Vinkelrette linier i matematik er par af linjer, der altid skærer hinanden i rette vinkler, dvs. vinkelrette linjer er altid skærende linjer, der skærer hinanden 90°. De vinkelrette linjer ses let af os, hjørnerne af væggene, hjørnerne af skrivebordet og andre repræsenterer den parallelle linje. For vinkelrette linjer siger vi, at de skærer hinanden i rette vinkler. Den korteste afstand mellem to linjer er angivet ved hjælp af den vinkelrette afstand mellem dem, dvs. den vinkelrette linje mellem to punkter giver den korteste afstand mellem dem.

I denne artikel vil vi lære om vinkelrette linjer, deres egenskaber og andre i detaljer.

Indholdsfortegnelse

• Hvad er vinkelrette linjer?
• Egenskaber af vinkelrette linjer
• Hældning af vinkelrette linjer
• Formel for vinkelrette linjer
• Hvordan tegner man vinkelrette linjer?
• vinkelret linje ligning

Hvad er vinkelret?

Vinkelrette er defineret som en linje, der laver en ret vinkel med en anden linje. Med andre ord betyder vinkelret linje de linjer, der danner en vinkel på 90 grader. Den korteste afstand mellem punktet og linjen er den vinkelrette linje mellem dem. En vinkelret gør 90 grader med den anden linje. Linjen AB og PQ som vist på billedet nedenfor er vinkelrette på hinanden, fordi de skærer hinanden i 90 grader.

Linjen AB og CD tilføjet på billedet nedenfor viser to vinkelrette linjer.

Hvad er vinkelrette linjer?

Vinkelrette linjer betyder de linjer, der skærer hinanden i en vinkel lig med 90 grader, dvs. hvis to linjer mødes i en ret vinkel, kaldes de vinkelrette linjer. Tag figuren tilføjet nedenfor her, linjen l og linjen m skærer hinanden i punktet O, og vinklen lavet af dem er 90 grader.

Således kan vi sige, at l er en linje vinkelret på m linje eller linje m er vinkelret på linje l. Vi repræsenterer denne tilstand som l ⊥ m. Nu er enhver linje parallel med linje l vinkelret på linjen m. Den korteste afstand mellem punktet og linjen er altid den vinkelrette afstand mellem dem.

Bemærk: Ikke alle de skærende linjer er vinkelrette linjer, men alle de vinkelrette linjer er skærende linjer.

vinkelret tegn

Vinkelrette linjer er repræsenteret ved hjælp af symbolet '⊥'. Hvis linjer l og m er vinkelrette på hinanden, dvs. de skærer hinanden i 90 grader, kaldes de vinkelrette linjer, og de er repræsenteret som, l ⊥ m. Skæringspunktet kaldes vinkelrets fod.

Vinkelrette former

Præpendikulære former kan ses omkring os i vores daglige liv. I vinkelrette former er de former, hvor den mindst ene vinkel er 90°. Forskellige former, der har vinkelrette linjer (vinkelrette former), er,

• Firkant
• Rektangel
• Retvinklet trekant

Egenskaber af vinkelrette linjer

Enhver to skærende linjer, der skærer i en vinkel på 90 grader, kaldes vinkelrette linjer. Vinkelrette linjer har andre egenskaber end de skærende linjer, og de generelle egenskaber for de skærende linjer er,

• Vinkelrette linjer er de linjer, der altid skærer hinanden i den rigtige vinkel.
• Hvis to linjer er vinkelrette på den samme linje, så er disse to linjer altid parallelle med hinanden.

Hældning af vinkelrette linjer

Hældningen af ​​enhver linje er tan af vinklen dannet af linjen med den positive x-akse, og hældningen i tilfælde af de vinkelrette linjer har en særlig relation mellem dem.

Antag, at vi har to linjer PQ og RS, der er vinkelrette på hinanden. Nu er hældningen af ​​linje PQ sige m₁og hældningen af ​​linjen RS er sige m₂, så er produktet af hældningerne lig med -1. Udsagnet for det samme er,

Udmelding: To linjer er vinkelrette på hinanden, hvis produktet af deres hældning er -1.

