ​​SAT Math sektionen:

Volumen af ​​en kegle

$$V={1}/{3}πr^2h$$

Volumen af ​​en cylinder

$$V=πr^2h$$

kan bruges til at bestemme siloens samlede volumen. Da de to kegler har identiske dimensioner, er siloens samlede volumen, i kubikfod, givet af

$$V_{silo}=π(5^2)(10)+(2)({1}/{3})π(5^2)(5)=({4}/{3})(250 )p$$

hvilket er omtrent lig med 1.047,2 kubikfod.

Det endelige svar er D.

Spørgsmål 12

Hvis $x$ er gennemsnittet (aritmetisk gennemsnit) af $m$ og $9$, $y$ er gennemsnittet af $2m$ og $15$, og $z$ er gennemsnittet af $3m$ og $18$, hvad er gennemsnittet af $x$, $y$ og $z$ i form af $m$?

A) $m+6$
B) $m+7$
C) $2m+14$
D) 3 millioner USD + 21 USD

SVAR FORKLARING: Da gennemsnittet (aritmetisk middelværdi) af to tal er lig med summen af ​​de to tal divideret med 2, vil ligningerne $x={m+9}/{2}$, $y={2m+15}/{2 }$, $z={3m+18}/{2}$er sande. Gennemsnittet af $x$, $y$ og $z$ er givet af ${x + y + z}/{3}$. Substitution af udtrykkene i m for hver variabel ($x$, $y$, $z$) giver

$$[{m+9}/{2}+{2m+15}/{2}+{3m+18}/{2}]/3$$

Denne fraktion kan simplificeres til $m + 7$.

Det endelige svar er B.

Spørgsmål 13

Funktionen $f(x)=x^3-x^2-x-{11/4}$ er tegnet i $xy$-planet ovenfor. Hvis $k$ er en konstant, således at ligningen $f(x)=k$ har tre reelle løsninger, hvilken af ​​følgende kunne være værdien af ​​$k$?

SVAR FORKLARING: Ligningen $f(x) = k$ giver løsningerne til ligningssystemet

$$y = f(x) = x^3-x^2-x-{11}/{4}$$

og

$$y = k$$

En reel løsning af et system med to ligninger svarer til et skæringspunkt mellem graferne for de to ligninger i $xy$-planet.

Grafen for $y = k$ er en vandret linje, der indeholder punktet $(0, k)$ og skærer grafen for den kubiske ligning tre gange (da den har tre reelle løsninger). Givet grafen er den eneste vandrette linje, der ville skære den kubiske ligning tre gange, linjen med ligningen $y = −3$, eller $f(x) = −3$. Derfor er $k$ $-3$.

Det endelige svar er D.

Spørgsmål 14

$$q={1/2}nv^2$$

Det dynamiske tryk $q$ genereret af en væske, der bevæger sig med hastigheden $v$, kan findes ved hjælp af formlen ovenfor, hvor $n$ er væskens konstante massefylde. En luftfartsingeniør bruger formlen til at finde det dynamiske tryk af en væske, der bevæger sig med en hastighed $v$, og den samme væske, der bevæger sig med en hastighed på 1,5$v$. Hvad er forholdet mellem det dynamiske tryk af den hurtigere væske og det dynamiske tryk af den langsommere væske?

SVAR FORKLARING: For at løse dette problem skal du opsætte til ligninger med variable. Lad $q_1$ være det dynamiske tryk af den langsommere væske, der bevæger sig med hastigheden $v_1$, og lad $q_2$ være det dynamiske tryk af den hurtigere væske, der bevæger sig med hastigheden $v_2$. Derefter

$$v_2 =1,5v_1$$

Givet ligningen $q = {1}/{2}nv^2$, vil erstatning af det dynamiske tryk og hastigheden af ​​den hurtigere væske give $q_2 = {1}/{2}n(v_2)^2$. Da $v_2 =1.5v_1$, kan udtrykket $1.5v_1$ erstattes med $v_2$ i denne ligning, hvilket giver $q_2 = {1}/{2}n(1.5v_1)^2$. Ved at kvadrere $1,5$, kan du omskrive den forrige ligning som

$$q_2 = (2,25)({1}/{2})n(v_1)^2 = (2,25)q_1$$

Derfor er forholdet mellem det dynamiske tryk af den hurtigere væske

$${q2}/{q1} = {2,25 q_1}/{q_1}= 2,25$$

Det endelige svar er 2,25 eller 9/4.

Spørgsmål 15

For et polynomium $p(x)$ er værdien af ​​$p(3)$ $-2$. Hvilket af følgende skal være sandt om $p(x)$?

A) $x-5$ er en faktor på $p(x)$.
B) $x-2$ er en faktor på $p(x)$.
C) $x+2$ er en faktor på $p(x)$.
D) Resten, når $p(x)$ er divideret med $x-3$, er $-2$.

SVAR FORKLARING: Hvis polynomiet $p(x)$ er divideret med et polynomium af formen $x+k$ (som står for alle de mulige svarvalg i dette spørgsmål), kan resultatet skrives som

$${p(x)}/{x+k}=q(x)+{r}/{x+k}$$

hvor $q(x)$ er et polynomium og $r$ er resten. Da $x + k$ er et grad-1 polynomium (hvilket betyder, at det kun inkluderer $x^1$ og ingen højere eksponenter), er resten et reelt tal.

Derfor kan $p(x)$ omskrives som $p(x) = (x + k)q(x) + r$, hvor $r$ er et reelt tal.

Spørgsmålet siger, at $p(3) = -2$, så det må være rigtigt

$$-2 = p(3) = (3 + k)q(3) + r$$

Nu kan vi tilslutte alle de mulige svar. Hvis svaret er A, B eller C, vil $r$ være $0$, mens hvis svaret er D, vil $r$ være $-2$.

A. $-2 = p(3) = (3 + (-5))q(3) + 0$
$-2=(3-5)q(3)$
$-2=(-2)q(3)$

Dette kunne være sandt, men kun hvis $q(3)=1$

B. $-2 = p(3) = (3 + (-2))q(3) + 0$
$-2 = (3-2)q(3)$
$-2 = (-1)q(3)$

Dette kunne være sandt, men kun hvis $q(3)=2$

C. $-2 = p(3) = (3 + 2)q(3) + 0$
$-2 = (5)q(3)$

Dette kunne være sandt, men kun hvis $q(3)={-2}/{5}$

D. $-2 = p(3) = (3 + (-3))q(3) + (-2)$
$-2 = (3 - 3)q(3) + (-2)$
$-2 = (0)q(3) + (-2)$

Dette vil altid være sandt uanset hvad $q(3)$ er.

Af svarvalgene er det eneste, der skal være sandt om $p(x)$ er D, at resten når $p(x)$ er divideret med $x-3$ er -2.

Det endelige svar er D.

Du fortjener alle lurene efter at have kørt igennem disse spørgsmål.

Hvad har de sværeste SAT-matematikspørgsmål til fælles?

Det er vigtigt at forstå, hvad der gør disse svære spørgsmål 'svære'. Ved at gøre det vil du både kunne forstå og løse lignende spørgsmål, når du ser dem på testdagen, samt have en bedre strategi til at identificere og rette dine tidligere SAT matematiske fejl.

I dette afsnit vil vi se på, hvad disse spørgsmål har til fælles, og give eksempler på hver type. Nogle af grundene til, at de sværeste matematiske spørgsmål er de sværeste matematiske spørgsmål, er fordi de:

#1: Test flere matematiske begreber på én gang

Her skal vi beskæftige os med imaginære tal og brøker på én gang.

Hemmeligheden bag succes: Tænk på, hvilken anvendelig matematik du kan bruge til at løse problemet, lav et trin ad gangen, og prøv hver teknik, indtil du finder en, der virker!

#2: Involver en masse trin

Husk: Jo flere skridt du skal tage, jo lettere er det at rode et sted hen ad linjen!

Vi skal løse dette problem i trin (ved at lave flere gennemsnit) for at låse op for resten af ​​svarene i en dominoeffekt. Dette kan blive forvirrende, især hvis du er stresset eller løber tør for tid.

Hemmeligheden bag succes: Tag det langsomt, tag det trin for trin, og dobbelttjek dit arbejde, så du ikke laver fejl!

#3: Test koncepter, som du har begrænset fortrolighed med

For eksempel er mange elever mindre fortrolige med funktioner, end de er med brøker og procenter, så de fleste funktionsspørgsmål betragtes som 'høj sværhedsgrad'-problemer.

Hvis du ikke kender din vej rundt om funktioner, ville dette være et vanskeligt problem.

Hemmeligheden bag succes: Gennemgå matematiske begreber, som du ikke har så meget kendskab til, såsom funktioner . Vi foreslår, at du bruger vores fantastiske gratis SAT Math gennemgangsguider.

#4: Er formuleret på usædvanlige eller indviklede måder

Det kan være svært at finde ud af præcis, hvad nogle spørgsmål er spørger , meget mindre finde ud af, hvordan du løser dem. Dette gælder især, når spørgsmålet er placeret i slutningen af ​​afsnittet, og du er ved at løbe tør for tid.

Fordi dette spørgsmål giver så meget information uden et diagram, kan det være svært at pusle igennem på den begrænsede tid, der er tilladt.

Hemmeligheden bag succes: Tag dig god tid, analyser, hvad der bliver bedt om af dig, og tegn et diagram, hvis det er nyttigt for dig.

#5: Brug mange forskellige variabler

Med så mange forskellige variabler i spil, er det ret nemt at blive forvirret.

Hemmeligheden bag succes: Tag dig god tid, analyser, hvad der bliver bedt om af dig, og overvej, om det er en god strategi til at løse problemet at tilslutte tal (det ville ikke være til spørgsmålet ovenfor, men ville være til mange andre SAT-variable spørgsmål).

Take-Aways

SAT er et maraton, og jo bedre forberedt du er til det, jo bedre vil du føle dig på testdagen. At vide, hvordan man håndterer de sværeste spørgsmål, testen kan kaste på dig, vil få det til at virke meget mindre skræmmende at tage den rigtige SAT.

Hvis du følte, at disse spørgsmål var nemme, så sørg for ikke at undervurdere effekten af ​​adrenalin og træthed på din evne til at løse problemer. Når du fortsætter med at studere, skal du altid overholde de korrekte timing-retningslinjer og prøve at tage fulde tests, når det er muligt. Dette er den bedste måde at genskabe det faktiske testmiljø, så du kan forberede dig på den virkelige vare.

Hvis du følte, at disse spørgsmål var udfordrende, sørg for at styrke din matematikviden ved at tjekke vores individuelle matematiske emnevejledninger til SAT. Der vil du se mere detaljerede forklaringer af de pågældende emner samt mere detaljerede svaropdelinger.

Hvad er det næste?

Følte du, at disse spørgsmål var sværere, end du havde forventet? Tag et kig på alle de emner, der er dækket i SAT-matematikafsnittet, og bemærk derefter, hvilke afsnit der var særligt vanskelige for dig. Dernæst kan du tage et kig på vores individuelle matematikguider for at hjælpe dig med at støtte nogle af disse svage områder.

Løber du tør for tid på SAT-matematiksektionen? Vores guide hjælper dig med at slå uret og maksimere din score.

Sigter du efter en perfekt score? Tjek ud vores guide til, hvordan du får en perfekt 800 på SAT-matematiksektionen , skrevet af en perfekt scorer.

Vil du teste dig selv mod de sværeste SAT matematiske spørgsmål? Vil du vide, hvad der gør disse spørgsmål så vanskelige, og hvordan man bedst løser dem? Hvis du er klar til virkelig at sætte tænderne i SAT-matematik-sektionen og have dit blik på det perfekte resultat, så er dette guiden for dig.

Vi har sammensat det, vi tror på de 15 sværeste spørgsmål til den nuværende SAT , med strategier og svarforklaringer til hver. Disse er alle svære SAT Math-spørgsmål fra College Board SAT-praksistest, hvilket betyder at forstå dem er en af ​​de bedste måder at studere på for dem af jer, der sigter efter perfektion.

Billede: Sonia Sevilla /Wikimedia

Kort oversigt over SAT Math

Tredje og fjerde afsnit af SAT vil altid være matematiske afsnit . Det første matematikunderafsnit (mærket '3') gør ikke giver dig mulighed for at bruge en lommeregner, mens det andet matematikunderafsnit (mærket som '4') gør tillade brug af en lommeregner. Du skal dog ikke bekymre dig for meget om sektionen uden lommeregner: Hvis du ikke må bruge en lommeregner på et spørgsmål, betyder det, at du ikke behøver en lommeregner for at besvare det.

Hvert matematikunderafsnit er arrangeret i rækkefølge efter stigende sværhedsgrad (hvor jo længere tid det tager at løse et problem og jo færre der svarer rigtigt på det, jo sværere er det). På hvert underafsnit vil spørgsmål 1 være 'let', og spørgsmål 15 vil blive betragtet som 'svært'. Imidlertid nulstilles den stigende sværhedsgrad fra let til hård på grid-ins.

Derfor er multiple choice-spørgsmål arrangeret i stigende sværhedsgrad (spørgsmål 1 og 2 vil være de nemmeste, spørgsmål 14 og 15 vil være de sværeste), men sværhedsgraden nulstilles for grid-in sektionen (hvilket betyder, at spørgsmål 16 og 17 igen vil være 'let' og spørgsmål 19 og 20 vil være meget vanskelige).

Med meget få undtagelser altså de sværeste SAT matematiske problemer vil blive grupperet i slutningen af ​​multiple choice-segmenterne eller anden halvdel af grid-in-spørgsmålene. Ud over deres placering på testen har disse spørgsmål dog også et par andre fællestræk. Om et minut vil vi se på eksempler på spørgsmål, og hvordan man løser dem, og derefter analysere dem for at finde ud af, hvad disse typer spørgsmål har til fælles.

Men først: Skal du fokusere på de sværeste matematiske spørgsmål lige nu?

Hvis du lige er begyndt i din studieforberedelse (eller hvis du simpelthen har sprunget over dette første, afgørende trin), skal du helt sikkert stoppe og tage en fuld øvelsestest for at måle dit nuværende scoreniveau. Tjek vores guide til alle de gratis SAT-øvelsesprøver, der er tilgængelige online og så sæt dig ned for at tage en test på én gang.

Den absolut bedste måde at vurdere dit nuværende niveau på er simpelthen at tage SAT-øvelsestesten, som om den var ægte , holde streng timing og arbejde lige igennem med kun de tilladte pauser (vi ved det - sandsynligvis ikke din foretrukne måde at tilbringe en lørdag på). Når du har fået en god idé om dit nuværende niveau og percentilrangering, kan du sætte milepæle og mål for din ultimative SAT Math-score.

Hvis du i øjeblikket scorer i intervallet 200-400 eller 400-600 på SAT Math, er dit bedste bud først at tjekke vores guide til at forbedre din matematikscore at være konsekvent på eller over 600, før du begynder at forsøge at tackle de sværeste matematiske problemer på testen.

Hvis du dog allerede scorer over 600 i matematik-sektionen og vil teste din evne til den rigtige SAT, så fortsæt bestemt til resten af ​​denne guide. Hvis du sigter efter perfekt (eller tæt på) , så skal du vide, hvordan de sværeste SAT-matematikspørgsmål ser ud, og hvordan du løser dem. Og det er heldigvis præcis, hvad vi vil gøre.

ADVARSEL: Da der er et begrænset antal officielle SAT praksis tests , vil du måske vente med at læse denne artikel, indtil du har prøvet alle eller de fleste af de første fire officielle øvelsesprøver (da de fleste af spørgsmålene nedenfor er taget fra disse prøver). Hvis du er bekymret for at ødelægge disse tests, så stop med at læse denne guide nu; kom tilbage og læs det, når du har gennemført dem.

Lad os nu komme til vores liste over spørgsmål (whoo)!

Billede: Niytx /DeviantArt

De 15 sværeste SAT-matematikspørgsmål

Nu hvor du er sikker på, at du burde prøve disse spørgsmål, så lad os dykke direkte ind! Vi har samlet 15 af de sværeste SAT Math-spørgsmål, som du kan prøve nedenfor, sammen med gennemgange af, hvordan du får svaret (hvis du er i tvivl).

Ingen lommeregner SAT matematiske spørgsmål

Spørgsmål 1

$$C=5/9(F-32)$$

Ligningen ovenfor viser, hvordan temperatur $F$, målt i grader Fahrenheit, forholder sig til en temperatur $C$, målt i grader Celsius. Baseret på ligningen, hvilket af følgende skal være sandt?

1. En temperaturstigning på 1 grad Fahrenheit svarer til en temperaturstigning på $5/9$ grad Celsius.
2. En temperaturstigning på 1 grad Celsius svarer til en temperaturstigning på 1,8 grader Fahrenheit.
3. En temperaturstigning på $5/9$ grad Fahrenheit svarer til en temperaturstigning på 1 grad Celsius.

A) Kun jeg
B) Kun II
C) Kun III
D) Kun I og II

SVAR FORKLARING: Tænk på ligningen som en ligning for en linje

$$y=mx+b$$

hvor i dette tilfælde

$$C= {5}/{9} (F−32)$$

eller

$$C={5}/{9}F −{5}/{9}(32)$$

Du kan se, at grafens hældning er ${5}/{9}$, hvilket betyder, at for en stigning på 1 grad Fahrenheit er stigningen ${5}/{9}$ på 1 grad Celsius.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} (1)= {5}/{9}$$

Derfor er udsagn I sandt. Dette svarer til at sige, at en stigning på 1 grad Celsius er lig med en stigning på ${9}/{5}$ grader Fahrenheit.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$1= {5}/{9} (F)$$

$$(F)={9}/{5}$$

Da ${9}/{5}$ = 1,8, er sætning II sandt.

Det eneste svar, der har både udsagn I og udsagn II som sandt, er D , men hvis du har tid og vil være helt grundig, kan du også tjekke, om sætning III (en stigning på ${5}/{9}$ grad Fahrenheit er lig med en temperaturstigning på 1 grad Celsius) er sand :

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} ({5}/{9})$$

$$C= {25} /{81} (som er ≠ 1)$$

En stigning på $5/9$ grad Fahrenheit fører til en stigning på ${25}/{81}$, ikke 1 grad, Celsius, og derfor er udsagn III ikke sandt.

Det endelige svar er D.

Spørgsmål 2

Ligningen${24x^2 + 25x -47}/{ax-2} = -8x-3-{53/{ax-2}}$er sandt for alle værdier af $x≠2/a$, hvor $a$ er en konstant.

Hvad er værdien af ​​$a$?

A) -16
B) -3
C) 3
D) 16

SVAR FORKLARING: Der er to måder at løse dette spørgsmål på. Den hurtigere måde er at gange hver side af den givne ligning med $ax-2$ (så du kan slippe af med brøken). Når du ganger hver side med $ax-2$, skal du have:

$$24x^2 + 25x - 47 = (-8x-3)(ax-2) - 53$$

Du skal derefter gange $(-8x-3)$ og $(ax-2)$ ved hjælp af FOIL.

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x + 6 - 53$$

Reducer derefter på højre side af ligningen

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x - 47$$

Da koefficienterne for $x^2$-leddet skal være ens på begge sider af ligningen, $−8a = 24$, eller $a = −3$.

Den anden mulighed, som er længere og mere kedelig, er at forsøge at tilslutte alle svarmulighederne for a og se, hvilket svarvalg der gør begge sider af ligningen lige. Igen, dette er den længere mulighed, og jeg anbefaler det ikke til den faktiske SAT, da det vil spilde for meget tid.

Det endelige svar er B.

Spørgsmål 3

Hvis $3x-y = 12$, hvad er værdien af ​​${8^x}/{2^y}$?

A) $2^{12}$
B) $4^4$
C) $8^2$
D) Værdien kan ikke bestemmes ud fra de givne oplysninger.

