Typer af ensartet distribution

Typer af ensartet fordeling er:

1. Kontinuerlig ensartet distribution: En kontinuerlig ensartet sandsynlighedsfordeling er en fordeling, der har et uendeligt antal værdier defineret i et specificeret interval. Den har en rektangulær graf såkaldt rektangulær fordeling. Det arbejder på de værdier, som er kontinuerlige i naturen. Eksempel: Tilfældig talgenerator
2. Diskret ensartet fordeling: En diskret ensartet sandsynlighedsfordeling er en fordeling, der har et begrænset antal værdier defineret i et specificeret interval. Dens graf indeholder forskellige lodrette linjer for hver endelig værdi. Det arbejder på værdier, der er diskrete i naturen. Eksempel: Der kastes en terning.

Lad os diskutere disse typer i detaljer som følger.

Kontinuerlige ensartede fordelinger eller rektangulære fordelinger

Kontinuerlige ensartede fordelinger, også kendt som rektangulære fordelinger, er sandsynlighedsfordelinger, hvor sandsynlighedstæthedsfunktionen (PDF) er konstant inden for et bestemt interval og nul andre steder. Det betyder, at alle udfald inden for intervallet er lige sandsynlige.

Kontinuerlige ensartede fordelinger giver en enkel, men kraftfuld ramme til at forstå og modellere tilfældighed inden for definerede intervaller, hvilket gør dem til væsentlige værktøjer i sandsynlighedsteori og anvendt statistik.

Sandsynlighedstæthedsfunktion (PDF)

Det sandsynlighedstæthedsfunktion (PDF) af en kontinuerlig ensartet fordeling definerer sandsynligheden for, at en stokastisk variabel falder inden for et bestemt interval. For en kontinuerlig ensartet fordeling over intervallet [a, b] er PDF'en givet af:

f(x) = 1 / (b – a) for a ≤ x ≤ b

og f(x) = 0 ellers.

Kumulativ distributionsfunktion (CDF)

Den kumulative fordelingsfunktion (CDF) af en kontinuerlig ensartet fordeling giver sandsynligheden for, at en stokastisk variabel er mindre end eller lig med en bestemt værdi. For den kontinuerlige ensartede fordeling over [a, b] er CDF defineret som:

F(x) = (x – a) / (b – a) for a ≤ x ≤ b

og F(x) = 0 for x b.

Generering af funktioner

Genereringsfunktioner giver en måde at repræsentere talsekvenser som potensrækker. I sandsynlighedsteori bruges genererende funktioner ofte til at manipulere sekvenser af tilfældige variable. De kan forenkle beregninger og hjælpe med at udlede vigtige egenskaber ved stokastiske variabler og fordelinger.

Standard ensartet distribution

Den ensartede standardfordeling er et specialtilfælde af den kontinuerlige ensartede fordeling, hvor intervallet er [0, 1]. Det er meget brugt i simuleringer, generering af tilfældige tal og forskellige statistiske applikationer.

Egenskaber ved kontinuerlige ensartede distributioner

• Lige sandsynlighedstæthed inden for intervallet.
• Kumulativ fordelingsfunktion stiger lineært inden for intervallet.
• Middelværdien af ​​en kontinuerlig ensartet fordeling er midtpunktet af intervallet.
• Variansen af ​​en kontinuerlig ensartet fordeling er [(b – a)²] / 12.

Anvendelser af kontinuerlige ensartede distributioner

• Modellering af usikkerhed inden for forskellige områder såsom teknik, økonomi og fysik.
• Generering af tilfældige tal til simuleringer og spil.
• Anvendes i statistisk kvalitetskontrol til at modellere ensartethed i fremstillingsprocesser.
• I kryptografi til generering af nøgler og skabelse af tilfældige permutationer.
• Som en basisfordeling til sammenligning med andre fordelinger i statistisk analyse.

Diskret ensartet fordeling

Diskret ensartet fordeling er en sandsynlighed fordeling, der beskriver sandsynligheden for udfald, når hvert udfald i et endeligt sæt er lige sandsynligt. Det er kendetegnet ved en konstant sandsynlighedsmassefunktion (PMF) over et begrænset område af værdier.

Den diskrete ensartede fordeling tjener som en grundlæggende model i sandsynlighedsteori og statistik, der giver en enkel, men effektiv måde at beskrive usikkerhed i situationer, hvor udfald er lige sandsynlige. Dets egenskaber og anvendelser strækker sig på tværs af forskellige discipliner, hvilket gør det til et alsidigt værktøj i dataanalyse og beslutningsprocesser.

Estimering af maksimum

I Statistikker , estimeringen af ​​maksimum refererer til metoder, der bruges til at estimere den største værdi eller den maksimale observation i et datasæt. Teknikker såsom ordrestatistikker og estimering af maksimal sandsynlighed anvendes almindeligvis til dette formål.

Tilfældig permutation

En tilfældig permutation er et tilfældigt arrangement af et sæt elementer eller elementer. Det bruges ofte inden for forskellige områder såsom kryptografi, statistik og datalogi. Generering af tilfældige permutationer er afgørende i algoritmer, simuleringer og eksperimentelle designs.

Egenskaber ved diskret ensartet distribution

• Hvert udfald i stikprøverummet har en lige stor sandsynlighed for forekomst.
• Sandsynlighedsmassefunktionen (PMF) er konstant over rækken af ​​mulige udfald.
• Middelværdien af ​​en diskret ensartet fordeling er gennemsnittet af minimums- og maksimumværdierne.
• Variansen af ​​en diskret ensartet fordeling er [(n^2 – 1) / 12], hvor n er antallet af mulige udfald.

Anvendelser af diskret ensartet distribution

• Rulning af fair terninger eller vending af fair mønter, hvor hvert udfald har lige stor sandsynlighed.
• Modellering af scenarier, hvor der ikke er nogen præference eller bias over for et bestemt resultat.
• Prøveudtagning uden erstatning, såsom udvælgelse af tilfældige prøver fra en begrænset population.
• Generering af tilfældige tal til simuleringer, Monte Carlo-metoder og randomiserede algoritmer.
• Oprettelse af tilfældige permutationer til at blande kortspil, design af eksperimenter og kryptografiske applikationer.

Læs mere,

• Poisson distribution
• Binomial fordeling
• Normal fordeling

Eksempel på spørgsmål

Spørgsmål 1: En stokastisk variabel X har en ensartet fordeling over (-2, 2),

(i) find k, hvor P(X>k) = 1/2 (ii) Evaluer P(X<1) (iii) P[|X-1|<1]

Løsning:

(jeg) X =f(x) = 1/(b-a) =1/(2-(-2)) = 1/4

P(X>k) = 1 – P(X≤ k) = 1 –int_{-2}^{k}f(x)dx

= 1 – (1/4).int_{-2}^{k}dx =1 – (k+2)/4 = 1/2

Ved at løse får vi k = 0

(ii) P(X<1) =int_{-2}^{1}f(x)dx =(1/4).int_{-2}^{k}dx = 3/4

(iii) P[|X -1| <1] = P[1-1int_{0}^{1}f(x)dx = (1/4).int_{0}^{1}dx = 1/4

Spørgsmål 2: Hvis X er ensartet fordelt i (-1 , 4) så

(i) dens middelværdi er ______________.

(ii) dens varians er ______________.

(iii) dens standardafvigelse er ___________.

(iv) dens median er ______________.

Løsning: