logo

TechCodeview

Pascals trekant

Pascals trekant er et numerisk mønster arrangeret i en trekantet form. Denne trekant giver koefficienterne for udvidelsen af ​​ethvert binomial udtryk, med tal organiseret på en måde, så de danner en trekantet form. dvs. den anden række i Pascals trekant repræsenterer koefficienterne i (x+y)2og så videre.

I Pascals trekant er hvert tal summen af ​​de to ovenstående tal. Pascals trekant har forskellige anvendelser inden for sandsynlighedsteori, kombinatorik, algebra og forskellige andre grene af matematik.



Lad os lære mere om Pascals trekant, dens konstruktion og forskellige mønstre i Pascals trekant i detaljer i denne artikel.

Indholdsfortegnelse

Hvad er Pascals trekant?

Det er opkaldt efter den berømte filosof og matematiker Balise 'Pascal', der udviklede et mønster af tal, der starter med 1, og tallene nedenunder er summeringen af ​​ovenstående tal. Skriv først tallet 1 ned for at begynde at lave Pascals trekant. Den anden række skrives ned med to 1-ere igen. Andre rækker genereres ved at bruge de foregående rækker til at lave en trekant af tal. Hver række begynder og slutter med en 1.



En grundlæggende struktur af Pascal trekanten er vist på billedet tilføjet nedenfor,

Hvad er Pascals trekant?

Vi definerer Pascal-trekanten som det grundlæggende sæt af tal, der er arrangeret i et trekantet array, således at hvert element i Pascals trekant er summen af ​​de to tal over det. Pascals trekant starter med 1, og dette blev først foreslået af den berømte franske matematiker Balise Pascal og fik derfor navnet Pascals trekant.

Denne trekant repræsenterer koefficienterne for den binomiale udvidelse for forskellige potenser. (vi skal sikre os, at potensen i binomialudvidelsen kun er et naturligt tal, så repræsenterer kun Pascals trekant koefficienterne i binomialudvidelsen).



Pascals trekant definition

Pascals trekant er en trekantet række af tal, hvor hvert tal er summen af ​​de to direkte over det.

Pascals trekantkonstruktion

Vi kan nemt konstruere Pad=scal'ens trekant ved blot at tilføje de to tal i ovenstående række for at få det næste tal i rækken nedenfor. Vi kan antage at den nulte række starter med et enkelt element 1 og så er elementet i anden række 1 1 som dannes ved at lægge 1+0 og 1+0 sammen. Tilsvarende er elementerne i den anden række, 1 2 1 2, som dannes ved at lægge sammen, 1+0, 1+1 og 1+0, og dermed opnås elementerne i den tredje række. Udvider dette koncept til den n'te række, får vi en Pascals trekant med n+1 rækker.

Pascals trekant op til 3. række er vist på billedet nedenfor,

Fra ovenstående figur kan vi let observere, at det første og det sidste element i hver række er 1.

Pascals trekantformel

Pascal Trekantformel er den formel, der bruges til at finde det tal, der skal udfyldes i mth kolonne og n. række. Som vi ved, at vilkårene i Pascals trekant er summeringen af ​​vilkårene i ovenstående række. Så vi kræver elementerne i (n-1) række og (m-1) og nte kolonner for at få det nødvendige tal i den mth kolonne og den n. række.

Læs i detaljer: Pascals trekantformel

Elementerne i den n. række i Pascals trekant er givet,nC0,nC1,nC2, …,nCn.

Formlen til at finde ethvert tal i Pascals trekant er:

n Cm = n-1 C m-1 + n-1 C m

Hvor,

  • n C m repræsenterer det (m+1)te element i den n'te række., og
  • n er et ikke-negativt heltal [0 ≤ m ≤ n]

Vi kan forstå denne formel ved at bruge eksemplet diskuteret nedenfor,

Eksempel: Find det tredje element i den tredje række af Pascals trekant.

Løsning:

Vi skal finde det 3. element i 3. række i Pascals trekant.

Pascal trekantformel er,

nCk=n-1Ck-1+n-1Ck

hvornCkrepræsentere (k+1)thelement i nthrække.

Således er 3. element i 3. række,

3C2=2C1+2C2

⇒3C2= 2 + 1

⇒3C2= 3

Således er det tredje element i den tredje række af Pascals trekant 3.