SVAR FORKLARING: En tilgang er at udtrykke

$${8^x}/{2^y}$$

således at tæller og nævner er udtrykt med samme grundtal. Da 2 og 8 begge er 2 potenser, giver det at erstatte $2^3$ med 8 i tælleren ${8^x}/{2^y}$

$${(2^3)^x}/{2^y}$$

som kan omskrives

$${2^3x}/{2^y}$$

Da tælleren og nævneren af ​​har en fælles base, kan dette udtryk omskrives til $2^(3x−y)$. I spørgsmålet står der, at $3x − y = 12$, så man kan erstatte eksponenten med 12, $3x − y$, hvilket betyder, at

$${8^x}/{2^y}= 2^12$$

Det endelige svar er A.

Spørgsmål 4

Punkterne A og B ligger på en cirkel med radius 1, og buen ${AB}↖⌢$ har en længde på $π/3$. Hvilken brøkdel af cirklens omkreds er længden af ​​buen ${AB}↖⌢$?

SVAR FORKLARING: For at finde ud af svaret på dette spørgsmål skal du først kende formlen til at finde omkredsen af ​​en cirkel.

Omkredsen, $C$, af en cirkel er $C = 2πr$, hvor $r$ er cirklens radius. For den givne cirkel med en radius på 1 er omkredsen $C = 2(π)(1)$, eller $C = 2π$.

For at finde ud af, hvilken brøkdel af omkredsen længden af ​​${AB}↖⌢$ er, divideres længden af ​​buen med omkredsen, hvilket giver $π/3 ÷ 2π$. Denne division kan repræsenteres ved $π/3 * {1/2}π = 1/6$.

Brøken $1/6$ kan også omskrives til $0,166$ eller $0,167$.

Det endelige svar er $1/6$, $0,166$ eller $0,167$.

Spørgsmål 5

$${8-i}/{3-2i}$$

Hvis udtrykket ovenfor omskrives i formen $a+bi$, hvor $a$ og $b$ er reelle tal, hvad er værdien af ​​$a$? (Bemærk: $i=√{-1}$)

SVAR FORKLARING: For at omskrive ${8-i}/{3-2i}$ i standardformen $a + bi$, skal du gange tælleren og nævneren af ​​${8-i}/{3-2i}$ med konjugatet , $3 + 2i$. Dette svarer til

$$({8-i}/{3-2i})({3+2i}/{3+2i})={24+16i-3+(-i)(2i)}/{(3^2 )-(2i)^2}$$

Da $i^2=-1$, kan denne sidste brøk reduceres simplificeret til

$$ {24+16i-3i+2}/{9-(-4)}={26+13i}/{13}$$

hvilket forenkler yderligere til $2 + i$. Derfor, når ${8-i}/{3-2i}$ omskrives i standardformen a + bi, er værdien af ​​a 2.

Det endelige svar er A.

Spørgsmål 6

I trekant $ABC$ er målet for $∠B$ 90°, $BC=16$ og $AC$=20. Trekant $DEF$ ligner trekant $ABC$, hvor toppunkter $D$, $E$ og $F$ svarer til henholdsvis toppunkter $A$, $B$ og $C$, og hver side af trekant $ DEF$ er $1/3$ længden af ​​den tilsvarende side af trekanten $ABC$. Hvad er værdien af ​​$sinF$?

SVAR FORKLARING: Trekant ABC er en retvinklet trekant med sin rette vinkel ved B. Derfor er $ov {AC}$ hypotenusen af ​​retvinklet trekant ABC, og $ov {AB}$ og $ov {BC}$ er benene af retvinklet ABC. Ifølge Pythagoras sætning,

$$AB =√{20^2-16^2}=√{400-256}=√{144}=12$$

Da trekant DEF ligner trekant ABC, hvor toppunktet F svarer til toppunktet C, er målet for $vinkel ∠ {F}$ lig med målet for $vinkel ∠ {C}$. Derfor er $sin F = sin C$. Fra sidelængderne af trekanten ABC,

$$sinF ={modsat side}/{hypotenuse}={AB}/{AC}={12}/{20}={3}/{5}$$

Derfor er $sinF ={3}/{5}$.

Det endelige svar er ${3}/{5}$ eller 0,6.

Lommeregner-Tilladte SAT matematiske spørgsmål

Spørgsmål 7

Den ufuldstændige tabel ovenfor opsummerer antallet af venstrehåndede elever og højrehåndede elever efter køn for ottende klasses elever på Keisel Middle School. Der er 5 gange så mange højrehåndede kvindelige elever, som der er venstrehåndede kvindelige elever, og der er 9 gange så mange højrehåndede mandlige elever, som der er venstrehåndede mandlige elever. hvis der i alt er 18 venstrehåndede elever og 122 højrehåndede elever på skolen, hvilket af følgende er tættest på sandsynligheden for, at en tilfældigt udvalgt højrehåndet elev er kvinde? (Bemærk: Antag, at ingen af ​​eleverne i ottende klasse er både højrehåndede og venstrehåndede.)

A) 0,410
B) 0,357
C) 0,333
D) 0,250

SVAR FORKLARING: For at løse dette problem bør du oprette to ligninger ved hjælp af to variable ($x$ og $y$) og den information, du får. Lad $x$ være antallet af venstrehåndede kvindelige studerende og lad $y$ være antallet af venstrehåndede mandlige studerende. Ved at bruge oplysningerne i opgaven vil antallet af højrehåndede kvindelige studerende være $5x$ og antallet af højrehåndede mandlige studerende vil være $9y$. Da det samlede antal venstrehåndede elever er 18 og det samlede antal højrehåndede elever er 122, skal ligningssystemet nedenfor være sandt:

$$x + y = 18$$

$$5x + 9y = 122$$

Når du løser dette ligningssystem, får du $x = 10$ og $y = 8$. Således er 5*10, eller 50, af de 122 højrehåndede studerende kvinder. Derfor er sandsynligheden for, at en tilfældigt udvalgt højrehåndet elev er en kvinde, ${50}/{122}$, hvilket til nærmeste tusindedel er 0,410.

Det endelige svar er A.

Spørgsmål 8 og 9

Brug følgende oplysninger til både spørgsmål 7 og spørgsmål 8.

Hvis shoppere kommer ind i en butik med en gennemsnitlig rate på $r$ shoppere i minuttet og hver forbliver i butikken i en gennemsnitlig tid på $T$ minutter, angives det gennemsnitlige antal shoppere i butikken, $N$, på ethvert tidspunkt ved formlen $N=rT$. Dette forhold er kendt som Littles lov.

Ejeren af ​​Good Deals Store vurderer, at der i åbningstiden i gennemsnit går 3 shoppere i minuttet ind i butikken, og at hver af dem i gennemsnit bliver 15 minutter. Butiksejeren bruger Littles lov til at vurdere, at der til enhver tid er 45 handlende i butikken.

Spørgsmål 8

Littles lov kan anvendes på enhver del af butikken, såsom en bestemt afdeling eller kasselinjerne. Butiksejeren fastslår, at i åbningstiden foretager cirka 84 kunder i timen et køb, og hver af disse kunder bruger i gennemsnit 5 minutter i kassen. På et hvilket som helst tidspunkt i åbningstiden, hvor mange shoppere, der i gennemsnit venter i kassen for at foretage et køb i Good Deals Store?

SVAR FORKLARING: Da spørgsmålet siger, at Littles lov kan anvendes på en hvilken som helst del af butikken (for eksempel kun kasselinjen), så er det gennemsnitlige antal kunder, $N$, i kasselinjen til enhver tid $N = rT $, hvor $r$ er antallet af kunder, der går ind i kassen pr. minut, og $T$ er det gennemsnitlige antal minutter, hver shopper bruger i kassen.

Da 84 kunder i timen foretager et køb, kommer 84 kunder i timen til kassen. Dette skal dog konverteres til antallet af kunder pr. minut (for at kunne bruges med $T = 5$). Da der er 60 minutter i en time, er prisen ${84 shoppers per hour}/{60 minutes} = 1,4$ shoppere pr. minut. Brug af den givne formel med $r = 1,4$ og $T = 5$ giver

$$N = rt = (1,4)(5) = 7$$

Derfor er det gennemsnitlige antal kunder, $N$, i kassen på ethvert tidspunkt i åbningstiden 7.

Det endelige svar er 7.

Spørgsmål 9

Ejeren af ​​Good Deals Store åbner en ny butik på tværs af byen. For den nye butik vurderer ejeren, at der i åbningstiden i gennemsnit er 90 handlende prtimegå ind i butikken, og hver af dem bliver i gennemsnit 12 minutter. Hvor mange procent er det gennemsnitlige antal kunder i den nye butik til enhver tid mindre end det gennemsnitlige antal kunder i den oprindelige butik til enhver tid? (Bemærk: Ignorer procentsymbolet, når du indtaster dit svar. Hvis svaret f.eks. er 42,1 %, skal du indtaste 42,1)

SVAR FORKLARING: Ifølge de oprindelige oplysninger er det estimerede gennemsnitlige antal handlende i den oprindelige butik til enhver tid (N) 45. I spørgsmålet står der, at lederen i den nye butik vurderer, at der i gennemsnit er 90 handlende i timen. (60 minutter) gå ind i butikken, hvilket svarer til 1,5 shoppere i minuttet (r). Lederen vurderer også, at hver shopper i gennemsnit bliver i butikken i 12 minutter (T). Ifølge Littles lov er der således i gennemsnit $N = rT = (1,5)(12) = 18$ shoppere i den nye butik til enhver tid. Dette er

$${45-18}/{45} * 100 = 60$$

procent mindre end det gennemsnitlige antal kunder i den oprindelige butik til enhver tid.

Det endelige svar er 60.

Spørgsmål 10

I $xy$-planet ligger punktet $(p,r)$ på linjen med ligning $y=x+b$, hvor $b$ er en konstant. Punktet med koordinaterne $(2p, 5r)$ ligger på linjen med ligningen $y=2x+b$. Hvis $p≠0$, hvad er værdien af ​​$r/p$?

A) $2/5$

B) $3/4$

C) $4/3$

D) $5/2$

SVAR FORKLARING: Da punktet $(p,r)$ ligger på linjen med ligning $y=x+b$, skal punktet opfylde ligningen. Ved at erstatte $x$ med $p$ og $y$ med $r$ i ligningen $y=x+b$ får $r=p+b$, eller $i b$ = $i r-i p $.

På samme måde, da punktet $(2p,5r)$ ligger på linjen med ligningen $y=2x+b$, skal punktet opfylde ligningen. At erstatte $2p$ med $x$ og $5r$ for $y$ i ligningen $y=2x+b$ giver:

$5r=2(2p)+b$

$5r=4p+b$

$y b$ = $o 5 y r-o 4y p$.

Dernæst kan vi sætte de to ligninger lig med $b$ lig med hinanden og forenkle:

$b=r-p=5r-4p$

$3p=4r$

Til sidst, for at finde $r/p$, skal vi dividere begge sider af ligningen med $p$ og med $4$:

$3p=4r$

$3={4r}/p$

$3/4=r/p$

Det rigtige svar er B , $3/4$.

Hvis du valgte valg A og D, kan du have dannet dit svar forkert ud fra koefficienterne i punktet $(2p, 5r)$. Hvis du valgte valg C, har du muligvis forvekslet $r$ og $p$.

Bemærk, at selvom dette er i lommeregnerafsnittet i SAT, behøver du absolut ikke din lommeregner for at løse det!

Spørgsmål 11

En kornsilo er bygget af to højre cirkulære kegler og en højre cirkulær cylinder med indvendige mål repræsenteret af figuren ovenfor. Af følgende, hvilken er tættest på kornsiloens volumen, i kubikfod?

A) 261,8
B) 785,4
C) 916,3
D) 1047,2

SVAR FORKLARING: Kornsiloens volumen kan findes ved at tilføje volumen af ​​alle de faste stoffer, som den er sammensat af (en cylinder og to kegler). Siloen består af en cylinder (med højde 10 fod og basisradius 5 fod) og to kegler (hver med højde 5 fod og basisradius 5 fod). Formlerne givet i begyndelsen af ​​SAT Math sektionen:

Volumen af ​​en kegle

$$V={1}/{3}πr^2h$$

Volumen af ​​en cylinder

$$V=πr^2h$$

kan bruges til at bestemme siloens samlede volumen. Da de to kegler har identiske dimensioner, er siloens samlede volumen, i kubikfod, givet af

$$V_{silo}=π(5^2)(10)+(2)({1}/{3})π(5^2)(5)=({4}/{3})(250 )p$$

hvilket er omtrent lig med 1.047,2 kubikfod.

Det endelige svar er D.

Spørgsmål 12

Hvis $x$ er gennemsnittet (aritmetisk gennemsnit) af $m$ og $9$, $y$ er gennemsnittet af $2m$ og $15$, og $z$ er gennemsnittet af $3m$ og $18$, hvad er gennemsnittet af $x$, $y$ og $z$ i form af $m$?

A) $m+6$
B) $m+7$
C) $2m+14$
D) 3 millioner USD + 21 USD

SVAR FORKLARING: Da gennemsnittet (aritmetisk middelværdi) af to tal er lig med summen af ​​de to tal divideret med 2, vil ligningerne $x={m+9}/{2}$, $y={2m+15}/{2 }$, $z={3m+18}/{2}$er sande. Gennemsnittet af $x$, $y$ og $z$ er givet af ${x + y + z}/{3}$. Substitution af udtrykkene i m for hver variabel ($x$, $y$, $z$) giver

$$[{m+9}/{2}+{2m+15}/{2}+{3m+18}/{2}]/3$$

Denne fraktion kan simplificeres til $m + 7$.

Det endelige svar er B.

Spørgsmål 13

Funktionen $f(x)=x^3-x^2-x-{11/4}$ er tegnet i $xy$-planet ovenfor. Hvis $k$ er en konstant, således at ligningen $f(x)=k$ har tre reelle løsninger, hvilken af ​​følgende kunne være værdien af ​​$k$?

SVAR FORKLARING: Ligningen $f(x) = k$ giver løsningerne til ligningssystemet

$$y = f(x) = x^3-x^2-x-{11}/{4}$$

og

$$y = k$$

En reel løsning af et system med to ligninger svarer til et skæringspunkt mellem graferne for de to ligninger i $xy$-planet.

Grafen for $y = k$ er en vandret linje, der indeholder punktet $(0, k)$ og skærer grafen for den kubiske ligning tre gange (da den har tre reelle løsninger). Givet grafen er den eneste vandrette linje, der ville skære den kubiske ligning tre gange, linjen med ligningen $y = −3$, eller $f(x) = −3$. Derfor er $k$ $-3$.

Det endelige svar er D.

Spørgsmål 14

$$q={1/2}nv^2$$

Det dynamiske tryk $q$ genereret af en væske, der bevæger sig med hastigheden $v$, kan findes ved hjælp af formlen ovenfor, hvor $n$ er væskens konstante massefylde. En luftfartsingeniør bruger formlen til at finde det dynamiske tryk af en væske, der bevæger sig med en hastighed $v$, og den samme væske, der bevæger sig med en hastighed på 1,5$v$. Hvad er forholdet mellem det dynamiske tryk af den hurtigere væske og det dynamiske tryk af den langsommere væske?

SVAR FORKLARING: For at løse dette problem skal du opsætte til ligninger med variable. Lad $q_1$ være det dynamiske tryk af den langsommere væske, der bevæger sig med hastigheden $v_1$, og lad $q_2$ være det dynamiske tryk af den hurtigere væske, der bevæger sig med hastigheden $v_2$. Derefter

$$v_2 =1,5v_1$$

Givet ligningen $q = {1}/{2}nv^2$, vil erstatning af det dynamiske tryk og hastigheden af ​​den hurtigere væske give $q_2 = {1}/{2}n(v_2)^2$. Da $v_2 =1.5v_1$, kan udtrykket $1.5v_1$ erstattes med $v_2$ i denne ligning, hvilket giver $q_2 = {1}/{2}n(1.5v_1)^2$. Ved at kvadrere $1,5$, kan du omskrive den forrige ligning som

$$q_2 = (2,25)({1}/{2})n(v_1)^2 = (2,25)q_1$$

Derfor er forholdet mellem det dynamiske tryk af den hurtigere væske

$${q2}/{q1} = {2,25 q_1}/{q_1}= 2,25$$

Det endelige svar er 2,25 eller 9/4.

Spørgsmål 15

For et polynomium $p(x)$ er værdien af ​​$p(3)$ $-2$. Hvilket af følgende skal være sandt om $p(x)$?

A) $x-5$ er en faktor på $p(x)$.
B) $x-2$ er en faktor på $p(x)$.
C) $x+2$ er en faktor på $p(x)$.
D) Resten, når $p(x)$ er divideret med $x-3$, er $-2$.

SVAR FORKLARING: Hvis polynomiet $p(x)$ er divideret med et polynomium af formen $x+k$ (som står for alle de mulige svarvalg i dette spørgsmål), kan resultatet skrives som

$${p(x)}/{x+k}=q(x)+{r}/{x+k}$$

hvor $q(x)$ er et polynomium og $r$ er resten. Da $x + k$ er et grad-1 polynomium (hvilket betyder, at det kun inkluderer $x^1$ og ingen højere eksponenter), er resten et reelt tal.

Derfor kan $p(x)$ omskrives som $p(x) = (x + k)q(x) + r$, hvor $r$ er et reelt tal.

Spørgsmålet siger, at $p(3) = -2$, så det må være rigtigt

$$-2 = p(3) = (3 + k)q(3) + r$$

Nu kan vi tilslutte alle de mulige svar. Hvis svaret er A, B eller C, vil $r$ være $0$, mens hvis svaret er D, vil $r$ være $-2$.

A. $-2 = p(3) = (3 + (-5))q(3) + 0$
$-2=(3-5)q(3)$
$-2=(-2)q(3)$

Dette kunne være sandt, men kun hvis $q(3)=1$

B. $-2 = p(3) = (3 + (-2))q(3) + 0$
$-2 = (3-2)q(3)$
$-2 = (-1)q(3)$

Dette kunne være sandt, men kun hvis $q(3)=2$

C. $-2 = p(3) = (3 + 2)q(3) + 0$
$-2 = (5)q(3)$

Dette kunne være sandt, men kun hvis $q(3)={-2}/{5}$

D. $-2 = p(3) = (3 + (-3))q(3) + (-2)$
$-2 = (3 - 3)q(3) + (-2)$
$-2 = (0)q(3) + (-2)$

Dette vil altid være sandt uanset hvad $q(3)$ er.

Af svarvalgene er det eneste, der skal være sandt om $p(x)$ er D, at resten når $p(x)$ er divideret med $x-3$ er -2.

Det endelige svar er D.

Du fortjener alle lurene efter at have kørt igennem disse spørgsmål.

Hvad har de sværeste SAT-matematikspørgsmål til fælles?

Det er vigtigt at forstå, hvad der gør disse svære spørgsmål 'svære'. Ved at gøre det vil du både kunne forstå og løse lignende spørgsmål, når du ser dem på testdagen, samt have en bedre strategi til at identificere og rette dine tidligere SAT matematiske fejl.

I dette afsnit vil vi se på, hvad disse spørgsmål har til fælles, og give eksempler på hver type. Nogle af grundene til, at de sværeste matematiske spørgsmål er de sværeste matematiske spørgsmål, er fordi de:

#1: Test flere matematiske begreber på én gang

Her skal vi beskæftige os med imaginære tal og brøker på én gang.

Hemmeligheden bag succes: Tænk på, hvilken anvendelig matematik du kan bruge til at løse problemet, lav et trin ad gangen, og prøv hver teknik, indtil du finder en, der virker!

#2: Involver en masse trin

Husk: Jo flere skridt du skal tage, jo lettere er det at rode et sted hen ad linjen!

Vi skal løse dette problem i trin (ved at lave flere gennemsnit) for at låse op for resten af ​​svarene i en dominoeffekt. Dette kan blive forvirrende, især hvis du er stresset eller løber tør for tid.

Hemmeligheden bag succes: Tag det langsomt, tag det trin for trin, og dobbelttjek dit arbejde, så du ikke laver fejl!