Dette kan repræsenteres som,

m ₁ .m ₂ = -1

Formel for vinkelrette linjer

De to grundlæggende vinkelrette linjeformler diskuteres nedenfor,

Udsagn 1: Produktet af hældningen af ​​en vinkelret linje med hældningen af ​​den oprindelige linje er altid -1 .

Bevis:

Lader den oprindelige linje lave en vinkel på θ med X-aksen.

Så vil linjen vinkelret på linjen lave en vinkel på θ + 90° eller θ – 90° med X-aksen.

Nu er hældningen af ​​den oprindelige linje lig med tan θ

side ned tastatur

Hældningen af ​​den vinkelrette linje er lig med enten tan (θ + 90^O) eller tan (θ – 90^O)

tan (θ + 90 ^O ) = tan (θ – 90 ^O ) = -seng i

Hældningen af ​​den vinkelrette linje er således -cot θ

Nu,

Produkt af hældninger = tan θ × (-cot θ) = -1

Derfor bevist

Udsagn 2: Hvis ligningen for en linje er ax + by + c = 0

Så er ligningen for en linje vinkelret på den givne linje,

– bx + ay + d = 0

hvor, c og d er enhver konstant værdi

Bevis:

Linjens ligning er ax + by + c = 0

Hældningen af ​​linjen er -a/b

Lad hældningen af ​​den vinkelrette linje være m

Vi ved, at produktet af hældningen af ​​to vinkelrette linjer er -1

m × (-a/b) = – 1

m = b/a

Nu, hvis den vinkelrette linje går gennem et punkt (x₁, og₁), så er ligningen for den vinkelrette linje,

(og – og₁) / (x – x₁) = b/a

og – og₁= (b/a) × (x – x₁)

er – er₁= bx – bx₁

– bx + er + (bx₁– er₁) = 0 {lad bx₁– er₁= d}

Den nødvendige ligning af linjen er således,

– bx + ay + d = 0

Hvordan tegner man vinkelrette linjer?

Vi kan nemt konstruere parret af den vinkelrette linje ved at bruge vinkelmåleren og kompasset.

Tegn vinkelrette linjer ved hjælp af vinkelmåler

For at tegne et par vinkelrette linjer skal du følge de trin, der er beskrevet nedenfor,

Trin 1: Tegn først en vandret linje AB på papiret ved hjælp af en lineal.

Trin 2: Marker ethvert punkt P på linje AB, hvorfra vi skal tegne den vinkelrette linje.

Trin 3: Placer beskytteren på linjen og match beskyttelsens midtpunkt med punktet P på linjen.

Trin 4: Marker 90 graders vinkel ved hjælp af beskytteren.

Trin 5: Forbind linjen ved hjælp af en lineal med 90 graders vinkel for at få et par vinkelrette linjer.

Tegn vinkelret linje ved hjælp af kompas

Følgende er trinene til at lave vinkelrette linjer ved hjælp af et kompas

Trin 1: Tegn en streg på papiret ved hjælp af en lineal

Trin 2: Tag et punkt på linjen og placer kompassets nål på den.

Trin 3: Tegn en bue (en halvcirkel) på den ene side af linjen.

Trin 4: Uden at ændre kompassets radius placeres nu nålen i den ene ende af halvcirklens diameter.

Trin 5: Triskær den halvcirkelformede bue ved at skære den to gange. Det første snit markerer 60° og det andet snit markerer 120°

Trin 6: Der er en forskel på 60° mellem første og andet snit. Halver dette mellemrum ved hjælp af kompasset uden at ændre dets radius.

Trin 7: Forbind nu halveringspunktet af 60 og 120 med det punkt, der oprindeligt blev antaget for at tegne den halvcirkelformede bue.

Trin 8: Den således tegnede linje er vinkelret på den oprindelige linje.

Eksempler på vinkelrette linjer

Vinkelrette linjer er de linjer, der altid møder hinanden i 90 grader. Vi ser forskellige eksempler på parallelle linjer i det virkelige liv, nogle af dem er,

• Hjørnerne af rummene er vinkelrette på hinanden.
• Urets visere repræsenterer vinkelrette linjer ved klokken 3′.
• Bordets og skrivebordets hjørner repræsenterer de vinkelrette linjer.

Vinkelrette og parallelle linjer

Vinkelrette linjer er de linjer, der danner en vinkel på 90° med hinanden, hvor parallelle linjer er de linjer, der er parallelle med hinanden, det vil sige, at de er lige langt fra hinanden og aldrig skærer hinanden.