Pascals trekant binomiale udvidelse

Vi kan nemt finde koefficienten af binomial ekspansion ved hjælp af Pascals trekant. Elementerne i (n+1) række i Pascal trekanten repræsenterer koefficienten for det udvidede udtryk for polynomiet (x + y)n.

Vi ved, at udvidelsen af ​​(x + y)ner,

(x + y)n= a0xn+ a1xn-1og + a2xn-2og2+ … + an-1xyn-1+ anogn

Her, en0, a1, a2, a3, …., enner udtrykket i (n+1) række i Pascals trekant

Se f.eks. udvidelsen af ​​(x+y)4

(x + y)4=4C0x4+4C1x3og +4C2x2og2+4C3xy3+4C4x0og4

⇒ (x + y)4= (1)x4+ (4)x3y + (6)x2og2+ (4)xy3+ (1)y4

Her er koefficienterne 1, 4, 6, 4 og 1 elementerne i den fjerde række af Pascals trekant

Hvordan bruger man Pascals trekant?

Vi bruger Pascal trekanten til at finde de forskellige tilfælde af de mulige udfald i sandsynlighedsforhold. Dette kan forstås ved det følgende eksempel, hvor man kaster en mønt én gang, får vi to udfald, dvs. H og T dette er repræsenteret af elementet i den første række af Pascals trekant.

Ved at kaste en mønt to gange får vi tre resultater, dvs. {H, H}, {H, T}, {T, H} og {T, T}, denne betingelse er repræsenteret af elementet i den anden række af Pascals trekant.

Således kan vi nemt fortælle det mulige antal udfald ved at kaste et mønteksperiment ved blot at observere de respektive elementer i Pascal-trekanten.

Tabellen nedenfor fortæller os om tilfældene, hvis en mønt kastes én gang, to gange, tre gange og fire gange, og dens overensstemmelse med Pascals trekant

Antal kast
ELLER
Række af Pascals trekant

Mulige resultater

Elementer i Pascals trekant

1

{H},

{T}

elleve

2

{HH},

{HT}, {TH} ,

{TT}

1 2 1

3

{HHH},

{HHT}, {HTH}, {THH}

{HTT}, {THT}, {TTH},

{TTT}

1 3 3 1

4

{HHHH},

{HHHT}, {HHTH}, {HTHH}, {THHH},

{HHTT}, {HTHT}, {HTTH}, {THHT}, {THTH}, {TTHH},

{HTTT}, {THTT}, {TTHT}, {TTTH},

{TTTT}

1 4 6 4 1

Pascals trekantmønstre

Vi observerer forskellige mønstre i Pascals trekant, de er:

  • Tilføjelse af rækker
  • Primtal i trekant
  • Diagonaler i Pascals trekant
  • Fibonacci mønster

Tilføjelse af rækker

Ved tæt observation af Pascals trekant kan vi konkludere, at summen af ​​enhver række i Pascals trekant er lig med en potens af 2. Formlen for det samme er, For enhver (n+1)thrække i Pascals trekant er summen af ​​alle elementer 2n

Ved at anvende denne formel i de første 4 rækker af Pascals trekant får vi,

1 = 1 = 20

1 + 1 = 2 = 21

1 + 2 + 1 = 4 = 22

1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 23

Primtal i Pascals trekant

Et andet meget interessant mønster i Pascals trekanten er, at hvis en række starter med et primtal (forsømmer 1 i starten af ​​hver række), så er alle elementerne i den række delelige med det primtal. Dette mønster gælder ikke for de sammensatte tal.

For eksempel er den ottende række i Pascal trekanten,

1 7 21 35 35 21 7 1

Her er alle elementer delelige med 7.

For rækker, der starter med sammensatte tal, såsom den femte række,

1 4 6 4 1

Mønsteret holder ikke, da 4 ikke deler 6.

Diagonaler i Pascals trekant

Hver højregående diagonal i Pascals trekant repræsenterer, når den betragtes som en sekvens, de forskellige tal, såsom den første højregående diagonal repræsenterer en sekvens med nummer 1, den anden højregående diagonal repræsenterer trekantede tal, den tredje højregående diagonal repræsenterer de tetraedriske tal, den fjerde højregående diagonal repræsenterer Penelope-tallene og så videre.