#3: Test koncepter, som du har begrænset fortrolighed med

For eksempel er mange elever mindre fortrolige med funktioner, end de er med brøker og procenter, så de fleste funktionsspørgsmål betragtes som 'høj sværhedsgrad'-problemer.

Hvis du ikke kender din vej rundt om funktioner, ville dette være et vanskeligt problem.

Hemmeligheden bag succes: Gennemgå matematiske begreber, som du ikke har så meget kendskab til, såsom funktioner . Vi foreslår, at du bruger vores fantastiske gratis SAT Math gennemgangsguider.

#4: Er formuleret på usædvanlige eller indviklede måder

Det kan være svært at finde ud af præcis, hvad nogle spørgsmål er spørger , meget mindre finde ud af, hvordan du løser dem. Dette gælder især, når spørgsmålet er placeret i slutningen af ​​afsnittet, og du er ved at løbe tør for tid.

Fordi dette spørgsmål giver så meget information uden et diagram, kan det være svært at pusle igennem på den begrænsede tid, der er tilladt.

Hemmeligheden bag succes: Tag dig god tid, analyser, hvad der bliver bedt om af dig, og tegn et diagram, hvis det er nyttigt for dig.

#5: Brug mange forskellige variabler

Med så mange forskellige variabler i spil, er det ret nemt at blive forvirret.

Hemmeligheden bag succes: Tag dig god tid, analyser, hvad der bliver bedt om af dig, og overvej, om det er en god strategi til at løse problemet at tilslutte tal (det ville ikke være til spørgsmålet ovenfor, men ville være til mange andre SAT-variable spørgsmål).

Take-Aways

SAT er et maraton, og jo bedre forberedt du er til det, jo bedre vil du føle dig på testdagen. At vide, hvordan man håndterer de sværeste spørgsmål, testen kan kaste på dig, vil få det til at virke meget mindre skræmmende at tage den rigtige SAT.

Hvis du følte, at disse spørgsmål var nemme, så sørg for ikke at undervurdere effekten af ​​adrenalin og træthed på din evne til at løse problemer. Når du fortsætter med at studere, skal du altid overholde de korrekte timing-retningslinjer og prøve at tage fulde tests, når det er muligt. Dette er den bedste måde at genskabe det faktiske testmiljø, så du kan forberede dig på den virkelige vare.

Hvis du følte, at disse spørgsmål var udfordrende, sørg for at styrke din matematikviden ved at tjekke vores individuelle matematiske emnevejledninger til SAT. Der vil du se mere detaljerede forklaringer af de pågældende emner samt mere detaljerede svaropdelinger.

Hvad er det næste?

Følte du, at disse spørgsmål var sværere, end du havde forventet? Tag et kig på alle de emner, der er dækket i SAT-matematikafsnittet, og bemærk derefter, hvilke afsnit der var særligt vanskelige for dig. Dernæst kan du tage et kig på vores individuelle matematikguider for at hjælpe dig med at støtte nogle af disse svage områder.

Løber du tør for tid på SAT-matematiksektionen? Vores guide hjælper dig med at slå uret og maksimere din score.

Sigter du efter en perfekt score? Tjek ud vores guide til, hvordan du får en perfekt 800 på SAT-matematiksektionen , skrevet af en perfekt scorer.

Det endelige svar er /6$,

Vil du teste dig selv mod de sværeste SAT matematiske spørgsmål? Vil du vide, hvad der gør disse spørgsmål så vanskelige, og hvordan man bedst løser dem? Hvis du er klar til virkelig at sætte tænderne i SAT-matematik-sektionen og have dit blik på det perfekte resultat, så er dette guiden for dig.

Vi har sammensat det, vi tror på de 15 sværeste spørgsmål til den nuværende SAT , med strategier og svarforklaringer til hver. Disse er alle svære SAT Math-spørgsmål fra College Board SAT-praksistest, hvilket betyder at forstå dem er en af ​​de bedste måder at studere på for dem af jer, der sigter efter perfektion.

Billede: Sonia Sevilla /Wikimedia

Kort oversigt over SAT Math

Tredje og fjerde afsnit af SAT vil altid være matematiske afsnit . Det første matematikunderafsnit (mærket '3') gør ikke giver dig mulighed for at bruge en lommeregner, mens det andet matematikunderafsnit (mærket som '4') gør tillade brug af en lommeregner. Du skal dog ikke bekymre dig for meget om sektionen uden lommeregner: Hvis du ikke må bruge en lommeregner på et spørgsmål, betyder det, at du ikke behøver en lommeregner for at besvare det.

Hvert matematikunderafsnit er arrangeret i rækkefølge efter stigende sværhedsgrad (hvor jo længere tid det tager at løse et problem og jo færre der svarer rigtigt på det, jo sværere er det). På hvert underafsnit vil spørgsmål 1 være 'let', og spørgsmål 15 vil blive betragtet som 'svært'. Imidlertid nulstilles den stigende sværhedsgrad fra let til hård på grid-ins.

Derfor er multiple choice-spørgsmål arrangeret i stigende sværhedsgrad (spørgsmål 1 og 2 vil være de nemmeste, spørgsmål 14 og 15 vil være de sværeste), men sværhedsgraden nulstilles for grid-in sektionen (hvilket betyder, at spørgsmål 16 og 17 igen vil være 'let' og spørgsmål 19 og 20 vil være meget vanskelige).

Med meget få undtagelser altså de sværeste SAT matematiske problemer vil blive grupperet i slutningen af ​​multiple choice-segmenterne eller anden halvdel af grid-in-spørgsmålene. Ud over deres placering på testen har disse spørgsmål dog også et par andre fællestræk. Om et minut vil vi se på eksempler på spørgsmål, og hvordan man løser dem, og derefter analysere dem for at finde ud af, hvad disse typer spørgsmål har til fælles.

Men først: Skal du fokusere på de sværeste matematiske spørgsmål lige nu?

Hvis du lige er begyndt i din studieforberedelse (eller hvis du simpelthen har sprunget over dette første, afgørende trin), skal du helt sikkert stoppe og tage en fuld øvelsestest for at måle dit nuværende scoreniveau. Tjek vores guide til alle de gratis SAT-øvelsesprøver, der er tilgængelige online og så sæt dig ned for at tage en test på én gang.

Den absolut bedste måde at vurdere dit nuværende niveau på er simpelthen at tage SAT-øvelsestesten, som om den var ægte , holde streng timing og arbejde lige igennem med kun de tilladte pauser (vi ved det - sandsynligvis ikke din foretrukne måde at tilbringe en lørdag på). Når du har fået en god idé om dit nuværende niveau og percentilrangering, kan du sætte milepæle og mål for din ultimative SAT Math-score.

Hvis du i øjeblikket scorer i intervallet 200-400 eller 400-600 på SAT Math, er dit bedste bud først at tjekke vores guide til at forbedre din matematikscore at være konsekvent på eller over 600, før du begynder at forsøge at tackle de sværeste matematiske problemer på testen.

Hvis du dog allerede scorer over 600 i matematik-sektionen og vil teste din evne til den rigtige SAT, så fortsæt bestemt til resten af ​​denne guide. Hvis du sigter efter perfekt (eller tæt på) , så skal du vide, hvordan de sværeste SAT-matematikspørgsmål ser ud, og hvordan du løser dem. Og det er heldigvis præcis, hvad vi vil gøre.

ADVARSEL: Da der er et begrænset antal officielle SAT praksis tests , vil du måske vente med at læse denne artikel, indtil du har prøvet alle eller de fleste af de første fire officielle øvelsesprøver (da de fleste af spørgsmålene nedenfor er taget fra disse prøver). Hvis du er bekymret for at ødelægge disse tests, så stop med at læse denne guide nu; kom tilbage og læs det, når du har gennemført dem.

Lad os nu komme til vores liste over spørgsmål (whoo)!

Billede: Niytx /DeviantArt

De 15 sværeste SAT-matematikspørgsmål

Nu hvor du er sikker på, at du burde prøve disse spørgsmål, så lad os dykke direkte ind! Vi har samlet 15 af de sværeste SAT Math-spørgsmål, som du kan prøve nedenfor, sammen med gennemgange af, hvordan du får svaret (hvis du er i tvivl).

Ingen lommeregner SAT matematiske spørgsmål

Spørgsmål 1

$$C=5/9(F-32)$$

Ligningen ovenfor viser, hvordan temperatur $F$, målt i grader Fahrenheit, forholder sig til en temperatur $C$, målt i grader Celsius. Baseret på ligningen, hvilket af følgende skal være sandt?

1. En temperaturstigning på 1 grad Fahrenheit svarer til en temperaturstigning på $5/9$ grad Celsius.
2. En temperaturstigning på 1 grad Celsius svarer til en temperaturstigning på 1,8 grader Fahrenheit.
3. En temperaturstigning på $5/9$ grad Fahrenheit svarer til en temperaturstigning på 1 grad Celsius.

A) Kun jeg
B) Kun II
C) Kun III
D) Kun I og II

SVAR FORKLARING: Tænk på ligningen som en ligning for en linje

$$y=mx+b$$

hvor i dette tilfælde

$$C= {5}/{9} (F−32)$$

eller

$$C={5}/{9}F −{5}/{9}(32)$$

Du kan se, at grafens hældning er ${5}/{9}$, hvilket betyder, at for en stigning på 1 grad Fahrenheit er stigningen ${5}/{9}$ på 1 grad Celsius.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} (1)= {5}/{9}$$

Derfor er udsagn I sandt. Dette svarer til at sige, at en stigning på 1 grad Celsius er lig med en stigning på ${9}/{5}$ grader Fahrenheit.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$1= {5}/{9} (F)$$

$$(F)={9}/{5}$$

Da ${9}/{5}$ = 1,8, er sætning II sandt.

Det eneste svar, der har både udsagn I og udsagn II som sandt, er D , men hvis du har tid og vil være helt grundig, kan du også tjekke, om sætning III (en stigning på ${5}/{9}$ grad Fahrenheit er lig med en temperaturstigning på 1 grad Celsius) er sand :

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} ({5}/{9})$$

$$C= {25} /{81} (som er ≠ 1)$$

En stigning på $5/9$ grad Fahrenheit fører til en stigning på ${25}/{81}$, ikke 1 grad, Celsius, og derfor er udsagn III ikke sandt.

Det endelige svar er D.

Spørgsmål 2

Ligningen${24x^2 + 25x -47}/{ax-2} = -8x-3-{53/{ax-2}}$er sandt for alle værdier af $x≠2/a$, hvor $a$ er en konstant.

Hvad er værdien af ​​$a$?

A) -16
B) -3
C) 3
D) 16

SVAR FORKLARING: Der er to måder at løse dette spørgsmål på. Den hurtigere måde er at gange hver side af den givne ligning med $ax-2$ (så du kan slippe af med brøken). Når du ganger hver side med $ax-2$, skal du have:

$$24x^2 + 25x - 47 = (-8x-3)(ax-2) - 53$$

Du skal derefter gange $(-8x-3)$ og $(ax-2)$ ved hjælp af FOIL.

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x + 6 - 53$$

Reducer derefter på højre side af ligningen

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x - 47$$

Da koefficienterne for $x^2$-leddet skal være ens på begge sider af ligningen, $−8a = 24$, eller $a = −3$.

Den anden mulighed, som er længere og mere kedelig, er at forsøge at tilslutte alle svarmulighederne for a og se, hvilket svarvalg der gør begge sider af ligningen lige. Igen, dette er den længere mulighed, og jeg anbefaler det ikke til den faktiske SAT, da det vil spilde for meget tid.

Det endelige svar er B.

Spørgsmål 3

Hvis $3x-y = 12$, hvad er værdien af ​​${8^x}/{2^y}$?

A) $2^{12}$
B) $4^4$
C) $8^2$
D) Værdien kan ikke bestemmes ud fra de givne oplysninger.

SVAR FORKLARING: En tilgang er at udtrykke

$${8^x}/{2^y}$$

således at tæller og nævner er udtrykt med samme grundtal. Da 2 og 8 begge er 2 potenser, giver det at erstatte $2^3$ med 8 i tælleren ${8^x}/{2^y}$

$${(2^3)^x}/{2^y}$$

som kan omskrives

$${2^3x}/{2^y}$$

Da tælleren og nævneren af ​​har en fælles base, kan dette udtryk omskrives til $2^(3x−y)$. I spørgsmålet står der, at $3x − y = 12$, så man kan erstatte eksponenten med 12, $3x − y$, hvilket betyder, at

$${8^x}/{2^y}= 2^12$$

Det endelige svar er A.

Spørgsmål 4

Punkterne A og B ligger på en cirkel med radius 1, og buen ${AB}↖⌢$ har en længde på $π/3$. Hvilken brøkdel af cirklens omkreds er længden af ​​buen ${AB}↖⌢$?

SVAR FORKLARING: For at finde ud af svaret på dette spørgsmål skal du først kende formlen til at finde omkredsen af ​​en cirkel.

Omkredsen, $C$, af en cirkel er $C = 2πr$, hvor $r$ er cirklens radius. For den givne cirkel med en radius på 1 er omkredsen $C = 2(π)(1)$, eller $C = 2π$.

For at finde ud af, hvilken brøkdel af omkredsen længden af ​​${AB}↖⌢$ er, divideres længden af ​​buen med omkredsen, hvilket giver $π/3 ÷ 2π$. Denne division kan repræsenteres ved $π/3 * {1/2}π = 1/6$.

Brøken $1/6$ kan også omskrives til $0,166$ eller $0,167$.

Det endelige svar er $1/6$, $0,166$ eller $0,167$.

Spørgsmål 5

$${8-i}/{3-2i}$$

Hvis udtrykket ovenfor omskrives i formen $a+bi$, hvor $a$ og $b$ er reelle tal, hvad er værdien af ​​$a$? (Bemærk: $i=√{-1}$)

SVAR FORKLARING: For at omskrive ${8-i}/{3-2i}$ i standardformen $a + bi$, skal du gange tælleren og nævneren af ​​${8-i}/{3-2i}$ med konjugatet , $3 + 2i$. Dette svarer til

$$({8-i}/{3-2i})({3+2i}/{3+2i})={24+16i-3+(-i)(2i)}/{(3^2 )-(2i)^2}$$

Da $i^2=-1$, kan denne sidste brøk reduceres simplificeret til

$$ {24+16i-3i+2}/{9-(-4)}={26+13i}/{13}$$

hvilket forenkler yderligere til $2 + i$. Derfor, når ${8-i}/{3-2i}$ omskrives i standardformen a + bi, er værdien af ​​a 2.

Det endelige svar er A.

Spørgsmål 6

I trekant $ABC$ er målet for $∠B$ 90°, $BC=16$ og $AC$=20. Trekant $DEF$ ligner trekant $ABC$, hvor toppunkter $D$, $E$ og $F$ svarer til henholdsvis toppunkter $A$, $B$ og $C$, og hver side af trekant $ DEF$ er $1/3$ længden af ​​den tilsvarende side af trekanten $ABC$. Hvad er værdien af ​​$sinF$?

SVAR FORKLARING: Trekant ABC er en retvinklet trekant med sin rette vinkel ved B. Derfor er $ov {AC}$ hypotenusen af ​​retvinklet trekant ABC, og $ov {AB}$ og $ov {BC}$ er benene af retvinklet ABC. Ifølge Pythagoras sætning,

$$AB =√{20^2-16^2}=√{400-256}=√{144}=12$$

Da trekant DEF ligner trekant ABC, hvor toppunktet F svarer til toppunktet C, er målet for $vinkel ∠ {F}$ lig med målet for $vinkel ∠ {C}$. Derfor er $sin F = sin C$. Fra sidelængderne af trekanten ABC,

$$sinF ={modsat side}/{hypotenuse}={AB}/{AC}={12}/{20}={3}/{5}$$

Derfor er $sinF ={3}/{5}$.

Det endelige svar er ${3}/{5}$ eller 0,6.

Lommeregner-Tilladte SAT matematiske spørgsmål

Spørgsmål 7

Den ufuldstændige tabel ovenfor opsummerer antallet af venstrehåndede elever og højrehåndede elever efter køn for ottende klasses elever på Keisel Middle School. Der er 5 gange så mange højrehåndede kvindelige elever, som der er venstrehåndede kvindelige elever, og der er 9 gange så mange højrehåndede mandlige elever, som der er venstrehåndede mandlige elever. hvis der i alt er 18 venstrehåndede elever og 122 højrehåndede elever på skolen, hvilket af følgende er tættest på sandsynligheden for, at en tilfældigt udvalgt højrehåndet elev er kvinde? (Bemærk: Antag, at ingen af ​​eleverne i ottende klasse er både højrehåndede og venstrehåndede.)

A) 0,410
B) 0,357
C) 0,333
D) 0,250

SVAR FORKLARING: For at løse dette problem bør du oprette to ligninger ved hjælp af to variable ($x$ og $y$) og den information, du får. Lad $x$ være antallet af venstrehåndede kvindelige studerende og lad $y$ være antallet af venstrehåndede mandlige studerende. Ved at bruge oplysningerne i opgaven vil antallet af højrehåndede kvindelige studerende være $5x$ og antallet af højrehåndede mandlige studerende vil være $9y$. Da det samlede antal venstrehåndede elever er 18 og det samlede antal højrehåndede elever er 122, skal ligningssystemet nedenfor være sandt:

$$x + y = 18$$

$$5x + 9y = 122$$

Når du løser dette ligningssystem, får du $x = 10$ og $y = 8$. Således er 5*10, eller 50, af de 122 højrehåndede studerende kvinder. Derfor er sandsynligheden for, at en tilfældigt udvalgt højrehåndet elev er en kvinde, ${50}/{122}$, hvilket til nærmeste tusindedel er 0,410.

Det endelige svar er A.

Spørgsmål 8 og 9

Brug følgende oplysninger til både spørgsmål 7 og spørgsmål 8.

Hvis shoppere kommer ind i en butik med en gennemsnitlig rate på $r$ shoppere i minuttet og hver forbliver i butikken i en gennemsnitlig tid på $T$ minutter, angives det gennemsnitlige antal shoppere i butikken, $N$, på ethvert tidspunkt ved formlen $N=rT$. Dette forhold er kendt som Littles lov.

Ejeren af ​​Good Deals Store vurderer, at der i åbningstiden i gennemsnit går 3 shoppere i minuttet ind i butikken, og at hver af dem i gennemsnit bliver 15 minutter. Butiksejeren bruger Littles lov til at vurdere, at der til enhver tid er 45 handlende i butikken.

Spørgsmål 8

Littles lov kan anvendes på enhver del af butikken, såsom en bestemt afdeling eller kasselinjerne. Butiksejeren fastslår, at i åbningstiden foretager cirka 84 kunder i timen et køb, og hver af disse kunder bruger i gennemsnit 5 minutter i kassen. På et hvilket som helst tidspunkt i åbningstiden, hvor mange shoppere, der i gennemsnit venter i kassen for at foretage et køb i Good Deals Store?

SVAR FORKLARING: Da spørgsmålet siger, at Littles lov kan anvendes på en hvilken som helst del af butikken (for eksempel kun kasselinjen), så er det gennemsnitlige antal kunder, $N$, i kasselinjen til enhver tid $N = rT $, hvor $r$ er antallet af kunder, der går ind i kassen pr. minut, og $T$ er det gennemsnitlige antal minutter, hver shopper bruger i kassen.

Da 84 kunder i timen foretager et køb, kommer 84 kunder i timen til kassen. Dette skal dog konverteres til antallet af kunder pr. minut (for at kunne bruges med $T = 5$). Da der er 60 minutter i en time, er prisen ${84 shoppers per hour}/{60 minutes} = 1,4$ shoppere pr. minut. Brug af den givne formel med $r = 1,4$ og $T = 5$ giver

$$N = rt = (1,4)(5) = 7$$

Derfor er det gennemsnitlige antal kunder, $N$, i kassen på ethvert tidspunkt i åbningstiden 7.

Det endelige svar er 7.

