I denne artikel skal vi diskutere den symmetriske forskel mellem to sæt. Her vil vi også diskutere egenskaberne ved symmetrisk forskel mellem to sæt.

Håber, denne artikel vil være nyttig for dig for at forstå den symmetriske forskel mellem to sæt.

Hvad er en symmetrisk forskel?

En anden variant af forskel er den symmetriske forskel. Antag, at der er to mængder, A og B. Den symmetriske forskel mellem begge mængder A og B er mængden, der indeholder de elementer, der er til stede i begge mængder undtagen de fælles elementer.

Den symmetriske forskel mellem to sæt kaldes også som disjunktiv forening . Symmetrisk forskel mellem to sæt er et sæt elementer, der er i begge sæt, men ikke i deres skæringspunkt. Den symmetriske forskel mellem to sæt A og B er repræsenteret ved A D B eller A ? B .

Vi kan forstå det via eksempler.

Eksempel 1 Antag, at der er to sæt med nogle elementer.

Sæt A = {1, 2, 3, 4, 5}

Sæt B = {3, 5}

Så den symmetriske forskel mellem de givne sæt A og B er {1, 2, 4}

Eller det kan vi sige A Δ B = {1, 2, 4} .

Eksempel 2 Antag, at der er to sæt med nogle elementer.

Sæt A = {a, b, c, k, m, n}

Sæt B = {c, n}

Så den symmetriske forskel mellem de givne sæt A og B er {a, b, k, m}

Eller det kan vi sige A Δ B = {a, b, k, m} .

I nedenstående Venn-diagram kan du se den symmetriske forskel mellem de to sæt.

Den del, der er skraveret med hudfarven i ovenstående Venn-diagram, er den symmetriske forskel mellem de givne sæt, dvs. A D B .

Lad os se nogle af egenskaberne ved symmetrisk forskel mellem to sæt.

Ejendomme

Der er nogle af egenskaberne ved symmetrisk forskel, der er anført som følger;

• Den symmetriske forskel kan repræsenteres som foreningen af ​​begge relative komplementer, dvs.
  A Δ B = (A / B) ∪ (B / A)
• Den symmetriske forskel mellem to mængder kan også udtrykkes som foreningen af ​​to mængder minus skæringspunktet mellem dem -
  A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)
• Den symmetriske forskel er kommutativ såvel som associativ -
  A Δ B = B Δ A
  (A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C)
• Den tomme mængde er neutral (i matematik siges et neutralt element at være en speciel type element, som, når det kombineres med et hvilket som helst element i sættet for at udføre en binær operation, efterlader elementet uændret. Det er også kendt som Identitetselement ).
  A Δ ∅ = A
  A Δ A = ∅
• Hvis sæt A er lig med sæt B, så er den symmetriske forskel mellem begge sæt -
  A Δ B = ∅ {når A = B}

'Symmetrisk forskel mellem to sæt' v/s 'Forskel mellem to sæt'

Forskellen mellem to sæt

Forskellen mellem to mængder A og B er et sæt af alle de elementer, der hører til A, men som ikke hører til B, og er betegnet med A - B .

Eksempel: Lad A = {1, 2, 3, 4}

og B = {3, 4, 5, 6}

derefter A - B = {3, 4} og B - A = {5, 6}

Symmetrisk forskel mellem to sæt

Den symmetriske forskel mellem to sæt, A og B, er den mængde, der indeholder alle de elementer, der er i A eller B, men ikke i begge. Det er repræsenteret ved A D B eller A ? B .

Eksempel: Lad A = {1, 2, 3, 4}

og B = {3, 4, 5, 6}

så A Δ B = {1, 2, 5, 6}

Lad os nu se nogle eksempler for at forstå den symmetriske forskel mellem to sæt mere klart.

Spørgsmål 1 - Antag, at du har mængderne A = {10, 15, 17, 19, 20} og B = {15, 16, 18}. Find ud af forskellen mellem både sæt A og B og find også ud af den symmetriske forskel mellem dem.

Løsning - givet,

java objekt lighed

A = {10, 15, 17, 19, 20}

og B = {15, 16, 18}

Forskellen mellem de to sæt er -

A - B = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}

= {10, 17, 19, 20}

Symmetrisk forskel mellem begge sæt er -

A Δ B = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}

= {10, 16, 17, 18, 19, 20}

Spørgsmål 2 - Antag, at du har mængderne A = {2, 4, 6, 8} og B = {2, 5, 7, 8}. Find ud af den symmetriske forskel B Δ A. Tegn også Venn-diagrammet for at repræsentere den symmetriske forskel mellem begge givne mængder.

Løsning - Givet, A = {2, 4, 6, 8} og B = {2, 5, 7, 8}

Vi ved, at B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)

Lad os prøve at løse spørgsmålet trin for trin. Så det første skridt er at finde foreningen af ​​sæt A og mængde B.

Derfor er (B ∪ A) = {2, 5, 7, 8} ∪ {2, 4, 6, 8}

= {2, 4, 5, 6, 7, 8}

Derefter skal vi beregne skæringspunktet mellem begge sæt.

(B ∩ A) = {2, 5, 7, 8} ∩ {2, 4, 6, 8}

= {2, 8}

Nu skal vi finde forskellen mellem foreningen og skæringspunktet mellem mængderne A og B, som angivet i formlen,

Så (B ∪ A) - (B ∩ A) = {2, 4, 5, 6, 7, 8} - {2, 8}

= {4, 5, 6, 7}

Derfor er B Δ A = {4, 5, 6, 7}

Som vil være lig med A Δ B, som nævnt ovenfor, 'Symmetrisk forskel er kommutativ'. Nu vil vi vise den symmetriske forskel mellem begge sæt via Venn-diagrammet.

I Venn-diagrammet vil vi først tegne to cirkler, der repræsenterer mængderne A og B. Som beregnet ovenfor er skæringspunktet mellem begge mængder {2, 8}, så vi listede disse elementer i det krydsende område. Derefter lister vi de resterende elementer i deres respektive sætcirkler, dvs. {4, 6} i sæt A og {5, 7} i sæt B. Efter at have arrangeret elementerne, vil Venn-diagrammet være -

Når vi ser på ovenstående Venn-diagram, er der en Universalmængde U. Både mængder A og B er delmængden af ​​universalmængde U. Elementer {2, 8} er de skærende elementer, så de er repræsenteret i det skærende område. Området med lys orange farve er foreningen af ​​sæt bortset fra det skærende område. Dette område er den symmetriske forskel mellem både sæt A og B, og vil blive repræsenteret som -

B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A) = {4, 5, 6, 7}

Spørgsmål 3 - Antag, at du har mængderne A = {5, 6, 8, 9, 10} og B = {2, 4, 7, 10, 19}.

Bevis, at den symmetriske forskel er kommutativ ved hjælp af de givne sæt.

Løsning - Givet, A = {5, 6, 8, 9, 10} og B = {2, 7, 8, 9, 10}

At bevise: A Δ B = B Δ A

Tag LHS,

A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)

(A ∪ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∪ (2, 7, 8, 9, 10}

= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

(A ∩ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∩ (2, 7, 8, 9, 10}

= {8, 9, 10}

Så A Δ B = {2, 5, 6, 7}

Tag nu RHS

B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)

(B ∪ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∪ {5, 6, 8, 9, 10}

= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

(B ∩ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∩ {5, 6, 8, 9, 10}

= {8, 9, 10}

Så B Δ A = {2, 5, 6, 7}

Derfor er A Δ B = B Δ A

Derfor er den symmetriske forskel kommutativ.