Bemærk: Parallelle linjer mødes på Infinity .

Hældning af parallelle og vinkelrette linjer

Hældningen af ​​parallelle linjer er ens, mens produktet af hældningen af ​​vinkelrette linjer er -1.

Ligninger af parallelle og vinkelrette linjer

Hvis to linjer er parallelle, er deres ligning af linjer,

• ax + by + c = 0 og ax + by + d = 0

Hvorimod ligningen for to vinkelrette er,

• ax + by + c = 0, og -bx + ax + d = 0

Hvad er parallelle linjer?

Parallelle linjer i geometri er defineret som de linjer, der ikke møder hinanden i 2-D-planet, dvs. de skærer aldrig hinanden i 2-D-planet. Afstanden mellem de to parallelle linjer er altid konstant. Billedet tilføjet nedenfor viser to par parallelle linjer.

Linjerne a, b og x og y er parallelle med hinanden.

Forskellen mellem parallelle linjer og vinkelrette linjer

Parallelle linjer vs vinkelrette linjer er diskuteret i tabellen nedenfor.

vinkelret linje ligning

Standarden en linjes ligning er ax + by + c = 0 og linjen vinkelret på den givne linje er givet ved hjælp af,

-bx + ay + d = 0

hvor, d er den konstante værdi, og dens værdi findes ved at bruge den anden angivne betingelse.

Vinkelret linjehældning

Antag, at vi får en linje, hvis ligning har formen y = mx + c og dens hældning er m, så er hældningen af ​​linjen vinkelret på den givne linje,

Hældning af vinkelret linje = -1/m

Hvis nu hældningen af ​​to linjer er m₁og m₂så er forholdet mellem disse to skråninger, m ₁ m ₂ = -1

Læs mere,

• Parallelle linier
• Tværgående linjer
• Egenskaber ved parallelle linjer

Eksempler på vinkelrette linjer

Eksempel 1: Er linjerne 3x + 2y + 5 = 0 og 2x – 3y + 8 = 0 vinkelrette?

Løsning:

Hældningen af ​​linjen akse + ved + c = 0 er -a/b

• Hældningen af ​​linjen 3x + 2y + 5 = 0 er m₁= – 3/2.
• Hældningen af ​​linjen 2x – 3y + 8 = 0 er m₂= -2 / (-3) = 2 / 3

Vi ved, at linjer er vinkelrette, hvis deres skråninger har tilstanden.

m₁× m₂= -1

Nu fra ovenstående betingelse,

= (- 3 / 2) × (2 / 3)

= -1

Produktet af skråningerne er -1 og linjerne er således vinkelrette.

Eksempel 2: Find linjen vinkelret på linjen x + 2y + 5 = 0 og gå gennem punktet (2, 5).

Løsning:

Vi ved, at ligningen for en linje vinkelret på linjen ax + by + c = 0 er – bx + ay + d = 0.

Den givne linieligning er x + 2y + 5 = 0

Ved at sammenligne linjen x + 2y + 5 = 0 med ax + by + c = 0 får vi,

• a = 1
• b = 2
• c = 5

Således er ligningen for enhver linje vinkelret på denne linje – 2x + y + d = 0...(i)

Givet, denne linje går gennem (2, 5),

Således at sætte (2, 5) i denne ligning af den vinkelrette linje

-2 × 2 + 5 + d = 0

⇒ d = -1

Ved at erstatte værdien af ​​d i eq(i), får vi

-2x + y + (-1) = 0

Således er ligningen for den vinkelrette linie -2x + y – 1 = 0

Eksempel 3: Find hældningen af ​​linjen vinkelret på linjen 3x + 9y + 7 = 0.

Løsning:

givet,

Linjens ligning er 3x + 9y + 7 = 0

Hældningen af ​​denne linje = -a/b = – 3 / 9 = – 1 / 3

Lad hældning af ine vinkelret på ovenstående linje er m

Brug nu formlen med vinkelret linje

m × (- 1 / 3) = – 1

⇒ m = 3

Således er hældningen af ​​linjen vinkelret på den givne linje 3.

Eksempel 4: Find vinklen på en linje vinkelret på linjen x + y + 3 = 0.