Spørgsmål 9

Ejeren af ​​Good Deals Store åbner en ny butik på tværs af byen. For den nye butik vurderer ejeren, at der i åbningstiden i gennemsnit er 90 handlende prtimegå ind i butikken, og hver af dem bliver i gennemsnit 12 minutter. Hvor mange procent er det gennemsnitlige antal kunder i den nye butik til enhver tid mindre end det gennemsnitlige antal kunder i den oprindelige butik til enhver tid? (Bemærk: Ignorer procentsymbolet, når du indtaster dit svar. Hvis svaret f.eks. er 42,1 %, skal du indtaste 42,1)

SVAR FORKLARING: Ifølge de oprindelige oplysninger er det estimerede gennemsnitlige antal handlende i den oprindelige butik til enhver tid (N) 45. I spørgsmålet står der, at lederen i den nye butik vurderer, at der i gennemsnit er 90 handlende i timen. (60 minutter) gå ind i butikken, hvilket svarer til 1,5 shoppere i minuttet (r). Lederen vurderer også, at hver shopper i gennemsnit bliver i butikken i 12 minutter (T). Ifølge Littles lov er der således i gennemsnit $N = rT = (1,5)(12) = 18$ shoppere i den nye butik til enhver tid. Dette er

$${45-18}/{45} * 100 = 60$$

procent mindre end det gennemsnitlige antal kunder i den oprindelige butik til enhver tid.

Det endelige svar er 60.

Spørgsmål 10

I $xy$-planet ligger punktet $(p,r)$ på linjen med ligning $y=x+b$, hvor $b$ er en konstant. Punktet med koordinaterne $(2p, 5r)$ ligger på linjen med ligningen $y=2x+b$. Hvis $p≠0$, hvad er værdien af ​​$r/p$?

A) $2/5$

B) $3/4$

C) $4/3$

D) $5/2$

SVAR FORKLARING: Da punktet $(p,r)$ ligger på linjen med ligning $y=x+b$, skal punktet opfylde ligningen. Ved at erstatte $x$ med $p$ og $y$ med $r$ i ligningen $y=x+b$ får $r=p+b$, eller $i b$ = $i r-i p $.

På samme måde, da punktet $(2p,5r)$ ligger på linjen med ligningen $y=2x+b$, skal punktet opfylde ligningen. At erstatte $2p$ med $x$ og $5r$ for $y$ i ligningen $y=2x+b$ giver:

$5r=2(2p)+b$

$5r=4p+b$

$y b$ = $o 5 y r-o 4y p$.

Dernæst kan vi sætte de to ligninger lig med $b$ lig med hinanden og forenkle:

$b=r-p=5r-4p$

$3p=4r$

Til sidst, for at finde $r/p$, skal vi dividere begge sider af ligningen med $p$ og med $4$:

$3p=4r$

$3={4r}/p$

$3/4=r/p$

Det rigtige svar er B , $3/4$.

Hvis du valgte valg A og D, kan du have dannet dit svar forkert ud fra koefficienterne i punktet $(2p, 5r)$. Hvis du valgte valg C, har du muligvis forvekslet $r$ og $p$.

Bemærk, at selvom dette er i lommeregnerafsnittet i SAT, behøver du absolut ikke din lommeregner for at løse det!

Spørgsmål 11

En kornsilo er bygget af to højre cirkulære kegler og en højre cirkulær cylinder med indvendige mål repræsenteret af figuren ovenfor. Af følgende, hvilken er tættest på kornsiloens volumen, i kubikfod?

A) 261,8
B) 785,4
C) 916,3
D) 1047,2

SVAR FORKLARING: Kornsiloens volumen kan findes ved at tilføje volumen af ​​alle de faste stoffer, som den er sammensat af (en cylinder og to kegler). Siloen består af en cylinder (med højde 10 fod og basisradius 5 fod) og to kegler (hver med højde 5 fod og basisradius 5 fod). Formlerne givet i begyndelsen af ​​SAT Math sektionen:

Volumen af ​​en kegle

$$V={1}/{3}πr^2h$$

Volumen af ​​en cylinder

$$V=πr^2h$$

kan bruges til at bestemme siloens samlede volumen. Da de to kegler har identiske dimensioner, er siloens samlede volumen, i kubikfod, givet af

$$V_{silo}=π(5^2)(10)+(2)({1}/{3})π(5^2)(5)=({4}/{3})(250 )p$$

hvilket er omtrent lig med 1.047,2 kubikfod.

Det endelige svar er D.

Spørgsmål 12

Hvis $x$ er gennemsnittet (aritmetisk gennemsnit) af $m$ og $9$, $y$ er gennemsnittet af $2m$ og $15$, og $z$ er gennemsnittet af $3m$ og $18$, hvad er gennemsnittet af $x$, $y$ og $z$ i form af $m$?

A) $m+6$
B) $m+7$
C) $2m+14$
D) 3 millioner USD + 21 USD

SVAR FORKLARING: Da gennemsnittet (aritmetisk middelværdi) af to tal er lig med summen af ​​de to tal divideret med 2, vil ligningerne $x={m+9}/{2}$, $y={2m+15}/{2 }$, $z={3m+18}/{2}$er sande. Gennemsnittet af $x$, $y$ og $z$ er givet af ${x + y + z}/{3}$. Substitution af udtrykkene i m for hver variabel ($x$, $y$, $z$) giver

$$[{m+9}/{2}+{2m+15}/{2}+{3m+18}/{2}]/3$$

Denne fraktion kan simplificeres til $m + 7$.

Det endelige svar er B.

Spørgsmål 13

Funktionen $f(x)=x^3-x^2-x-{11/4}$ er tegnet i $xy$-planet ovenfor. Hvis $k$ er en konstant, således at ligningen $f(x)=k$ har tre reelle løsninger, hvilken af ​​følgende kunne være værdien af ​​$k$?

SVAR FORKLARING: Ligningen $f(x) = k$ giver løsningerne til ligningssystemet

$$y = f(x) = x^3-x^2-x-{11}/{4}$$

og

$$y = k$$

En reel løsning af et system med to ligninger svarer til et skæringspunkt mellem graferne for de to ligninger i $xy$-planet.

Grafen for $y = k$ er en vandret linje, der indeholder punktet $(0, k)$ og skærer grafen for den kubiske ligning tre gange (da den har tre reelle løsninger). Givet grafen er den eneste vandrette linje, der ville skære den kubiske ligning tre gange, linjen med ligningen $y = −3$, eller $f(x) = −3$. Derfor er $k$ $-3$.

Det endelige svar er D.

Spørgsmål 14

$$q={1/2}nv^2$$

Det dynamiske tryk $q$ genereret af en væske, der bevæger sig med hastigheden $v$, kan findes ved hjælp af formlen ovenfor, hvor $n$ er væskens konstante massefylde. En luftfartsingeniør bruger formlen til at finde det dynamiske tryk af en væske, der bevæger sig med en hastighed $v$, og den samme væske, der bevæger sig med en hastighed på 1,5$v$. Hvad er forholdet mellem det dynamiske tryk af den hurtigere væske og det dynamiske tryk af den langsommere væske?

SVAR FORKLARING: For at løse dette problem skal du opsætte til ligninger med variable. Lad $q_1$ være det dynamiske tryk af den langsommere væske, der bevæger sig med hastigheden $v_1$, og lad $q_2$ være det dynamiske tryk af den hurtigere væske, der bevæger sig med hastigheden $v_2$. Derefter

$$v_2 =1,5v_1$$

Givet ligningen $q = {1}/{2}nv^2$, vil erstatning af det dynamiske tryk og hastigheden af ​​den hurtigere væske give $q_2 = {1}/{2}n(v_2)^2$. Da $v_2 =1.5v_1$, kan udtrykket $1.5v_1$ erstattes med $v_2$ i denne ligning, hvilket giver $q_2 = {1}/{2}n(1.5v_1)^2$. Ved at kvadrere $1,5$, kan du omskrive den forrige ligning som

$$q_2 = (2,25)({1}/{2})n(v_1)^2 = (2,25)q_1$$

Derfor er forholdet mellem det dynamiske tryk af den hurtigere væske

$${q2}/{q1} = {2,25 q_1}/{q_1}= 2,25$$

Det endelige svar er 2,25 eller 9/4.

Spørgsmål 15

For et polynomium $p(x)$ er værdien af ​​$p(3)$ $-2$. Hvilket af følgende skal være sandt om $p(x)$?

A) $x-5$ er en faktor på $p(x)$.
B) $x-2$ er en faktor på $p(x)$.
C) $x+2$ er en faktor på $p(x)$.
D) Resten, når $p(x)$ er divideret med $x-3$, er $-2$.

SVAR FORKLARING: Hvis polynomiet $p(x)$ er divideret med et polynomium af formen $x+k$ (som står for alle de mulige svarvalg i dette spørgsmål), kan resultatet skrives som

$${p(x)}/{x+k}=q(x)+{r}/{x+k}$$

hvor $q(x)$ er et polynomium og $r$ er resten. Da $x + k$ er et grad-1 polynomium (hvilket betyder, at det kun inkluderer $x^1$ og ingen højere eksponenter), er resten et reelt tal.

Derfor kan $p(x)$ omskrives som $p(x) = (x + k)q(x) + r$, hvor $r$ er et reelt tal.

Spørgsmålet siger, at $p(3) = -2$, så det må være rigtigt

$$-2 = p(3) = (3 + k)q(3) + r$$

Nu kan vi tilslutte alle de mulige svar. Hvis svaret er A, B eller C, vil $r$ være $0$, mens hvis svaret er D, vil $r$ være $-2$.

A. $-2 = p(3) = (3 + (-5))q(3) + 0$
$-2=(3-5)q(3)$
$-2=(-2)q(3)$

Dette kunne være sandt, men kun hvis $q(3)=1$

B. $-2 = p(3) = (3 + (-2))q(3) + 0$
$-2 = (3-2)q(3)$
$-2 = (-1)q(3)$

Dette kunne være sandt, men kun hvis $q(3)=2$

C. $-2 = p(3) = (3 + 2)q(3) + 0$
$-2 = (5)q(3)$

Dette kunne være sandt, men kun hvis $q(3)={-2}/{5}$

D. $-2 = p(3) = (3 + (-3))q(3) + (-2)$
$-2 = (3 - 3)q(3) + (-2)$
$-2 = (0)q(3) + (-2)$

Dette vil altid være sandt uanset hvad $q(3)$ er.

Af svarvalgene er det eneste, der skal være sandt om $p(x)$ er D, at resten når $p(x)$ er divideret med $x-3$ er -2.

Det endelige svar er D.

Du fortjener alle lurene efter at have kørt igennem disse spørgsmål.

Hvad har de sværeste SAT-matematikspørgsmål til fælles?

Det er vigtigt at forstå, hvad der gør disse svære spørgsmål 'svære'. Ved at gøre det vil du både kunne forstå og løse lignende spørgsmål, når du ser dem på testdagen, samt have en bedre strategi til at identificere og rette dine tidligere SAT matematiske fejl.

I dette afsnit vil vi se på, hvad disse spørgsmål har til fælles, og give eksempler på hver type. Nogle af grundene til, at de sværeste matematiske spørgsmål er de sværeste matematiske spørgsmål, er fordi de:

#1: Test flere matematiske begreber på én gang

Her skal vi beskæftige os med imaginære tal og brøker på én gang.

Hemmeligheden bag succes: Tænk på, hvilken anvendelig matematik du kan bruge til at løse problemet, lav et trin ad gangen, og prøv hver teknik, indtil du finder en, der virker!

#2: Involver en masse trin

Husk: Jo flere skridt du skal tage, jo lettere er det at rode et sted hen ad linjen!

Vi skal løse dette problem i trin (ved at lave flere gennemsnit) for at låse op for resten af ​​svarene i en dominoeffekt. Dette kan blive forvirrende, især hvis du er stresset eller løber tør for tid.

Hemmeligheden bag succes: Tag det langsomt, tag det trin for trin, og dobbelttjek dit arbejde, så du ikke laver fejl!

#3: Test koncepter, som du har begrænset fortrolighed med

For eksempel er mange elever mindre fortrolige med funktioner, end de er med brøker og procenter, så de fleste funktionsspørgsmål betragtes som 'høj sværhedsgrad'-problemer.

Hvis du ikke kender din vej rundt om funktioner, ville dette være et vanskeligt problem.

Hemmeligheden bag succes: Gennemgå matematiske begreber, som du ikke har så meget kendskab til, såsom funktioner . Vi foreslår, at du bruger vores fantastiske gratis SAT Math gennemgangsguider.

#4: Er formuleret på usædvanlige eller indviklede måder

Det kan være svært at finde ud af præcis, hvad nogle spørgsmål er spørger , meget mindre finde ud af, hvordan du løser dem. Dette gælder især, når spørgsmålet er placeret i slutningen af ​​afsnittet, og du er ved at løbe tør for tid.

Fordi dette spørgsmål giver så meget information uden et diagram, kan det være svært at pusle igennem på den begrænsede tid, der er tilladt.

Hemmeligheden bag succes: Tag dig god tid, analyser, hvad der bliver bedt om af dig, og tegn et diagram, hvis det er nyttigt for dig.

#5: Brug mange forskellige variabler

Med så mange forskellige variabler i spil, er det ret nemt at blive forvirret.

Hemmeligheden bag succes: Tag dig god tid, analyser, hvad der bliver bedt om af dig, og overvej, om det er en god strategi til at løse problemet at tilslutte tal (det ville ikke være til spørgsmålet ovenfor, men ville være til mange andre SAT-variable spørgsmål).

Take-Aways

SAT er et maraton, og jo bedre forberedt du er til det, jo bedre vil du føle dig på testdagen. At vide, hvordan man håndterer de sværeste spørgsmål, testen kan kaste på dig, vil få det til at virke meget mindre skræmmende at tage den rigtige SAT.

Hvis du følte, at disse spørgsmål var nemme, så sørg for ikke at undervurdere effekten af ​​adrenalin og træthed på din evne til at løse problemer. Når du fortsætter med at studere, skal du altid overholde de korrekte timing-retningslinjer og prøve at tage fulde tests, når det er muligt. Dette er den bedste måde at genskabe det faktiske testmiljø, så du kan forberede dig på den virkelige vare.

Hvis du følte, at disse spørgsmål var udfordrende, sørg for at styrke din matematikviden ved at tjekke vores individuelle matematiske emnevejledninger til SAT. Der vil du se mere detaljerede forklaringer af de pågældende emner samt mere detaljerede svaropdelinger.

Hvad er det næste?

Følte du, at disse spørgsmål var sværere, end du havde forventet? Tag et kig på alle de emner, der er dækket i SAT-matematikafsnittet, og bemærk derefter, hvilke afsnit der var særligt vanskelige for dig. Dernæst kan du tage et kig på vores individuelle matematikguider for at hjælpe dig med at støtte nogle af disse svage områder.

Løber du tør for tid på SAT-matematiksektionen? Vores guide hjælper dig med at slå uret og maksimere din score.

Sigter du efter en perfekt score? Tjek ud vores guide til, hvordan du får en perfekt 800 på SAT-matematiksektionen , skrevet af en perfekt scorer.

Vil du teste dig selv mod de sværeste SAT matematiske spørgsmål? Vil du vide, hvad der gør disse spørgsmål så vanskelige, og hvordan man bedst løser dem? Hvis du er klar til virkelig at sætte tænderne i SAT-matematik-sektionen og have dit blik på det perfekte resultat, så er dette guiden for dig.

Vi har sammensat det, vi tror på de 15 sværeste spørgsmål til den nuværende SAT , med strategier og svarforklaringer til hver. Disse er alle svære SAT Math-spørgsmål fra College Board SAT-praksistest, hvilket betyder at forstå dem er en af ​​de bedste måder at studere på for dem af jer, der sigter efter perfektion.

Billede: Sonia Sevilla /Wikimedia

Kort oversigt over SAT Math

Tredje og fjerde afsnit af SAT vil altid være matematiske afsnit . Det første matematikunderafsnit (mærket '3') gør ikke giver dig mulighed for at bruge en lommeregner, mens det andet matematikunderafsnit (mærket som '4') gør tillade brug af en lommeregner. Du skal dog ikke bekymre dig for meget om sektionen uden lommeregner: Hvis du ikke må bruge en lommeregner på et spørgsmål, betyder det, at du ikke behøver en lommeregner for at besvare det.

Hvert matematikunderafsnit er arrangeret i rækkefølge efter stigende sværhedsgrad (hvor jo længere tid det tager at løse et problem og jo færre der svarer rigtigt på det, jo sværere er det). På hvert underafsnit vil spørgsmål 1 være 'let', og spørgsmål 15 vil blive betragtet som 'svært'. Imidlertid nulstilles den stigende sværhedsgrad fra let til hård på grid-ins.

Derfor er multiple choice-spørgsmål arrangeret i stigende sværhedsgrad (spørgsmål 1 og 2 vil være de nemmeste, spørgsmål 14 og 15 vil være de sværeste), men sværhedsgraden nulstilles for grid-in sektionen (hvilket betyder, at spørgsmål 16 og 17 igen vil være 'let' og spørgsmål 19 og 20 vil være meget vanskelige).

Med meget få undtagelser altså de sværeste SAT matematiske problemer vil blive grupperet i slutningen af ​​multiple choice-segmenterne eller anden halvdel af grid-in-spørgsmålene. Ud over deres placering på testen har disse spørgsmål dog også et par andre fællestræk. Om et minut vil vi se på eksempler på spørgsmål, og hvordan man løser dem, og derefter analysere dem for at finde ud af, hvad disse typer spørgsmål har til fælles.

Men først: Skal du fokusere på de sværeste matematiske spørgsmål lige nu?

Hvis du lige er begyndt i din studieforberedelse (eller hvis du simpelthen har sprunget over dette første, afgørende trin), skal du helt sikkert stoppe og tage en fuld øvelsestest for at måle dit nuværende scoreniveau. Tjek vores guide til alle de gratis SAT-øvelsesprøver, der er tilgængelige online og så sæt dig ned for at tage en test på én gang.

Den absolut bedste måde at vurdere dit nuværende niveau på er simpelthen at tage SAT-øvelsestesten, som om den var ægte , holde streng timing og arbejde lige igennem med kun de tilladte pauser (vi ved det - sandsynligvis ikke din foretrukne måde at tilbringe en lørdag på). Når du har fået en god idé om dit nuværende niveau og percentilrangering, kan du sætte milepæle og mål for din ultimative SAT Math-score.

Hvis du i øjeblikket scorer i intervallet 200-400 eller 400-600 på SAT Math, er dit bedste bud først at tjekke vores guide til at forbedre din matematikscore at være konsekvent på eller over 600, før du begynder at forsøge at tackle de sværeste matematiske problemer på testen.

Hvis du dog allerede scorer over 600 i matematik-sektionen og vil teste din evne til den rigtige SAT, så fortsæt bestemt til resten af ​​denne guide. Hvis du sigter efter perfekt (eller tæt på) , så skal du vide, hvordan de sværeste SAT-matematikspørgsmål ser ud, og hvordan du løser dem. Og det er heldigvis præcis, hvad vi vil gøre.

ADVARSEL: Da der er et begrænset antal officielle SAT praksis tests , vil du måske vente med at læse denne artikel, indtil du har prøvet alle eller de fleste af de første fire officielle øvelsesprøver (da de fleste af spørgsmålene nedenfor er taget fra disse prøver). Hvis du er bekymret for at ødelægge disse tests, så stop med at læse denne guide nu; kom tilbage og læs det, når du har gennemført dem.

Lad os nu komme til vores liste over spørgsmål (whoo)!

Billede: Niytx /DeviantArt

De 15 sværeste SAT-matematikspørgsmål

Nu hvor du er sikker på, at du burde prøve disse spørgsmål, så lad os dykke direkte ind! Vi har samlet 15 af de sværeste SAT Math-spørgsmål, som du kan prøve nedenfor, sammen med gennemgange af, hvordan du får svaret (hvis du er i tvivl).

