En periode er defineret som tidsintervallet mellem to tidspunkter, og en periodisk funktion er defineret som en funktion, der gentager sig selv med regelmæssige intervaller eller perioder i tid. Med andre ord er en periodisk funktion en funktion, hvis værdier går igen efter et bestemt tidsinterval. En periodisk funktion er repræsenteret som f(x + p) = f(x), hvor p er perioden for funktionen. Sinusbølge, trekantet bølge, firkantbølge og savtandsbølge er nogle eksempler på periodiske funktioner. Nedenfor er grafer over nogle periodiske funktioner, og vi kan observere, at hver periodisk funktions graf har translationssymmetri.

En funktions grundlæggende periode

En periodisk funktions domæne omfatter alle reelle talværdier, mens dens område er angivet for et fast interval. En periodisk funktion er en, hvor der findes et positivt reelt tal P, således at f (x + p) = f (x), for alle x er reelle tal. Grundperioden for en funktion er den mindste værdi af det positive reelle tal P eller den periode, hvor en funktion gentager sig selv.

f(x + P) = f(x)

hvor,

P er perioden for funktionen og f er den periodiske funktion.

Hvordan bestemmer man en funktions periode?

1. En periodisk funktion er defineret som en funktion, der gentager sig selv med jævne mellemrum eller perioder.
2. Det er repræsenteret som f(x + p) = f(x), hvor p er perioden for funktionen, p ∈ R.
3. Periode betyder tidsintervallet mellem de to forekomster af bølgen.

Perioder med trigonometriske funktioner

Trigonometriske funktioner er periodiske funktioner, og perioden for trigonometriske funktioner er som følger

by i uas

• Perioden for Sin x og Cos x er 2 s .

dvs. sin(x + 2π) = sin x og cos(x + 2π) = cos x

• Perioden for Tan x og Cot x er Pi.

dvs. tan(x + π) = tan x og cot(x + π) = cot x

• Perioden for Sec x og Cosec x er 2 s.

dvs. sek(x + 2π) = sek x og cosec(x + 2π) = cosec x

Funktionens periode omtales som afstanden mellem gentagelserne af enhver funktion. Perioden for en trigonometrisk funktion er længden af ​​en komplet cyklus. Amplitude er defineret som den maksimale forskydning af en partikel i en bølge fra ligevægt. Med enkle ord er det afstanden mellem det højeste eller laveste punkt og det midterste punkt på grafen for en funktion. I trigonometri er der tre grundlæggende funktioner, nemlig sin, cos og tan, hvis perioder er henholdsvis 2π, 2π og π perioder. Udgangspunktet for grafen for enhver trigonometrisk funktion tages som x = 0.

For eksempel, hvis vi observerer cosinusgrafen nedenfor, kan vi se, at afstanden mellem to forekomster er 2π, dvs. cosinusfunktionens periode er 2π. Dens amplitude er 1.

Cosinus graf

Periodiske formler

• Hvis p er perioden for den periodiske funktion f (x), så er 1/f (x) også en periodisk funktion og vil have den samme fundamentale periode af p som f(x).

Hvis f (x + p) = f (x),

F (x) = 1/f (x) , derefter F (x + p) = F (x).

• Hvis p er perioden for den periodiske funktion f(x), så er f (ax + b), a>0 også en periodisk funktion med en periode på p/|a|.

• Perioden for Sin (ax + b) og Cos (ax + b) er 2π/|a|.
• Perioden for Tan (ax + b) og Cot (ax + b) er π/|a|.
• Perioden for Sec (ax + b) og Cosec (ax + b) er 2π/|a|.

• Hvis p er perioden for den periodiske funktion f(x), så er af(x) + b, a>0 også en periodisk funktion med en periode på p.

• Perioden for [a Sin x + b] og [a Cos x + b] er 2π.
• Perioden for [a Tan x + b] og [a Cot x + b] er π.
• Perioden for [a Sec x + b] og [a Cosec x + b] er 2π.

Øv opgaver baseret på periodisk funktion

Opgave 1: Bestem perioden for den periodiske funktion cos(5x + 4).

Løsning:

powershell kommentar multiline

Givet funktion: cos (5x + 4)

Koefficienten for x = a = 5.

Vi ved det,

Perioden for cos x er 2π.

Så perioden for cos(5x + 4) er 2π/ |a| = 2π/5.

Derfor er perioden for cos(5x + 4) 2π/5.

Opgave 2: Find perioden af ​​f(x) = barneseng 4x + sin 3x/2.

Løsning:

Givet periodisk funktion: f(x) = barneseng 4x + sin 3x/2

Vi ved det,

Perioden for cot x er π og perioden for sin x er 2π.

Så perioden for barneseng 4x er π/4.

Så perioden for synd 3x/2 er 2π/(3/2) = 4π/3.

java åbner en fil

Nu er beregningen af ​​perioden for funktionen f(x) = cot 4x + sin 3x/2,

Periode af f(x) = (LCM af π og 4π)/(HCF af 3 og 4) = 4π/1 = 4π.

Derfor er perioden for barneseng 4x + sin 3x/2 4π.

Opgave 3: Tegn grafen for y = 3 sin 3x+ 5.

Løsning:

Givet at y = 3 sin 3x + 5

Den givne bølge er i form af y = a sin bx + c

Fra ovenstående graf kan vi skrive følgende:

1. Periode = 2π/|b| = 2π/3
2. Akse: y = 0 [x-akse]
3. Amplitude: 3
4. Maksimal værdi = (3 × 1) + 5 = 8
5. Minimumværdi = (3 × -1) + 5 = 2
6. Domæne: { x : x ∈ R }
7. Interval = [ 8, 2]

Opgave 4: Bestem perioden for den givne periodiske funktion 5 sin(2x + 3).

Løsning:

10 af 40

Givet funktion: 5 sin(2x + 3)

Koefficienten for x = a = 2.

Vi ved det,

Perioden for cos x er 2π.

Så perioden for 5 sin(2x + 3) er 2π/ |a| = 2π/2 = π.

Derfor er perioden på 5 sin(2x + 3) π.

Opgave 5: Find perioden af ​​f (x) = tan 3x + cos 5x.

Løsning:

Givet periodisk funktion: f(x) =tan 3x + cos 6x.

Vi ved det,

Perioden for tan x er π og perioden for cos x er 2π.

java lang til int

Så perioden for tan 3x er π/3.

Så perioden for cos 6x er 2π/5.

Nu er beregningen af ​​perioden for funktionen f(x) = tan 3x + cos 6x,

Periode af f(x) = (LCM af π og 2π)/(HCF af 3 og 5) = 2π/1 = 2π.

Derfor er perioden for f (x) = tan 3x + cos 5x 2π.