Løsning:

Givet linje,

x + y + 3 = 0

Hældning af given linje = -a/b = – 1 / 1 = – 1

Lad os, hældning af linjen vinkelret på ovenstående linje er m

Fra vinkelret linjeformel,

m × -1 = – 1

⇒ m = 1

Linjens vinkel vinkelret på den givne linje er θ, så

m = tan θ

⇒ tan θ = 1

⇒ θ = tan^-1(1) = 45°

Derfor er vinklen lavet af vinkelret linje med X-aksen 45°.

Vinkelrette øvelsesproblemer

Q1. Find vinklen på en linje vinkelret på linjen 3x + 9y – 11 = 0.

Q2. Hvis en linje går gennem punkterne (11, –4) og (–1, 8), og en anden linje går gennem punkterne (8, 3) og (–1, -3). Kontroller, om disse linjer er parallelle eller vinkelrette.

Q3. Find ligningen for den linje, der er vinkelret på 5x − 7y = 5 og går gennem punktet (-1, 8).

Q4. Find ligningen for linjen, der går gennem (2, 3) og vinkelret på x-aksen.

Vinkelrette linjer – ofte stillede spørgsmål

Hvad er de vinkelrette linjer?

Hvis to skærende linjer skærer hinanden i rette vinkler, det vil sige i 90 grader, kaldes disse to linjer vinkelrette linjer.

Hvad er parallelle og vinkelrette linjer?

Parallelle linjer er de linjer, der ikke møder hinanden i 2-D-planet. Afstanden mellem to parallelle linjer er altid konstant. Hvorimod hvis to linjer møder hinanden i 90 grader, kaldes disse linjer vinkelrette linjer.

Er skærende linjer altid vinkelrette?

Nej, ikke alle skærende linjer er altid vinkelrette, de kan være eller ikke være vinkelrette. De skærende linjer kan mødes i forskellige vinkler.

Hvad er betingelsen for hældning af vinkelrette linjer?

Antag, at hældningen af ​​to linjer er m₁og m₂så er tilstanden for skråningerne af to vinkelrette linjer, m ₁ .m ₂ = -1

Hvor mange vinkelrette linjer kan tegnes til en linje?

Vi kan tegne et hvilket som helst antal vinkelrette linjer til en linje, dvs. vi kan have uendelige vinkelrette linjer til enhver linje.

Hvornår er to linjer vinkelrette?

To linjer er vinkelrette, hvis de skærer 90°, dvs. vinkelrette linjer skærer altid i den rette vinkel.

Hvad er en vinkelret trekant?

En trekant, der har en vinkel lig med 90°, kaldes den vinkelrette trekant. Det kaldes også den retvinklede trekant.

Hvad er nogle vinkelrette former?

Nogle former, der kaldes de vinkelrette former, er de former, der har mindst en vinkelret i sig. Forskellige eksempler på de vinkelrette former er kvadratisk, rektangel, retvinklet trekant

Hvad er vinkelrette vinkler?

De vinkler, der er lig med 90°, kaldes vinkelrette vinkler. Det andet navn på de vinkelrette vinkler er rette vinkler.

Hvad er det vinkelrette symbol?

Symbolet eller tegnet, der repræsenterer vinkelret, er, ⟂. Vi bruger dette symbol til at vise, om to linjer er vinkelrette. Såsom hvis det er skrevet A⟂B, hvor A og B er to linjer, så er linje A vinkelret på linje B og omvendt.

Hvordan identificerer du, hvilke linjer der er vinkelrette?

Hvis vinklen mellem to linjer er 90°. Så kan vi sige, at disse to linjer er vinkelrette. Hvis hældningen af ​​de to linjer er angivet som, m₁, m₂så bruger vi den vinkelrette linje formlen til at finde ud af, om de er vinkelrette eller ej. Den vinkelrette linjeformel er m₁.m₂= -1

Hvordan finder man hældningen af ​​de vinkelrette linjer?

Hældningen af ​​de vinkelrette linjer kan let beregnes ved hjælp af hældningsformlen. Antag, at vi får en linje, så konverterer vi den først i standardformen og bruger derefter hældningsformlen til at finde hældningen. Hældningsformlen er, m = -b/a, hvor a er koefficienten af ​​x og b er koefficienten af ​​y.