Ingen lommeregner SAT matematiske spørgsmål

Spørgsmål 1

$$C=5/9(F-32)$$

Ligningen ovenfor viser, hvordan temperatur $F$, målt i grader Fahrenheit, forholder sig til en temperatur $C$, målt i grader Celsius. Baseret på ligningen, hvilket af følgende skal være sandt?

1. En temperaturstigning på 1 grad Fahrenheit svarer til en temperaturstigning på $5/9$ grad Celsius.
2. En temperaturstigning på 1 grad Celsius svarer til en temperaturstigning på 1,8 grader Fahrenheit.
3. En temperaturstigning på $5/9$ grad Fahrenheit svarer til en temperaturstigning på 1 grad Celsius.

A) Kun jeg
B) Kun II
C) Kun III
D) Kun I og II

SVAR FORKLARING: Tænk på ligningen som en ligning for en linje

$$y=mx+b$$

hvor i dette tilfælde

$$C= {5}/{9} (F−32)$$

eller

$$C={5}/{9}F −{5}/{9}(32)$$

Du kan se, at grafens hældning er ${5}/{9}$, hvilket betyder, at for en stigning på 1 grad Fahrenheit er stigningen ${5}/{9}$ på 1 grad Celsius.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} (1)= {5}/{9}$$

Derfor er udsagn I sandt. Dette svarer til at sige, at en stigning på 1 grad Celsius er lig med en stigning på ${9}/{5}$ grader Fahrenheit.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$1= {5}/{9} (F)$$

$$(F)={9}/{5}$$

Da ${9}/{5}$ = 1,8, er sætning II sandt.

Det eneste svar, der har både udsagn I og udsagn II som sandt, er D , men hvis du har tid og vil være helt grundig, kan du også tjekke, om sætning III (en stigning på ${5}/{9}$ grad Fahrenheit er lig med en temperaturstigning på 1 grad Celsius) er sand :

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} ({5}/{9})$$

$$C= {25} /{81} (som er ≠ 1)$$

En stigning på $5/9$ grad Fahrenheit fører til en stigning på ${25}/{81}$, ikke 1 grad, Celsius, og derfor er udsagn III ikke sandt.

Det endelige svar er D.

Spørgsmål 2

Ligningen${24x^2 + 25x -47}/{ax-2} = -8x-3-{53/{ax-2}}$er sandt for alle værdier af $x≠2/a$, hvor $a$ er en konstant.

Hvad er værdien af ​​$a$?

A) -16
B) -3
C) 3
D) 16

SVAR FORKLARING: Der er to måder at løse dette spørgsmål på. Den hurtigere måde er at gange hver side af den givne ligning med $ax-2$ (så du kan slippe af med brøken). Når du ganger hver side med $ax-2$, skal du have:

$$24x^2 + 25x - 47 = (-8x-3)(ax-2) - 53$$

Du skal derefter gange $(-8x-3)$ og $(ax-2)$ ved hjælp af FOIL.

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x + 6 - 53$$

Reducer derefter på højre side af ligningen

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x - 47$$

Da koefficienterne for $x^2$-leddet skal være ens på begge sider af ligningen, $−8a = 24$, eller $a = −3$.

Den anden mulighed, som er længere og mere kedelig, er at forsøge at tilslutte alle svarmulighederne for a og se, hvilket svarvalg der gør begge sider af ligningen lige. Igen, dette er den længere mulighed, og jeg anbefaler det ikke til den faktiske SAT, da det vil spilde for meget tid.

Det endelige svar er B.

Spørgsmål 3

Hvis $3x-y = 12$, hvad er værdien af ​​${8^x}/{2^y}$?

A) $2^{12}$
B) $4^4$
C) $8^2$
D) Værdien kan ikke bestemmes ud fra de givne oplysninger.

SVAR FORKLARING: En tilgang er at udtrykke

$${8^x}/{2^y}$$

således at tæller og nævner er udtrykt med samme grundtal. Da 2 og 8 begge er 2 potenser, giver det at erstatte $2^3$ med 8 i tælleren ${8^x}/{2^y}$

$${(2^3)^x}/{2^y}$$

som kan omskrives

$${2^3x}/{2^y}$$

Da tælleren og nævneren af ​​har en fælles base, kan dette udtryk omskrives til $2^(3x−y)$. I spørgsmålet står der, at $3x − y = 12$, så man kan erstatte eksponenten med 12, $3x − y$, hvilket betyder, at

$${8^x}/{2^y}= 2^12$$

Det endelige svar er A.

Spørgsmål 4

Punkterne A og B ligger på en cirkel med radius 1, og buen ${AB}↖⌢$ har en længde på $π/3$. Hvilken brøkdel af cirklens omkreds er længden af ​​buen ${AB}↖⌢$?

SVAR FORKLARING: For at finde ud af svaret på dette spørgsmål skal du først kende formlen til at finde omkredsen af ​​en cirkel.

Omkredsen, $C$, af en cirkel er $C = 2πr$, hvor $r$ er cirklens radius. For den givne cirkel med en radius på 1 er omkredsen $C = 2(π)(1)$, eller $C = 2π$.

For at finde ud af, hvilken brøkdel af omkredsen længden af ​​${AB}↖⌢$ er, divideres længden af ​​buen med omkredsen, hvilket giver $π/3 ÷ 2π$. Denne division kan repræsenteres ved $π/3 * {1/2}π = 1/6$.

Brøken $1/6$ kan også omskrives til $0,166$ eller $0,167$.

Det endelige svar er $1/6$, $0,166$ eller $0,167$.

Spørgsmål 5

$${8-i}/{3-2i}$$

Hvis udtrykket ovenfor omskrives i formen $a+bi$, hvor $a$ og $b$ er reelle tal, hvad er værdien af ​​$a$? (Bemærk: $i=√{-1}$)

SVAR FORKLARING: For at omskrive ${8-i}/{3-2i}$ i standardformen $a + bi$, skal du gange tælleren og nævneren af ​​${8-i}/{3-2i}$ med konjugatet , $3 + 2i$. Dette svarer til

$$({8-i}/{3-2i})({3+2i}/{3+2i})={24+16i-3+(-i)(2i)}/{(3^2 )-(2i)^2}$$

Da $i^2=-1$, kan denne sidste brøk reduceres simplificeret til

$$ {24+16i-3i+2}/{9-(-4)}={26+13i}/{13}$$

hvilket forenkler yderligere til $2 + i$. Derfor, når ${8-i}/{3-2i}$ omskrives i standardformen a + bi, er værdien af ​​a 2.

Det endelige svar er A.

Spørgsmål 6

I trekant $ABC$ er målet for $∠B$ 90°, $BC=16$ og $AC$=20. Trekant $DEF$ ligner trekant $ABC$, hvor toppunkter $D$, $E$ og $F$ svarer til henholdsvis toppunkter $A$, $B$ og $C$, og hver side af trekant $ DEF$ er $1/3$ længden af ​​den tilsvarende side af trekanten $ABC$. Hvad er værdien af ​​$sinF$?

SVAR FORKLARING: Trekant ABC er en retvinklet trekant med sin rette vinkel ved B. Derfor er $ov {AC}$ hypotenusen af ​​retvinklet trekant ABC, og $ov {AB}$ og $ov {BC}$ er benene af retvinklet ABC. Ifølge Pythagoras sætning,

$$AB =√{20^2-16^2}=√{400-256}=√{144}=12$$

Da trekant DEF ligner trekant ABC, hvor toppunktet F svarer til toppunktet C, er målet for $vinkel ∠ {F}$ lig med målet for $vinkel ∠ {C}$. Derfor er $sin F = sin C$. Fra sidelængderne af trekanten ABC,

$$sinF ={modsat side}/{hypotenuse}={AB}/{AC}={12}/{20}={3}/{5}$$

Derfor er $sinF ={3}/{5}$.

Det endelige svar er ${3}/{5}$ eller 0,6.

Lommeregner-Tilladte SAT matematiske spørgsmål

Spørgsmål 7

Den ufuldstændige tabel ovenfor opsummerer antallet af venstrehåndede elever og højrehåndede elever efter køn for ottende klasses elever på Keisel Middle School. Der er 5 gange så mange højrehåndede kvindelige elever, som der er venstrehåndede kvindelige elever, og der er 9 gange så mange højrehåndede mandlige elever, som der er venstrehåndede mandlige elever. hvis der i alt er 18 venstrehåndede elever og 122 højrehåndede elever på skolen, hvilket af følgende er tættest på sandsynligheden for, at en tilfældigt udvalgt højrehåndet elev er kvinde? (Bemærk: Antag, at ingen af ​​eleverne i ottende klasse er både højrehåndede og venstrehåndede.)

A) 0,410
B) 0,357
C) 0,333
D) 0,250

SVAR FORKLARING: For at løse dette problem bør du oprette to ligninger ved hjælp af to variable ($x$ og $y$) og den information, du får. Lad $x$ være antallet af venstrehåndede kvindelige studerende og lad $y$ være antallet af venstrehåndede mandlige studerende. Ved at bruge oplysningerne i opgaven vil antallet af højrehåndede kvindelige studerende være $5x$ og antallet af højrehåndede mandlige studerende vil være $9y$. Da det samlede antal venstrehåndede elever er 18 og det samlede antal højrehåndede elever er 122, skal ligningssystemet nedenfor være sandt:

$$x + y = 18$$

$$5x + 9y = 122$$

Når du løser dette ligningssystem, får du $x = 10$ og $y = 8$. Således er 5*10, eller 50, af de 122 højrehåndede studerende kvinder. Derfor er sandsynligheden for, at en tilfældigt udvalgt højrehåndet elev er en kvinde, ${50}/{122}$, hvilket til nærmeste tusindedel er 0,410.

Det endelige svar er A.

Spørgsmål 8 og 9

Brug følgende oplysninger til både spørgsmål 7 og spørgsmål 8.

Hvis shoppere kommer ind i en butik med en gennemsnitlig rate på $r$ shoppere i minuttet og hver forbliver i butikken i en gennemsnitlig tid på $T$ minutter, angives det gennemsnitlige antal shoppere i butikken, $N$, på ethvert tidspunkt ved formlen $N=rT$. Dette forhold er kendt som Littles lov.

Ejeren af ​​Good Deals Store vurderer, at der i åbningstiden i gennemsnit går 3 shoppere i minuttet ind i butikken, og at hver af dem i gennemsnit bliver 15 minutter. Butiksejeren bruger Littles lov til at vurdere, at der til enhver tid er 45 handlende i butikken.

Spørgsmål 8

Littles lov kan anvendes på enhver del af butikken, såsom en bestemt afdeling eller kasselinjerne. Butiksejeren fastslår, at i åbningstiden foretager cirka 84 kunder i timen et køb, og hver af disse kunder bruger i gennemsnit 5 minutter i kassen. På et hvilket som helst tidspunkt i åbningstiden, hvor mange shoppere, der i gennemsnit venter i kassen for at foretage et køb i Good Deals Store?

SVAR FORKLARING: Da spørgsmålet siger, at Littles lov kan anvendes på en hvilken som helst del af butikken (for eksempel kun kasselinjen), så er det gennemsnitlige antal kunder, $N$, i kasselinjen til enhver tid $N = rT $, hvor $r$ er antallet af kunder, der går ind i kassen pr. minut, og $T$ er det gennemsnitlige antal minutter, hver shopper bruger i kassen.

Da 84 kunder i timen foretager et køb, kommer 84 kunder i timen til kassen. Dette skal dog konverteres til antallet af kunder pr. minut (for at kunne bruges med $T = 5$). Da der er 60 minutter i en time, er prisen ${84 shoppers per hour}/{60 minutes} = 1,4$ shoppere pr. minut. Brug af den givne formel med $r = 1,4$ og $T = 5$ giver

$$N = rt = (1,4)(5) = 7$$

Derfor er det gennemsnitlige antal kunder, $N$, i kassen på ethvert tidspunkt i åbningstiden 7.

Det endelige svar er 7.

Spørgsmål 9

Ejeren af ​​Good Deals Store åbner en ny butik på tværs af byen. For den nye butik vurderer ejeren, at der i åbningstiden i gennemsnit er 90 handlende prtimegå ind i butikken, og hver af dem bliver i gennemsnit 12 minutter. Hvor mange procent er det gennemsnitlige antal kunder i den nye butik til enhver tid mindre end det gennemsnitlige antal kunder i den oprindelige butik til enhver tid? (Bemærk: Ignorer procentsymbolet, når du indtaster dit svar. Hvis svaret f.eks. er 42,1 %, skal du indtaste 42,1)

SVAR FORKLARING: Ifølge de oprindelige oplysninger er det estimerede gennemsnitlige antal handlende i den oprindelige butik til enhver tid (N) 45. I spørgsmålet står der, at lederen i den nye butik vurderer, at der i gennemsnit er 90 handlende i timen. (60 minutter) gå ind i butikken, hvilket svarer til 1,5 shoppere i minuttet (r). Lederen vurderer også, at hver shopper i gennemsnit bliver i butikken i 12 minutter (T). Ifølge Littles lov er der således i gennemsnit $N = rT = (1,5)(12) = 18$ shoppere i den nye butik til enhver tid. Dette er

$${45-18}/{45} * 100 = 60$$

procent mindre end det gennemsnitlige antal kunder i den oprindelige butik til enhver tid.

Det endelige svar er 60.

Spørgsmål 10

I $xy$-planet ligger punktet $(p,r)$ på linjen med ligning $y=x+b$, hvor $b$ er en konstant. Punktet med koordinaterne $(2p, 5r)$ ligger på linjen med ligningen $y=2x+b$. Hvis $p≠0$, hvad er værdien af ​​$r/p$?

A) $2/5$

B) $3/4$

C) $4/3$

D) $5/2$

SVAR FORKLARING: Da punktet $(p,r)$ ligger på linjen med ligning $y=x+b$, skal punktet opfylde ligningen. Ved at erstatte $x$ med $p$ og $y$ med $r$ i ligningen $y=x+b$ får $r=p+b$, eller $i b$ = $i r-i p $.

På samme måde, da punktet $(2p,5r)$ ligger på linjen med ligningen $y=2x+b$, skal punktet opfylde ligningen. At erstatte $2p$ med $x$ og $5r$ for $y$ i ligningen $y=2x+b$ giver:

$5r=2(2p)+b$

$5r=4p+b$

$y b$ = $o 5 y r-o 4y p$.

Dernæst kan vi sætte de to ligninger lig med $b$ lig med hinanden og forenkle:

$b=r-p=5r-4p$

$3p=4r$

Til sidst, for at finde $r/p$, skal vi dividere begge sider af ligningen med $p$ og med $4$:

$3p=4r$

$3={4r}/p$

$3/4=r/p$

Det rigtige svar er B , $3/4$.

Hvis du valgte valg A og D, kan du have dannet dit svar forkert ud fra koefficienterne i punktet $(2p, 5r)$. Hvis du valgte valg C, har du muligvis forvekslet $r$ og $p$.

Bemærk, at selvom dette er i lommeregnerafsnittet i SAT, behøver du absolut ikke din lommeregner for at løse det!

Spørgsmål 11

En kornsilo er bygget af to højre cirkulære kegler og en højre cirkulær cylinder med indvendige mål repræsenteret af figuren ovenfor. Af følgende, hvilken er tættest på kornsiloens volumen, i kubikfod?

A) 261,8
B) 785,4
C) 916,3
D) 1047,2

SVAR FORKLARING: Kornsiloens volumen kan findes ved at tilføje volumen af ​​alle de faste stoffer, som den er sammensat af (en cylinder og to kegler). Siloen består af en cylinder (med højde 10 fod og basisradius 5 fod) og to kegler (hver med højde 5 fod og basisradius 5 fod). Formlerne givet i begyndelsen af ​​SAT Math sektionen:

Volumen af ​​en kegle

$$V={1}/{3}πr^2h$$

Volumen af ​​en cylinder

$$V=πr^2h$$

kan bruges til at bestemme siloens samlede volumen. Da de to kegler har identiske dimensioner, er siloens samlede volumen, i kubikfod, givet af

$$V_{silo}=π(5^2)(10)+(2)({1}/{3})π(5^2)(5)=({4}/{3})(250 )p$$

hvilket er omtrent lig med 1.047,2 kubikfod.

Det endelige svar er D.

Spørgsmål 12

Hvis $x$ er gennemsnittet (aritmetisk gennemsnit) af $m$ og $9$, $y$ er gennemsnittet af $2m$ og $15$, og $z$ er gennemsnittet af $3m$ og $18$, hvad er gennemsnittet af $x$, $y$ og $z$ i form af $m$?

A) $m+6$
B) $m+7$
C) $2m+14$
D) 3 millioner USD + 21 USD

SVAR FORKLARING: Da gennemsnittet (aritmetisk middelværdi) af to tal er lig med summen af ​​de to tal divideret med 2, vil ligningerne $x={m+9}/{2}$, $y={2m+15}/{2 }$, $z={3m+18}/{2}$er sande. Gennemsnittet af $x$, $y$ og $z$ er givet af ${x + y + z}/{3}$. Substitution af udtrykkene i m for hver variabel ($x$, $y$, $z$) giver

$$[{m+9}/{2}+{2m+15}/{2}+{3m+18}/{2}]/3$$

Denne fraktion kan simplificeres til $m + 7$.

Det endelige svar er B.

Spørgsmål 13

Funktionen $f(x)=x^3-x^2-x-{11/4}$ er tegnet i $xy$-planet ovenfor. Hvis $k$ er en konstant, således at ligningen $f(x)=k$ har tre reelle løsninger, hvilken af ​​følgende kunne være værdien af ​​$k$?

SVAR FORKLARING: Ligningen $f(x) = k$ giver løsningerne til ligningssystemet

$$y = f(x) = x^3-x^2-x-{11}/{4}$$

og

$$y = k$$

En reel løsning af et system med to ligninger svarer til et skæringspunkt mellem graferne for de to ligninger i $xy$-planet.

Grafen for $y = k$ er en vandret linje, der indeholder punktet $(0, k)$ og skærer grafen for den kubiske ligning tre gange (da den har tre reelle løsninger). Givet grafen er den eneste vandrette linje, der ville skære den kubiske ligning tre gange, linjen med ligningen $y = −3$, eller $f(x) = −3$. Derfor er $k$ $-3$.

Det endelige svar er D.

Spørgsmål 14

$$q={1/2}nv^2$$

Det dynamiske tryk $q$ genereret af en væske, der bevæger sig med hastigheden $v$, kan findes ved hjælp af formlen ovenfor, hvor $n$ er væskens konstante massefylde. En luftfartsingeniør bruger formlen til at finde det dynamiske tryk af en væske, der bevæger sig med en hastighed $v$, og den samme væske, der bevæger sig med en hastighed på 1,5$v$. Hvad er forholdet mellem det dynamiske tryk af den hurtigere væske og det dynamiske tryk af den langsommere væske?

SVAR FORKLARING: For at løse dette problem skal du opsætte til ligninger med variable. Lad $q_1$ være det dynamiske tryk af den langsommere væske, der bevæger sig med hastigheden $v_1$, og lad $q_2$ være det dynamiske tryk af den hurtigere væske, der bevæger sig med hastigheden $v_2$. Derefter

$$v_2 =1,5v_1$$

Givet ligningen $q = {1}/{2}nv^2$, vil erstatning af det dynamiske tryk og hastigheden af ​​den hurtigere væske give $q_2 = {1}/{2}n(v_2)^2$. Da $v_2 =1.5v_1$, kan udtrykket $1.5v_1$ erstattes med $v_2$ i denne ligning, hvilket giver $q_2 = {1}/{2}n(1.5v_1)^2$. Ved at kvadrere $1,5$, kan du omskrive den forrige ligning som

$$q_2 = (2,25)({1}/{2})n(v_1)^2 = (2,25)q_1$$

Derfor er forholdet mellem det dynamiske tryk af den hurtigere væske

$${q2}/{q1} = {2,25 q_1}/{q_1}= 2,25$$

Det endelige svar er 2,25 eller 9/4.

Spørgsmål 15

For et polynomium $p(x)$ er værdien af ​​$p(3)$ $-2$. Hvilket af følgende skal være sandt om $p(x)$?

A) $x-5$ er en faktor på $p(x)$.
B) $x-2$ er en faktor på $p(x)$.
C) $x+2$ er en faktor på $p(x)$.
D) Resten, når $p(x)$ er divideret med $x-3$, er $-2$.

SVAR FORKLARING: Hvis polynomiet $p(x)$ er divideret med et polynomium af formen $x+k$ (som står for alle de mulige svarvalg i dette spørgsmål), kan resultatet skrives som

$${p(x)}/{x+k}=q(x)+{r}/{x+k}$$

hvor $q(x)$ er et polynomium og $r$ er resten. Da $x + k$ er et grad-1 polynomium (hvilket betyder, at det kun inkluderer $x^1$ og ingen højere eksponenter), er resten et reelt tal.

Derfor kan $p(x)$ omskrives som $p(x) = (x + k)q(x) + r$, hvor $r$ er et reelt tal.

Spørgsmålet siger, at $p(3) = -2$, så det må være rigtigt

$$-2 = p(3) = (3 + k)q(3) + r$$

Nu kan vi tilslutte alle de mulige svar. Hvis svaret er A, B eller C, vil $r$ være $0$, mens hvis svaret er D, vil $r$ være $-2$.

A. $-2 = p(3) = (3 + (-5))q(3) + 0$
$-2=(3-5)q(3)$
$-2=(-2)q(3)$

Dette kunne være sandt, men kun hvis $q(3)=1$

B. $-2 = p(3) = (3 + (-2))q(3) + 0$
$-2 = (3-2)q(3)$
$-2 = (-1)q(3)$

Dette kunne være sandt, men kun hvis $q(3)=2$

C. $-2 = p(3) = (3 + 2)q(3) + 0$
$-2 = (5)q(3)$

Dette kunne være sandt, men kun hvis $q(3)={-2}/{5}$

D. $-2 = p(3) = (3 + (-3))q(3) + (-2)$
$-2 = (3 - 3)q(3) + (-2)$
$-2 = (0)q(3) + (-2)$

Dette vil altid være sandt uanset hvad $q(3)$ er.

Af svarvalgene er det eneste, der skal være sandt om $p(x)$ er D, at resten når $p(x)$ er divideret med $x-3$ er -2.

Det endelige svar er D.

Du fortjener alle lurene efter at have kørt igennem disse spørgsmål.

Hvad har de sværeste SAT-matematikspørgsmål til fælles?

Det er vigtigt at forstå, hvad der gør disse svære spørgsmål 'svære'. Ved at gøre det vil du både kunne forstå og løse lignende spørgsmål, når du ser dem på testdagen, samt have en bedre strategi til at identificere og rette dine tidligere SAT matematiske fejl.

I dette afsnit vil vi se på, hvad disse spørgsmål har til fælles, og give eksempler på hver type. Nogle af grundene til, at de sværeste matematiske spørgsmål er de sværeste matematiske spørgsmål, er fordi de:

#1: Test flere matematiske begreber på én gang

Her skal vi beskæftige os med imaginære tal og brøker på én gang.

Hemmeligheden bag succes: Tænk på, hvilken anvendelig matematik du kan bruge til at løse problemet, lav et trin ad gangen, og prøv hver teknik, indtil du finder en, der virker!

#2: Involver en masse trin

Husk: Jo flere skridt du skal tage, jo lettere er det at rode et sted hen ad linjen!

Vi skal løse dette problem i trin (ved at lave flere gennemsnit) for at låse op for resten af ​​svarene i en dominoeffekt. Dette kan blive forvirrende, især hvis du er stresset eller løber tør for tid.

Hemmeligheden bag succes: Tag det langsomt, tag det trin for trin, og dobbelttjek dit arbejde, så du ikke laver fejl!

#3: Test koncepter, som du har begrænset fortrolighed med

For eksempel er mange elever mindre fortrolige med funktioner, end de er med brøker og procenter, så de fleste funktionsspørgsmål betragtes som 'høj sværhedsgrad'-problemer.

Hvis du ikke kender din vej rundt om funktioner, ville dette være et vanskeligt problem.

Hemmeligheden bag succes: Gennemgå matematiske begreber, som du ikke har så meget kendskab til, såsom funktioner . Vi foreslår, at du bruger vores fantastiske gratis SAT Math gennemgangsguider.

#4: Er formuleret på usædvanlige eller indviklede måder

Det kan være svært at finde ud af præcis, hvad nogle spørgsmål er spørger , meget mindre finde ud af, hvordan du løser dem. Dette gælder især, når spørgsmålet er placeret i slutningen af ​​afsnittet, og du er ved at løbe tør for tid.

Fordi dette spørgsmål giver så meget information uden et diagram, kan det være svært at pusle igennem på den begrænsede tid, der er tilladt.

Hemmeligheden bag succes: Tag dig god tid, analyser, hvad der bliver bedt om af dig, og tegn et diagram, hvis det er nyttigt for dig.

#5: Brug mange forskellige variabler

Med så mange forskellige variabler i spil, er det ret nemt at blive forvirret.

Hemmeligheden bag succes: Tag dig god tid, analyser, hvad der bliver bedt om af dig, og overvej, om det er en god strategi til at løse problemet at tilslutte tal (det ville ikke være til spørgsmålet ovenfor, men ville være til mange andre SAT-variable spørgsmål).

Take-Aways

SAT er et maraton, og jo bedre forberedt du er til det, jo bedre vil du føle dig på testdagen. At vide, hvordan man håndterer de sværeste spørgsmål, testen kan kaste på dig, vil få det til at virke meget mindre skræmmende at tage den rigtige SAT.

Hvis du følte, at disse spørgsmål var nemme, så sørg for ikke at undervurdere effekten af ​​adrenalin og træthed på din evne til at løse problemer. Når du fortsætter med at studere, skal du altid overholde de korrekte timing-retningslinjer og prøve at tage fulde tests, når det er muligt. Dette er den bedste måde at genskabe det faktiske testmiljø, så du kan forberede dig på den virkelige vare.

Hvis du følte, at disse spørgsmål var udfordrende, sørg for at styrke din matematikviden ved at tjekke vores individuelle matematiske emnevejledninger til SAT. Der vil du se mere detaljerede forklaringer af de pågældende emner samt mere detaljerede svaropdelinger.

Hvad er det næste?

Følte du, at disse spørgsmål var sværere, end du havde forventet? Tag et kig på alle de emner, der er dækket i SAT-matematikafsnittet, og bemærk derefter, hvilke afsnit der var særligt vanskelige for dig. Dernæst kan du tage et kig på vores individuelle matematikguider for at hjælpe dig med at støtte nogle af disse svage områder.

Løber du tør for tid på SAT-matematiksektionen? Vores guide hjælper dig med at slå uret og maksimere din score.

Sigter du efter en perfekt score? Tjek ud vores guide til, hvordan du får en perfekt 800 på SAT-matematiksektionen , skrevet af en perfekt scorer.

Spørgsmål 5

$${8-i}/{3-2i}$$

Hvis udtrykket ovenfor omskrives i formen $a+bi$, hvor $a$ og $b$ er reelle tal, hvad er værdien af ​​$a$? (Bemærk: $i=√{-1}$)

SVAR FORKLARING: For at omskrive ${8-i}/{3-2i}$ i standardformen $a + bi$, skal du gange tælleren og nævneren af ​​${8-i}/{3-2i}$ med konjugatet , + 2i$. Dette svarer til

$$({8-i}/{3-2i})({3+2i}/{3+2i})={24+16i-3+(-i)(2i)}/{(3^2 )-(2i)^2}$$

Da $i^2=-1$, kan denne sidste brøk reduceres simplificeret til

$$ {24+16i-3i+2}/{9-(-4)}={26+13i}/{13}$$

hvilket forenkler yderligere til + i$. Derfor, når ${8-i}/{3-2i}$ omskrives i standardformen a + bi, er værdien af ​​a 2.

Det endelige svar er A.

Spørgsmål 6

I trekant $ABC$ er målet for $∠B$ 90°, $BC=16$ og $AC$=20. Trekant $DEF$ ligner trekant $ABC$, hvor toppunkter $D$, $E$ og $F$ svarer til henholdsvis toppunkter $A$, $B$ og $C$, og hver side af trekant $ DEF$ er /3$ længden af ​​den tilsvarende side af trekanten $ABC$. Hvad er værdien af ​​$sinF$?

SVAR FORKLARING: Trekant ABC er en retvinklet trekant med sin rette vinkel ved B. Derfor er $ov {AC}$ hypotenusen af ​​retvinklet trekant ABC, og $ov {AB}$ og $ov {BC}$ er benene af retvinklet ABC. Ifølge Pythagoras sætning,

$$AB =√{20^2-16^2}=√{400-256}=√{144}=12$$

Da trekant DEF ligner trekant ABC, hvor toppunktet F svarer til toppunktet C, er målet for $vinkel ∠ {F}$ lig med målet for $vinkel ∠ {C}$. Derfor er $sin F = sin C$. Fra sidelængderne af trekanten ABC,

$$sinF ={modsat side}/{hypotenuse}={AB}/{AC}={12}/{20}={3}/{5}$$

Derfor er $sinF ={3}/{5}$.

Det endelige svar er /{5}$ eller 0,6.

Lommeregner-Tilladte SAT matematiske spørgsmål

Spørgsmål 7

Den ufuldstændige tabel ovenfor opsummerer antallet af venstrehåndede elever og højrehåndede elever efter køn for ottende klasses elever på Keisel Middle School. Der er 5 gange så mange højrehåndede kvindelige elever, som der er venstrehåndede kvindelige elever, og der er 9 gange så mange højrehåndede mandlige elever, som der er venstrehåndede mandlige elever. hvis der i alt er 18 venstrehåndede elever og 122 højrehåndede elever på skolen, hvilket af følgende er tættest på sandsynligheden for, at en tilfældigt udvalgt højrehåndet elev er kvinde? (Bemærk: Antag, at ingen af ​​eleverne i ottende klasse er både højrehåndede og venstrehåndede.)

A) 0,410
B) 0,357
C) 0,333
D) 0,250

SVAR FORKLARING: For at løse dette problem bør du oprette to ligninger ved hjælp af to variable ($x$ og $y$) og den information, du får. Lad $x$ være antallet af venstrehåndede kvindelige studerende og lad $y$ være antallet af venstrehåndede mandlige studerende. Ved at bruge oplysningerne i opgaven vil antallet af højrehåndede kvindelige studerende være x$ og antallet af højrehåndede mandlige studerende vil være y$. Da det samlede antal venstrehåndede elever er 18 og det samlede antal højrehåndede elever er 122, skal ligningssystemet nedenfor være sandt:

$$x + y = 18$$

$x + 9y = 122$$

Når du løser dette ligningssystem, får du $x = 10$ og $y = 8$. Således er 5*10, eller 50, af de 122 højrehåndede studerende kvinder. Derfor er sandsynligheden for, at en tilfældigt udvalgt højrehåndet elev er en kvinde, /{122}$, hvilket til nærmeste tusindedel er 0,410.

Spørgsmål 8 og 9

Brug følgende oplysninger til både spørgsmål 7 og spørgsmål 8.

Hvis shoppere kommer ind i en butik med en gennemsnitlig rate på $r$ shoppere i minuttet og hver forbliver i butikken i en gennemsnitlig tid på $T$ minutter, angives det gennemsnitlige antal shoppere i butikken, $N$, på ethvert tidspunkt ved formlen $N=rT$. Dette forhold er kendt som Littles lov.

Ejeren af ​​Good Deals Store vurderer, at der i åbningstiden i gennemsnit går 3 shoppere i minuttet ind i butikken, og at hver af dem i gennemsnit bliver 15 minutter. Butiksejeren bruger Littles lov til at vurdere, at der til enhver tid er 45 handlende i butikken.

Spørgsmål 8

Littles lov kan anvendes på enhver del af butikken, såsom en bestemt afdeling eller kasselinjerne. Butiksejeren fastslår, at i åbningstiden foretager cirka 84 kunder i timen et køb, og hver af disse kunder bruger i gennemsnit 5 minutter i kassen. På et hvilket som helst tidspunkt i åbningstiden, hvor mange shoppere, der i gennemsnit venter i kassen for at foretage et køb i Good Deals Store?

SVAR FORKLARING: Da spørgsmålet siger, at Littles lov kan anvendes på en hvilken som helst del af butikken (for eksempel kun kasselinjen), så er det gennemsnitlige antal kunder, $N$, i kasselinjen til enhver tid $N = rT $, hvor $r$ er antallet af kunder, der går ind i kassen pr. minut, og $T$ er det gennemsnitlige antal minutter, hver shopper bruger i kassen.

Da 84 kunder i timen foretager et køb, kommer 84 kunder i timen til kassen. Dette skal dog konverteres til antallet af kunder pr. minut (for at kunne bruges med $T = 5$). Da der er 60 minutter i en time, er prisen ${84 shoppers per hour}/{60 minutes} = 1,4$ shoppere pr. minut. Brug af den givne formel med $r = 1,4$ og $T = 5$ giver

$$N = rt = (1,4)(5) = 7$$

Derfor er det gennemsnitlige antal kunder, $N$, i kassen på ethvert tidspunkt i åbningstiden 7.

Det endelige svar er 7.

Spørgsmål 9

Ejeren af ​​Good Deals Store åbner en ny butik på tværs af byen. For den nye butik vurderer ejeren, at der i åbningstiden i gennemsnit er 90 handlende prtimegå ind i butikken, og hver af dem bliver i gennemsnit 12 minutter. Hvor mange procent er det gennemsnitlige antal kunder i den nye butik til enhver tid mindre end det gennemsnitlige antal kunder i den oprindelige butik til enhver tid? (Bemærk: Ignorer procentsymbolet, når du indtaster dit svar. Hvis svaret f.eks. er 42,1 %, skal du indtaste 42,1)

SVAR FORKLARING: Ifølge de oprindelige oplysninger er det estimerede gennemsnitlige antal handlende i den oprindelige butik til enhver tid (N) 45. I spørgsmålet står der, at lederen i den nye butik vurderer, at der i gennemsnit er 90 handlende i timen. (60 minutter) gå ind i butikken, hvilket svarer til 1,5 shoppere i minuttet (r). Lederen vurderer også, at hver shopper i gennemsnit bliver i butikken i 12 minutter (T). Ifølge Littles lov er der således i gennemsnit $N = rT = (1,5)(12) = 18$ shoppere i den nye butik til enhver tid. Dette er

$${45-18}/{45} * 100 = 60$$

procent mindre end det gennemsnitlige antal kunder i den oprindelige butik til enhver tid.

Det endelige svar er 60.

Spørgsmål 10

I $xy$-planet ligger punktet $(p,r)$ på linjen med ligning $y=x+b$, hvor $b$ er en konstant. Punktet med koordinaterne $(2p, 5r)$ ligger på linjen med ligningen $y=2x+b$. Hvis $p≠0$, hvad er værdien af ​​$r/p$?

A) /5$

B) /4$

C) /3$

D) /2$

SVAR FORKLARING: Da punktet $(p,r)$ ligger på linjen med ligning $y=x+b$, skal punktet opfylde ligningen. Ved at erstatte $x$ med $p$ og $y$ med $r$ i ligningen $y=x+b$ får $r=p+b$, eller $i b$ = $i r-i p $.

På samme måde, da punktet $(2p,5r)$ ligger på linjen med ligningen $y=2x+b$, skal punktet opfylde ligningen. At erstatte p$ med $x$ og r$ for $y$ i ligningen $y=2x+b$ giver:

r=2(2p)+b$

r=4p+b$

$y b$ = $o 5 y r-o 4y p$.

Dernæst kan vi sætte de to ligninger lig med $b$ lig med hinanden og forenkle:

$b=r-p=5r-4p$

p=4r$

Til sidst, for at finde $r/p$, skal vi dividere begge sider af ligningen med $p$ og med $:

p=4r$

={4r}/p$

liste over religioner

/4=r/p$

Det rigtige svar er B , /4$.

Hvis du valgte valg A og D, kan du have dannet dit svar forkert ud fra koefficienterne i punktet $(2p, 5r)$. Hvis du valgte valg C, har du muligvis forvekslet $r$ og $p$.

Bemærk, at selvom dette er i lommeregnerafsnittet i SAT, behøver du absolut ikke din lommeregner for at løse det!

Spørgsmål 11

En kornsilo er bygget af to højre cirkulære kegler og en højre cirkulær cylinder med indvendige mål repræsenteret af figuren ovenfor. Af følgende, hvilken er tættest på kornsiloens volumen, i kubikfod?

A) 261,8
B) 785,4
C) 916,3
D) 1047,2

SVAR FORKLARING: Kornsiloens volumen kan findes ved at tilføje volumen af ​​alle de faste stoffer, som den er sammensat af (en cylinder og to kegler). Siloen består af en cylinder (med højde 10 fod og basisradius 5 fod) og to kegler (hver med højde 5 fod og basisradius 5 fod). Formlerne givet i begyndelsen af ​​SAT Math sektionen:

Volumen af ​​en kegle

$$V={1}/{3}πr^2h$$

Volumen af ​​en cylinder

$$V=πr^2h$$

kan bruges til at bestemme siloens samlede volumen. Da de to kegler har identiske dimensioner, er siloens samlede volumen, i kubikfod, givet af

$$V_{silo}=π(5^2)(10)+(2)({1}/{3})π(5^2)(5)=({4}/{3})(250 )p$$

hvilket er omtrent lig med 1.047,2 kubikfod.

Det endelige svar er D.

Spørgsmål 12

Hvis $x$ er gennemsnittet (aritmetisk gennemsnit) af $m$ og $, $y$ er gennemsnittet af m$ og $, og $z$ er gennemsnittet af m$ og $, hvad er gennemsnittet af $x$, $y$ og $z$ i form af $m$?

A) $m+6$
B) $m+7$
C) m+14$
D) 3 millioner USD + 21 USD

SVAR FORKLARING: Da gennemsnittet (aritmetisk middelværdi) af to tal er lig med summen af ​​de to tal divideret med 2, vil ligningerne $x={m+9}/{2}$, $y={2m+15}/{2 }$, $z={3m+18}/{2}$er sande. Gennemsnittet af $x$, $y$ og $z$ er givet af ${x + y + z}/{3}$. Substitution af udtrykkene i m for hver variabel ($x$, $y$, $z$) giver

$$[{m+9}/{2}+{2m+15}/{2}+{3m+18}/{2}]/3$$

Denne fraktion kan simplificeres til $m + 7$.

Det endelige svar er B.

Spørgsmål 13

Funktionen $f(x)=x^3-x^2-x-{11/4}$ er tegnet i $xy$-planet ovenfor. Hvis $k$ er en konstant, således at ligningen $f(x)=k$ har tre reelle løsninger, hvilken af ​​følgende kunne være værdien af ​​$k$?

SVAR FORKLARING: Ligningen $f(x) = k$ giver løsningerne til ligningssystemet

$$y = f(x) = x^3-x^2-x-{11}/{4}$$

og

$$y = k$$

En reel løsning af et system med to ligninger svarer til et skæringspunkt mellem graferne for de to ligninger i $xy$-planet.

Grafen for $y = k$ er en vandret linje, der indeholder punktet $(0, k)$ og skærer grafen for den kubiske ligning tre gange (da den har tre reelle løsninger). Givet grafen er den eneste vandrette linje, der ville skære den kubiske ligning tre gange, linjen med ligningen $y = −3$, eller $f(x) = −3$. Derfor er $k$ $-3$.

Det endelige svar er D.

Spørgsmål 14

$$q={1/2}nv^2$$

Det dynamiske tryk $q$ genereret af en væske, der bevæger sig med hastigheden $v$, kan findes ved hjælp af formlen ovenfor, hvor $n$ er væskens konstante massefylde. En luftfartsingeniør bruger formlen til at finde det dynamiske tryk af en væske, der bevæger sig med en hastighed $v$, og den samme væske, der bevæger sig med en hastighed på 1,5$v$. Hvad er forholdet mellem det dynamiske tryk af den hurtigere væske og det dynamiske tryk af den langsommere væske?

SVAR FORKLARING: For at løse dette problem skal du opsætte til ligninger med variable. Lad $q_1$ være det dynamiske tryk af den langsommere væske, der bevæger sig med hastigheden $v_1$, og lad $q_2$ være det dynamiske tryk af den hurtigere væske, der bevæger sig med hastigheden $v_2$. Derefter

$$v_2 =1,5v_1$$

Givet ligningen $q = {1}/{2}nv^2$, vil erstatning af det dynamiske tryk og hastigheden af ​​den hurtigere væske give $q_2 = {1}/{2}n(v_2)^2$. Da $v_2 =1.5v_1$, kan udtrykket .5v_1$ erstattes med $v_2$ i denne ligning, hvilket giver $q_2 = {1}/{2}n(1.5v_1)^2$. Ved at kvadrere ,5$, kan du omskrive den forrige ligning som

$$q_2 = (2,25)({1}/{2})n(v_1)^2 = (2,25)q_1$$

Derfor er forholdet mellem det dynamiske tryk af den hurtigere væske

$${q2}/{q1} = {2,25 q_1}/{q_1}= 2,25$$

Det endelige svar er 2,25 eller 9/4.

Spørgsmål 15

For et polynomium $p(x)$ er værdien af ​​$p(3)$ $-2$. Hvilket af følgende skal være sandt om $p(x)$?

A) $x-5$ er en faktor på $p(x)$.
B) $x-2$ er en faktor på $p(x)$.
C) $x+2$ er en faktor på $p(x)$.
D) Resten, når $p(x)$ er divideret med $x-3$, er $-2$.

SVAR FORKLARING: Hvis polynomiet $p(x)$ er divideret med et polynomium af formen $x+k$ (som står for alle de mulige svarvalg i dette spørgsmål), kan resultatet skrives som

$${p(x)}/{x+k}=q(x)+{r}/{x+k}$$

hvor $q(x)$ er et polynomium og $r$ er resten. Da $x + k$ er et grad-1 polynomium (hvilket betyder, at det kun inkluderer $x^1$ og ingen højere eksponenter), er resten et reelt tal.

Derfor kan $p(x)$ omskrives som $p(x) = (x + k)q(x) + r$, hvor $r$ er et reelt tal.

vlc for at downloade youtube

Spørgsmålet siger, at $p(3) = -2$, så det må være rigtigt

$$-2 = p(3) = (3 + k)q(3) + r$$

Nu kan vi tilslutte alle de mulige svar. Hvis svaret er A, B eller C, vil $r$ være

Vil du teste dig selv mod de sværeste SAT matematiske spørgsmål? Vil du vide, hvad der gør disse spørgsmål så vanskelige, og hvordan man bedst løser dem? Hvis du er klar til virkelig at sætte tænderne i SAT-matematik-sektionen og have dit blik på det perfekte resultat, så er dette guiden for dig.

Vi har sammensat det, vi tror på de 15 sværeste spørgsmål til den nuværende SAT , med strategier og svarforklaringer til hver. Disse er alle svære SAT Math-spørgsmål fra College Board SAT-praksistest, hvilket betyder at forstå dem er en af ​​de bedste måder at studere på for dem af jer, der sigter efter perfektion.

Billede: Sonia Sevilla /Wikimedia

Kort oversigt over SAT Math

Tredje og fjerde afsnit af SAT vil altid være matematiske afsnit . Det første matematikunderafsnit (mærket '3') gør ikke giver dig mulighed for at bruge en lommeregner, mens det andet matematikunderafsnit (mærket som '4') gør tillade brug af en lommeregner. Du skal dog ikke bekymre dig for meget om sektionen uden lommeregner: Hvis du ikke må bruge en lommeregner på et spørgsmål, betyder det, at du ikke behøver en lommeregner for at besvare det.

Hvert matematikunderafsnit er arrangeret i rækkefølge efter stigende sværhedsgrad (hvor jo længere tid det tager at løse et problem og jo færre der svarer rigtigt på det, jo sværere er det). På hvert underafsnit vil spørgsmål 1 være 'let', og spørgsmål 15 vil blive betragtet som 'svært'. Imidlertid nulstilles den stigende sværhedsgrad fra let til hård på grid-ins.

Derfor er multiple choice-spørgsmål arrangeret i stigende sværhedsgrad (spørgsmål 1 og 2 vil være de nemmeste, spørgsmål 14 og 15 vil være de sværeste), men sværhedsgraden nulstilles for grid-in sektionen (hvilket betyder, at spørgsmål 16 og 17 igen vil være 'let' og spørgsmål 19 og 20 vil være meget vanskelige).

Med meget få undtagelser altså de sværeste SAT matematiske problemer vil blive grupperet i slutningen af ​​multiple choice-segmenterne eller anden halvdel af grid-in-spørgsmålene. Ud over deres placering på testen har disse spørgsmål dog også et par andre fællestræk. Om et minut vil vi se på eksempler på spørgsmål, og hvordan man løser dem, og derefter analysere dem for at finde ud af, hvad disse typer spørgsmål har til fælles.

Men først: Skal du fokusere på de sværeste matematiske spørgsmål lige nu?

Hvis du lige er begyndt i din studieforberedelse (eller hvis du simpelthen har sprunget over dette første, afgørende trin), skal du helt sikkert stoppe og tage en fuld øvelsestest for at måle dit nuværende scoreniveau. Tjek vores guide til alle de gratis SAT-øvelsesprøver, der er tilgængelige online og så sæt dig ned for at tage en test på én gang.

Den absolut bedste måde at vurdere dit nuværende niveau på er simpelthen at tage SAT-øvelsestesten, som om den var ægte , holde streng timing og arbejde lige igennem med kun de tilladte pauser (vi ved det - sandsynligvis ikke din foretrukne måde at tilbringe en lørdag på). Når du har fået en god idé om dit nuværende niveau og percentilrangering, kan du sætte milepæle og mål for din ultimative SAT Math-score.

Hvis du i øjeblikket scorer i intervallet 200-400 eller 400-600 på SAT Math, er dit bedste bud først at tjekke vores guide til at forbedre din matematikscore at være konsekvent på eller over 600, før du begynder at forsøge at tackle de sværeste matematiske problemer på testen.

Hvis du dog allerede scorer over 600 i matematik-sektionen og vil teste din evne til den rigtige SAT, så fortsæt bestemt til resten af ​​denne guide. Hvis du sigter efter perfekt (eller tæt på) , så skal du vide, hvordan de sværeste SAT-matematikspørgsmål ser ud, og hvordan du løser dem. Og det er heldigvis præcis, hvad vi vil gøre.

ADVARSEL: Da der er et begrænset antal officielle SAT praksis tests , vil du måske vente med at læse denne artikel, indtil du har prøvet alle eller de fleste af de første fire officielle øvelsesprøver (da de fleste af spørgsmålene nedenfor er taget fra disse prøver). Hvis du er bekymret for at ødelægge disse tests, så stop med at læse denne guide nu; kom tilbage og læs det, når du har gennemført dem.

Lad os nu komme til vores liste over spørgsmål (whoo)!

Billede: Niytx /DeviantArt

De 15 sværeste SAT-matematikspørgsmål

Nu hvor du er sikker på, at du burde prøve disse spørgsmål, så lad os dykke direkte ind! Vi har samlet 15 af de sværeste SAT Math-spørgsmål, som du kan prøve nedenfor, sammen med gennemgange af, hvordan du får svaret (hvis du er i tvivl).

Ingen lommeregner SAT matematiske spørgsmål

Spørgsmål 1

$$C=5/9(F-32)$$

Ligningen ovenfor viser, hvordan temperatur $F$, målt i grader Fahrenheit, forholder sig til en temperatur $C$, målt i grader Celsius. Baseret på ligningen, hvilket af følgende skal være sandt?

1. En temperaturstigning på 1 grad Fahrenheit svarer til en temperaturstigning på $5/9$ grad Celsius.
2. En temperaturstigning på 1 grad Celsius svarer til en temperaturstigning på 1,8 grader Fahrenheit.
3. En temperaturstigning på $5/9$ grad Fahrenheit svarer til en temperaturstigning på 1 grad Celsius.

A) Kun jeg
B) Kun II
C) Kun III
D) Kun I og II

SVAR FORKLARING: Tænk på ligningen som en ligning for en linje

$$y=mx+b$$

hvor i dette tilfælde

$$C= {5}/{9} (F−32)$$

eller

$$C={5}/{9}F −{5}/{9}(32)$$

Du kan se, at grafens hældning er ${5}/{9}$, hvilket betyder, at for en stigning på 1 grad Fahrenheit er stigningen ${5}/{9}$ på 1 grad Celsius.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} (1)= {5}/{9}$$

Derfor er udsagn I sandt. Dette svarer til at sige, at en stigning på 1 grad Celsius er lig med en stigning på ${9}/{5}$ grader Fahrenheit.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$1= {5}/{9} (F)$$

$$(F)={9}/{5}$$

Da ${9}/{5}$ = 1,8, er sætning II sandt.

Det eneste svar, der har både udsagn I og udsagn II som sandt, er D , men hvis du har tid og vil være helt grundig, kan du også tjekke, om sætning III (en stigning på ${5}/{9}$ grad Fahrenheit er lig med en temperaturstigning på 1 grad Celsius) er sand :

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} ({5}/{9})$$

$$C= {25} /{81} (som er ≠ 1)$$

En stigning på $5/9$ grad Fahrenheit fører til en stigning på ${25}/{81}$, ikke 1 grad, Celsius, og derfor er udsagn III ikke sandt.

Det endelige svar er D.

Spørgsmål 2

Ligningen${24x^2 + 25x -47}/{ax-2} = -8x-3-{53/{ax-2}}$er sandt for alle værdier af $x≠2/a$, hvor $a$ er en konstant.

Hvad er værdien af ​​$a$?

A) -16
B) -3
C) 3
D) 16

SVAR FORKLARING: Der er to måder at løse dette spørgsmål på. Den hurtigere måde er at gange hver side af den givne ligning med $ax-2$ (så du kan slippe af med brøken). Når du ganger hver side med $ax-2$, skal du have:

$$24x^2 + 25x - 47 = (-8x-3)(ax-2) - 53$$

Du skal derefter gange $(-8x-3)$ og $(ax-2)$ ved hjælp af FOIL.

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x + 6 - 53$$

Reducer derefter på højre side af ligningen

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x - 47$$

Da koefficienterne for $x^2$-leddet skal være ens på begge sider af ligningen, $−8a = 24$, eller $a = −3$.

Den anden mulighed, som er længere og mere kedelig, er at forsøge at tilslutte alle svarmulighederne for a og se, hvilket svarvalg der gør begge sider af ligningen lige. Igen, dette er den længere mulighed, og jeg anbefaler det ikke til den faktiske SAT, da det vil spilde for meget tid.

Det endelige svar er B.

Spørgsmål 3

Hvis $3x-y = 12$, hvad er værdien af ​​${8^x}/{2^y}$?

A) $2^{12}$
B) $4^4$
C) $8^2$
D) Værdien kan ikke bestemmes ud fra de givne oplysninger.

SVAR FORKLARING: En tilgang er at udtrykke

$${8^x}/{2^y}$$

således at tæller og nævner er udtrykt med samme grundtal. Da 2 og 8 begge er 2 potenser, giver det at erstatte $2^3$ med 8 i tælleren ${8^x}/{2^y}$

$${(2^3)^x}/{2^y}$$

som kan omskrives

$${2^3x}/{2^y}$$

Da tælleren og nævneren af ​​har en fælles base, kan dette udtryk omskrives til $2^(3x−y)$. I spørgsmålet står der, at $3x − y = 12$, så man kan erstatte eksponenten med 12, $3x − y$, hvilket betyder, at

$${8^x}/{2^y}= 2^12$$

Det endelige svar er A.

Spørgsmål 4

Punkterne A og B ligger på en cirkel med radius 1, og buen ${AB}↖⌢$ har en længde på $π/3$. Hvilken brøkdel af cirklens omkreds er længden af ​​buen ${AB}↖⌢$?

SVAR FORKLARING: For at finde ud af svaret på dette spørgsmål skal du først kende formlen til at finde omkredsen af ​​en cirkel.

Omkredsen, $C$, af en cirkel er $C = 2πr$, hvor $r$ er cirklens radius. For den givne cirkel med en radius på 1 er omkredsen $C = 2(π)(1)$, eller $C = 2π$.

For at finde ud af, hvilken brøkdel af omkredsen længden af ​​${AB}↖⌢$ er, divideres længden af ​​buen med omkredsen, hvilket giver $π/3 ÷ 2π$. Denne division kan repræsenteres ved $π/3 * {1/2}π = 1/6$.

Brøken $1/6$ kan også omskrives til $0,166$ eller $0,167$.

Det endelige svar er $1/6$, $0,166$ eller $0,167$.

Spørgsmål 5

$${8-i}/{3-2i}$$

Hvis udtrykket ovenfor omskrives i formen $a+bi$, hvor $a$ og $b$ er reelle tal, hvad er værdien af ​​$a$? (Bemærk: $i=√{-1}$)

SVAR FORKLARING: For at omskrive ${8-i}/{3-2i}$ i standardformen $a + bi$, skal du gange tælleren og nævneren af ​​${8-i}/{3-2i}$ med konjugatet , $3 + 2i$. Dette svarer til

$$({8-i}/{3-2i})({3+2i}/{3+2i})={24+16i-3+(-i)(2i)}/{(3^2 )-(2i)^2}$$

Da $i^2=-1$, kan denne sidste brøk reduceres simplificeret til

$$ {24+16i-3i+2}/{9-(-4)}={26+13i}/{13}$$

hvilket forenkler yderligere til $2 + i$. Derfor, når ${8-i}/{3-2i}$ omskrives i standardformen a + bi, er værdien af ​​a 2.

Det endelige svar er A.

Spørgsmål 6

I trekant $ABC$ er målet for $∠B$ 90°, $BC=16$ og $AC$=20. Trekant $DEF$ ligner trekant $ABC$, hvor toppunkter $D$, $E$ og $F$ svarer til henholdsvis toppunkter $A$, $B$ og $C$, og hver side af trekant $ DEF$ er $1/3$ længden af ​​den tilsvarende side af trekanten $ABC$. Hvad er værdien af ​​$sinF$?

SVAR FORKLARING: Trekant ABC er en retvinklet trekant med sin rette vinkel ved B. Derfor er $ov {AC}$ hypotenusen af ​​retvinklet trekant ABC, og $ov {AB}$ og $ov {BC}$ er benene af retvinklet ABC. Ifølge Pythagoras sætning,

$$AB =√{20^2-16^2}=√{400-256}=√{144}=12$$

Da trekant DEF ligner trekant ABC, hvor toppunktet F svarer til toppunktet C, er målet for $vinkel ∠ {F}$ lig med målet for $vinkel ∠ {C}$. Derfor er $sin F = sin C$. Fra sidelængderne af trekanten ABC,

$$sinF ={modsat side}/{hypotenuse}={AB}/{AC}={12}/{20}={3}/{5}$$

Derfor er $sinF ={3}/{5}$.

Det endelige svar er ${3}/{5}$ eller 0,6.

Lommeregner-Tilladte SAT matematiske spørgsmål

Spørgsmål 7

Den ufuldstændige tabel ovenfor opsummerer antallet af venstrehåndede elever og højrehåndede elever efter køn for ottende klasses elever på Keisel Middle School. Der er 5 gange så mange højrehåndede kvindelige elever, som der er venstrehåndede kvindelige elever, og der er 9 gange så mange højrehåndede mandlige elever, som der er venstrehåndede mandlige elever. hvis der i alt er 18 venstrehåndede elever og 122 højrehåndede elever på skolen, hvilket af følgende er tættest på sandsynligheden for, at en tilfældigt udvalgt højrehåndet elev er kvinde? (Bemærk: Antag, at ingen af ​​eleverne i ottende klasse er både højrehåndede og venstrehåndede.)

A) 0,410
B) 0,357
C) 0,333
D) 0,250

SVAR FORKLARING: For at løse dette problem bør du oprette to ligninger ved hjælp af to variable ($x$ og $y$) og den information, du får. Lad $x$ være antallet af venstrehåndede kvindelige studerende og lad $y$ være antallet af venstrehåndede mandlige studerende. Ved at bruge oplysningerne i opgaven vil antallet af højrehåndede kvindelige studerende være $5x$ og antallet af højrehåndede mandlige studerende vil være $9y$. Da det samlede antal venstrehåndede elever er 18 og det samlede antal højrehåndede elever er 122, skal ligningssystemet nedenfor være sandt:

$$x + y = 18$$

$$5x + 9y = 122$$

Når du løser dette ligningssystem, får du $x = 10$ og $y = 8$. Således er 5*10, eller 50, af de 122 højrehåndede studerende kvinder. Derfor er sandsynligheden for, at en tilfældigt udvalgt højrehåndet elev er en kvinde, ${50}/{122}$, hvilket til nærmeste tusindedel er 0,410.

Det endelige svar er A.

Spørgsmål 8 og 9

Brug følgende oplysninger til både spørgsmål 7 og spørgsmål 8.

Hvis shoppere kommer ind i en butik med en gennemsnitlig rate på $r$ shoppere i minuttet og hver forbliver i butikken i en gennemsnitlig tid på $T$ minutter, angives det gennemsnitlige antal shoppere i butikken, $N$, på ethvert tidspunkt ved formlen $N=rT$. Dette forhold er kendt som Littles lov.

Ejeren af ​​Good Deals Store vurderer, at der i åbningstiden i gennemsnit går 3 shoppere i minuttet ind i butikken, og at hver af dem i gennemsnit bliver 15 minutter. Butiksejeren bruger Littles lov til at vurdere, at der til enhver tid er 45 handlende i butikken.

Spørgsmål 8

Littles lov kan anvendes på enhver del af butikken, såsom en bestemt afdeling eller kasselinjerne. Butiksejeren fastslår, at i åbningstiden foretager cirka 84 kunder i timen et køb, og hver af disse kunder bruger i gennemsnit 5 minutter i kassen. På et hvilket som helst tidspunkt i åbningstiden, hvor mange shoppere, der i gennemsnit venter i kassen for at foretage et køb i Good Deals Store?

SVAR FORKLARING: Da spørgsmålet siger, at Littles lov kan anvendes på en hvilken som helst del af butikken (for eksempel kun kasselinjen), så er det gennemsnitlige antal kunder, $N$, i kasselinjen til enhver tid $N = rT $, hvor $r$ er antallet af kunder, der går ind i kassen pr. minut, og $T$ er det gennemsnitlige antal minutter, hver shopper bruger i kassen.

Da 84 kunder i timen foretager et køb, kommer 84 kunder i timen til kassen. Dette skal dog konverteres til antallet af kunder pr. minut (for at kunne bruges med $T = 5$). Da der er 60 minutter i en time, er prisen ${84 shoppers per hour}/{60 minutes} = 1,4$ shoppere pr. minut. Brug af den givne formel med $r = 1,4$ og $T = 5$ giver

$$N = rt = (1,4)(5) = 7$$

Derfor er det gennemsnitlige antal kunder, $N$, i kassen på ethvert tidspunkt i åbningstiden 7.

Det endelige svar er 7.

Spørgsmål 9

Ejeren af ​​Good Deals Store åbner en ny butik på tværs af byen. For den nye butik vurderer ejeren, at der i åbningstiden i gennemsnit er 90 handlende prtimegå ind i butikken, og hver af dem bliver i gennemsnit 12 minutter. Hvor mange procent er det gennemsnitlige antal kunder i den nye butik til enhver tid mindre end det gennemsnitlige antal kunder i den oprindelige butik til enhver tid? (Bemærk: Ignorer procentsymbolet, når du indtaster dit svar. Hvis svaret f.eks. er 42,1 %, skal du indtaste 42,1)

SVAR FORKLARING: Ifølge de oprindelige oplysninger er det estimerede gennemsnitlige antal handlende i den oprindelige butik til enhver tid (N) 45. I spørgsmålet står der, at lederen i den nye butik vurderer, at der i gennemsnit er 90 handlende i timen. (60 minutter) gå ind i butikken, hvilket svarer til 1,5 shoppere i minuttet (r). Lederen vurderer også, at hver shopper i gennemsnit bliver i butikken i 12 minutter (T). Ifølge Littles lov er der således i gennemsnit $N = rT = (1,5)(12) = 18$ shoppere i den nye butik til enhver tid. Dette er

$${45-18}/{45} * 100 = 60$$

procent mindre end det gennemsnitlige antal kunder i den oprindelige butik til enhver tid.

Det endelige svar er 60.

Spørgsmål 10

I $xy$-planet ligger punktet $(p,r)$ på linjen med ligning $y=x+b$, hvor $b$ er en konstant. Punktet med koordinaterne $(2p, 5r)$ ligger på linjen med ligningen $y=2x+b$. Hvis $p≠0$, hvad er værdien af ​​$r/p$?

A) $2/5$

B) $3/4$

C) $4/3$

D) $5/2$

SVAR FORKLARING: Da punktet $(p,r)$ ligger på linjen med ligning $y=x+b$, skal punktet opfylde ligningen. Ved at erstatte $x$ med $p$ og $y$ med $r$ i ligningen $y=x+b$ får $r=p+b$, eller $i b$ = $i r-i p $.

På samme måde, da punktet $(2p,5r)$ ligger på linjen med ligningen $y=2x+b$, skal punktet opfylde ligningen. At erstatte $2p$ med $x$ og $5r$ for $y$ i ligningen $y=2x+b$ giver:

$5r=2(2p)+b$

$5r=4p+b$

$y b$ = $o 5 y r-o 4y p$.

Dernæst kan vi sætte de to ligninger lig med $b$ lig med hinanden og forenkle:

$b=r-p=5r-4p$

$3p=4r$

Til sidst, for at finde $r/p$, skal vi dividere begge sider af ligningen med $p$ og med $4$:

$3p=4r$

$3={4r}/p$

$3/4=r/p$

Det rigtige svar er B , $3/4$.

Hvis du valgte valg A og D, kan du have dannet dit svar forkert ud fra koefficienterne i punktet $(2p, 5r)$. Hvis du valgte valg C, har du muligvis forvekslet $r$ og $p$.

Bemærk, at selvom dette er i lommeregnerafsnittet i SAT, behøver du absolut ikke din lommeregner for at løse det!

Spørgsmål 11

En kornsilo er bygget af to højre cirkulære kegler og en højre cirkulær cylinder med indvendige mål repræsenteret af figuren ovenfor. Af følgende, hvilken er tættest på kornsiloens volumen, i kubikfod?

A) 261,8
B) 785,4
C) 916,3
D) 1047,2

SVAR FORKLARING: Kornsiloens volumen kan findes ved at tilføje volumen af ​​alle de faste stoffer, som den er sammensat af (en cylinder og to kegler). Siloen består af en cylinder (med højde 10 fod og basisradius 5 fod) og to kegler (hver med højde 5 fod og basisradius 5 fod). Formlerne givet i begyndelsen af ​​SAT Math sektionen:

Volumen af ​​en kegle

$$V={1}/{3}πr^2h$$

Volumen af ​​en cylinder

$$V=πr^2h$$

kan bruges til at bestemme siloens samlede volumen. Da de to kegler har identiske dimensioner, er siloens samlede volumen, i kubikfod, givet af

$$V_{silo}=π(5^2)(10)+(2)({1}/{3})π(5^2)(5)=({4}/{3})(250 )p$$

hvilket er omtrent lig med 1.047,2 kubikfod.

Det endelige svar er D.

Spørgsmål 12

Hvis $x$ er gennemsnittet (aritmetisk gennemsnit) af $m$ og $9$, $y$ er gennemsnittet af $2m$ og $15$, og $z$ er gennemsnittet af $3m$ og $18$, hvad er gennemsnittet af $x$, $y$ og $z$ i form af $m$?

A) $m+6$
B) $m+7$
C) $2m+14$
D) 3 millioner USD + 21 USD

SVAR FORKLARING: Da gennemsnittet (aritmetisk middelværdi) af to tal er lig med summen af ​​de to tal divideret med 2, vil ligningerne $x={m+9}/{2}$, $y={2m+15}/{2 }$, $z={3m+18}/{2}$er sande. Gennemsnittet af $x$, $y$ og $z$ er givet af ${x + y + z}/{3}$. Substitution af udtrykkene i m for hver variabel ($x$, $y$, $z$) giver

$$[{m+9}/{2}+{2m+15}/{2}+{3m+18}/{2}]/3$$

Denne fraktion kan simplificeres til $m + 7$.

Det endelige svar er B.

Spørgsmål 13

Funktionen $f(x)=x^3-x^2-x-{11/4}$ er tegnet i $xy$-planet ovenfor. Hvis $k$ er en konstant, således at ligningen $f(x)=k$ har tre reelle løsninger, hvilken af ​​følgende kunne være værdien af ​​$k$?

SVAR FORKLARING: Ligningen $f(x) = k$ giver løsningerne til ligningssystemet

$$y = f(x) = x^3-x^2-x-{11}/{4}$$

og

$$y = k$$

En reel løsning af et system med to ligninger svarer til et skæringspunkt mellem graferne for de to ligninger i $xy$-planet.

Grafen for $y = k$ er en vandret linje, der indeholder punktet $(0, k)$ og skærer grafen for den kubiske ligning tre gange (da den har tre reelle løsninger). Givet grafen er den eneste vandrette linje, der ville skære den kubiske ligning tre gange, linjen med ligningen $y = −3$, eller $f(x) = −3$. Derfor er $k$ $-3$.

Det endelige svar er D.

Spørgsmål 14

$$q={1/2}nv^2$$

Det dynamiske tryk $q$ genereret af en væske, der bevæger sig med hastigheden $v$, kan findes ved hjælp af formlen ovenfor, hvor $n$ er væskens konstante massefylde. En luftfartsingeniør bruger formlen til at finde det dynamiske tryk af en væske, der bevæger sig med en hastighed $v$, og den samme væske, der bevæger sig med en hastighed på 1,5$v$. Hvad er forholdet mellem det dynamiske tryk af den hurtigere væske og det dynamiske tryk af den langsommere væske?

SVAR FORKLARING: For at løse dette problem skal du opsætte til ligninger med variable. Lad $q_1$ være det dynamiske tryk af den langsommere væske, der bevæger sig med hastigheden $v_1$, og lad $q_2$ være det dynamiske tryk af den hurtigere væske, der bevæger sig med hastigheden $v_2$. Derefter

$$v_2 =1,5v_1$$

Givet ligningen $q = {1}/{2}nv^2$, vil erstatning af det dynamiske tryk og hastigheden af ​​den hurtigere væske give $q_2 = {1}/{2}n(v_2)^2$. Da $v_2 =1.5v_1$, kan udtrykket $1.5v_1$ erstattes med $v_2$ i denne ligning, hvilket giver $q_2 = {1}/{2}n(1.5v_1)^2$. Ved at kvadrere $1,5$, kan du omskrive den forrige ligning som

$$q_2 = (2,25)({1}/{2})n(v_1)^2 = (2,25)q_1$$

Derfor er forholdet mellem det dynamiske tryk af den hurtigere væske

$${q2}/{q1} = {2,25 q_1}/{q_1}= 2,25$$

Det endelige svar er 2,25 eller 9/4.

Spørgsmål 15

For et polynomium $p(x)$ er værdien af ​​$p(3)$ $-2$. Hvilket af følgende skal være sandt om $p(x)$?

A) $x-5$ er en faktor på $p(x)$.
B) $x-2$ er en faktor på $p(x)$.
C) $x+2$ er en faktor på $p(x)$.
D) Resten, når $p(x)$ er divideret med $x-3$, er $-2$.

SVAR FORKLARING: Hvis polynomiet $p(x)$ er divideret med et polynomium af formen $x+k$ (som står for alle de mulige svarvalg i dette spørgsmål), kan resultatet skrives som

$${p(x)}/{x+k}=q(x)+{r}/{x+k}$$

hvor $q(x)$ er et polynomium og $r$ er resten. Da $x + k$ er et grad-1 polynomium (hvilket betyder, at det kun inkluderer $x^1$ og ingen højere eksponenter), er resten et reelt tal.

Derfor kan $p(x)$ omskrives som $p(x) = (x + k)q(x) + r$, hvor $r$ er et reelt tal.

Spørgsmålet siger, at $p(3) = -2$, så det må være rigtigt

$$-2 = p(3) = (3 + k)q(3) + r$$

Nu kan vi tilslutte alle de mulige svar. Hvis svaret er A, B eller C, vil $r$ være $0$, mens hvis svaret er D, vil $r$ være $-2$.

A. $-2 = p(3) = (3 + (-5))q(3) + 0$
$-2=(3-5)q(3)$
$-2=(-2)q(3)$

Dette kunne være sandt, men kun hvis $q(3)=1$

B. $-2 = p(3) = (3 + (-2))q(3) + 0$
$-2 = (3-2)q(3)$
$-2 = (-1)q(3)$

Dette kunne være sandt, men kun hvis $q(3)=2$

C. $-2 = p(3) = (3 + 2)q(3) + 0$
$-2 = (5)q(3)$

Dette kunne være sandt, men kun hvis $q(3)={-2}/{5}$

D. $-2 = p(3) = (3 + (-3))q(3) + (-2)$
$-2 = (3 - 3)q(3) + (-2)$
$-2 = (0)q(3) + (-2)$

Dette vil altid være sandt uanset hvad $q(3)$ er.

Af svarvalgene er det eneste, der skal være sandt om $p(x)$ er D, at resten når $p(x)$ er divideret med $x-3$ er -2.

Det endelige svar er D.

Du fortjener alle lurene efter at have kørt igennem disse spørgsmål.

Hvad har de sværeste SAT-matematikspørgsmål til fælles?

Det er vigtigt at forstå, hvad der gør disse svære spørgsmål 'svære'. Ved at gøre det vil du både kunne forstå og løse lignende spørgsmål, når du ser dem på testdagen, samt have en bedre strategi til at identificere og rette dine tidligere SAT matematiske fejl.

I dette afsnit vil vi se på, hvad disse spørgsmål har til fælles, og give eksempler på hver type. Nogle af grundene til, at de sværeste matematiske spørgsmål er de sværeste matematiske spørgsmål, er fordi de:

#1: Test flere matematiske begreber på én gang

Her skal vi beskæftige os med imaginære tal og brøker på én gang.

Hemmeligheden bag succes: Tænk på, hvilken anvendelig matematik du kan bruge til at løse problemet, lav et trin ad gangen, og prøv hver teknik, indtil du finder en, der virker!

#2: Involver en masse trin

Husk: Jo flere skridt du skal tage, jo lettere er det at rode et sted hen ad linjen!

Vi skal løse dette problem i trin (ved at lave flere gennemsnit) for at låse op for resten af ​​svarene i en dominoeffekt. Dette kan blive forvirrende, især hvis du er stresset eller løber tør for tid.

Hemmeligheden bag succes: Tag det langsomt, tag det trin for trin, og dobbelttjek dit arbejde, så du ikke laver fejl!

#3: Test koncepter, som du har begrænset fortrolighed med

For eksempel er mange elever mindre fortrolige med funktioner, end de er med brøker og procenter, så de fleste funktionsspørgsmål betragtes som 'høj sværhedsgrad'-problemer.

Hvis du ikke kender din vej rundt om funktioner, ville dette være et vanskeligt problem.

Hemmeligheden bag succes: Gennemgå matematiske begreber, som du ikke har så meget kendskab til, såsom funktioner . Vi foreslår, at du bruger vores fantastiske gratis SAT Math gennemgangsguider.

#4: Er formuleret på usædvanlige eller indviklede måder

Det kan være svært at finde ud af præcis, hvad nogle spørgsmål er spørger , meget mindre finde ud af, hvordan du løser dem. Dette gælder især, når spørgsmålet er placeret i slutningen af ​​afsnittet, og du er ved at løbe tør for tid.

Fordi dette spørgsmål giver så meget information uden et diagram, kan det være svært at pusle igennem på den begrænsede tid, der er tilladt.

Hemmeligheden bag succes: Tag dig god tid, analyser, hvad der bliver bedt om af dig, og tegn et diagram, hvis det er nyttigt for dig.

#5: Brug mange forskellige variabler

Med så mange forskellige variabler i spil, er det ret nemt at blive forvirret.

Hemmeligheden bag succes: Tag dig god tid, analyser, hvad der bliver bedt om af dig, og overvej, om det er en god strategi til at løse problemet at tilslutte tal (det ville ikke være til spørgsmålet ovenfor, men ville være til mange andre SAT-variable spørgsmål).

Take-Aways

SAT er et maraton, og jo bedre forberedt du er til det, jo bedre vil du føle dig på testdagen. At vide, hvordan man håndterer de sværeste spørgsmål, testen kan kaste på dig, vil få det til at virke meget mindre skræmmende at tage den rigtige SAT.

Hvis du følte, at disse spørgsmål var nemme, så sørg for ikke at undervurdere effekten af ​​adrenalin og træthed på din evne til at løse problemer. Når du fortsætter med at studere, skal du altid overholde de korrekte timing-retningslinjer og prøve at tage fulde tests, når det er muligt. Dette er den bedste måde at genskabe det faktiske testmiljø, så du kan forberede dig på den virkelige vare.

Hvis du følte, at disse spørgsmål var udfordrende, sørg for at styrke din matematikviden ved at tjekke vores individuelle matematiske emnevejledninger til SAT. Der vil du se mere detaljerede forklaringer af de pågældende emner samt mere detaljerede svaropdelinger.

Hvad er det næste?

Følte du, at disse spørgsmål var sværere, end du havde forventet? Tag et kig på alle de emner, der er dækket i SAT-matematikafsnittet, og bemærk derefter, hvilke afsnit der var særligt vanskelige for dig. Dernæst kan du tage et kig på vores individuelle matematikguider for at hjælpe dig med at støtte nogle af disse svage områder.

Løber du tør for tid på SAT-matematiksektionen? Vores guide hjælper dig med at slå uret og maksimere din score.

Sigter du efter en perfekt score? Tjek ud vores guide til, hvordan du får en perfekt 800 på SAT-matematiksektionen , skrevet af en perfekt scorer.

A. $-2 = p(3) = (3 + (-5))q(3) + 0$
$-2=(3-5)q(3)$
$-2=(-2)q(3)$

Dette kunne være sandt, men kun hvis $q(3)=1$

B. $-2 = p(3) = (3 + (-2))q(3) + 0$
$-2 = (3-2)q(3)$
$-2 = (-1)q(3)$

Dette kunne være sandt, men kun hvis $q(3)=2$

C. $-2 = p(3) = (3 + 2)q(3) + 0$
$-2 = (5)q(3)$

Dette kunne være sandt, men kun hvis $q(3)={-2}/{5}$

D. $-2 = p(3) = (3 + (-3))q(3) + (-2)$
$-2 = (3 - 3)q(3) + (-2)$
$-2 = (0)q(3) + (-2)$

Dette vil altid være sandt uanset hvad $q(3)$ er.

Af svarvalgene er det eneste, der skal være sandt om $p(x)$ er D, at resten når $p(x)$ er divideret med $x-3$ er -2.

Det endelige svar er D.

Du fortjener alle lurene efter at have kørt igennem disse spørgsmål.

Hvad har de sværeste SAT-matematikspørgsmål til fælles?

Det er vigtigt at forstå, hvad der gør disse svære spørgsmål 'svære'. Ved at gøre det vil du både kunne forstå og løse lignende spørgsmål, når du ser dem på testdagen, samt have en bedre strategi til at identificere og rette dine tidligere SAT matematiske fejl.

I dette afsnit vil vi se på, hvad disse spørgsmål har til fælles, og give eksempler på hver type. Nogle af grundene til, at de sværeste matematiske spørgsmål er de sværeste matematiske spørgsmål, er fordi de:

#1: Test flere matematiske begreber på én gang

Her skal vi beskæftige os med imaginære tal og brøker på én gang.

Hemmeligheden bag succes: Tænk på, hvilken anvendelig matematik du kan bruge til at løse problemet, lav et trin ad gangen, og prøv hver teknik, indtil du finder en, der virker!

#2: Involver en masse trin

Husk: Jo flere skridt du skal tage, jo lettere er det at rode et sted hen ad linjen!

Vi skal løse dette problem i trin (ved at lave flere gennemsnit) for at låse op for resten af ​​svarene i en dominoeffekt. Dette kan blive forvirrende, især hvis du er stresset eller løber tør for tid.

Hemmeligheden bag succes: Tag det langsomt, tag det trin for trin, og dobbelttjek dit arbejde, så du ikke laver fejl!

#3: Test koncepter, som du har begrænset fortrolighed med

For eksempel er mange elever mindre fortrolige med funktioner, end de er med brøker og procenter, så de fleste funktionsspørgsmål betragtes som 'høj sværhedsgrad'-problemer.

Hvis du ikke kender din vej rundt om funktioner, ville dette være et vanskeligt problem.

Hemmeligheden bag succes: Gennemgå matematiske begreber, som du ikke har så meget kendskab til, såsom funktioner . Vi foreslår, at du bruger vores fantastiske gratis SAT Math gennemgangsguider.

#4: Er formuleret på usædvanlige eller indviklede måder

Det kan være svært at finde ud af præcis, hvad nogle spørgsmål er spørger , meget mindre finde ud af, hvordan du løser dem. Dette gælder især, når spørgsmålet er placeret i slutningen af ​​afsnittet, og du er ved at løbe tør for tid.

Fordi dette spørgsmål giver så meget information uden et diagram, kan det være svært at pusle igennem på den begrænsede tid, der er tilladt.

Hemmeligheden bag succes: Tag dig god tid, analyser, hvad der bliver bedt om af dig, og tegn et diagram, hvis det er nyttigt for dig.

#5: Brug mange forskellige variabler

Med så mange forskellige variabler i spil, er det ret nemt at blive forvirret.

Hemmeligheden bag succes: Tag dig god tid, analyser, hvad der bliver bedt om af dig, og overvej, om det er en god strategi til at løse problemet at tilslutte tal (det ville ikke være til spørgsmålet ovenfor, men ville være til mange andre SAT-variable spørgsmål).

Take-Aways

SAT er et maraton, og jo bedre forberedt du er til det, jo bedre vil du føle dig på testdagen. At vide, hvordan man håndterer de sværeste spørgsmål, testen kan kaste på dig, vil få det til at virke meget mindre skræmmende at tage den rigtige SAT.

Hvis du følte, at disse spørgsmål var nemme, så sørg for ikke at undervurdere effekten af ​​adrenalin og træthed på din evne til at løse problemer. Når du fortsætter med at studere, skal du altid overholde de korrekte timing-retningslinjer og prøve at tage fulde tests, når det er muligt. Dette er den bedste måde at genskabe det faktiske testmiljø, så du kan forberede dig på den virkelige vare.

Hvis du følte, at disse spørgsmål var udfordrende, sørg for at styrke din matematikviden ved at tjekke vores individuelle matematiske emnevejledninger til SAT. Der vil du se mere detaljerede forklaringer af de pågældende emner samt mere detaljerede svaropdelinger.

Hvad er det næste?

Følte du, at disse spørgsmål var sværere, end du havde forventet? Tag et kig på alle de emner, der er dækket i SAT-matematikafsnittet, og bemærk derefter, hvilke afsnit der var særligt vanskelige for dig. Dernæst kan du tage et kig på vores individuelle matematikguider for at hjælpe dig med at støtte nogle af disse svage områder.

Løber du tør for tid på SAT-matematiksektionen? Vores guide hjælper dig med at slå uret og maksimere din score.

Sigter du efter en perfekt score? Tjek ud vores guide til, hvordan du får en perfekt 800 på SAT-matematiksektionen , skrevet af en perfekt scorer.