Fibonacci-sekvens i Pascals trekant

Vi kan nemt få Fibonacci-sekvensen ved blot at tilføje tallene i diagonalerne i Pascals trekant. Dette mønster er vist på billedet tilføjet nedenfor,

Pascals trekantegenskaber

Forskellige egenskaber ved Pascals trekant er,

  • Hvert tal i Pascal trekanten er summen af ​​tallet over det.
  • Start- og sluttallet i Pascals trekant er altid 1.
  • Den første diagonal i Pascals trekant repræsenterer det naturlige tal eller tælletal.
  • Summen af ​​elementer i hver række i Pascals trekant er givet ved hjælp af en potens af 2.
  • Elementer i hver række er cifrene i potensen 11.
  • Pascal trekanten er en symmetrisk trekant.
  • Elementerne i enhver række af Pascals trekant kan bruges til at repræsentere koefficienterne for binomial udvidelse.
  • Langs diagonalen af ​​Pascals trekant observerer vi Fibonacci-tallene.
  • Binomialsætning
  • Binomiale tilfældige variable og binomial fordeling

Pascals trekanteksempler

Eksempel 1: Find femte række af Pascals trekant.

Løsning:

Pascal trekanten med 5 rækker er vist på billedet nedenfor,

Eksempel 2: Udvid med Pascal Trekant (a + b) 2 .

Løsning:

Skriv først de generiske udtryk uden koefficienterne.

(a + b)2= c0-en2b0+ c1-en1b1+ c2-en0b2

Lad os nu bygge en Pascals trekant til 3 rækker for at finde ud af koefficienterne.

Værdierne i den sidste række giver os værdien af ​​koefficienter.

c0= 1, c1= 2, c2=1

(a + b)2= a2b0+ 2a1b1+ a0b2

Således verificeret.

Eksempel 3: Udvid med Pascal Trekant (a + b) 6 .

Løsning:

java navngivningskonventioner

Skriv først de generiske udtryk uden koefficienterne.

(a + b)6= c0-en6b0+ c1-en5b1+ c2-en4b2+ c3-en3b3+ c4-en2b4+ c5-en1b5+ c6-en0b6

Lad os nu bygge en Pascals trekant til 7 rækker for at finde ud af koefficienterne.

Værdierne i den sidste række giver os værdien af ​​koefficienter.

c0= 1, c1= 6, c2= 15, c3= 20, c4=15, c5= 6 og c6= 1.

(a + b)6= 1a6b0+ 6a5b1+ 15a4b2+ 20a3b3+ 15a2b4+ 6a1b5+ 1a0b6

Eksempel 4: Find det andet element i den tredje række af Pascals trekant.

Løsning:

Vi skal finde det 2. element i 3. række af Pascals trekant.

Vi ved, at den n. række i Pascals trekant ernC0,nC1,nC2,nC3…

Pascal trekantformlen er,

nCk=n-1Ck-1+n-1Ck

hvornCkrepræsentere (k+1)thelement i nthrække.

Således er 2. element i 3. række,

3C1=2C0+2C1

= 1 + 2

= 3

Således er det andet element i den tredje række af Pascals trekant 3.

Eksempel 5: En mønt kastes fire gange, find sandsynligheden for at få præcis 2 haler.

Løsning:

Ved at bruge Pascal Triangle Formula,

Samlet antal udfald = 24= 16 (1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16)

Her får vi fire tilfælde, hvor vi får 2 haler,

Dermed,

Sandsynlighed for at få to haler = gunstigt resultat/samlet resultat

= 4/16 = 1/4

Så sandsynligheden for at få præcis to haler er 1/4 eller 25 %

Resumé – Pascals trekant

Pascals trekant er et trekantet arrangement af tal, hvor hvert tal er summen af ​​de to tal direkte over det. Opkaldt efter matematikeren Blaise Pascal starter denne trekant med et enkelt 1 øverst, og hver række begynder og slutter med 1. Tallene i Pascals Trekant svarer til koefficienterne i binomialudvidelsen, hvilket gør den nyttig i algebra, sandsynlighed og kombinatorik. Mønstre i trekanten inkluderer summer af rækker, der er 2 potenser, forbindelser til Fibonacci-sekvensen og tilstedeværelsen af ​​primtal. Pascals trekant er også nyttig til at beregne kombinationer og forstå resultater i sandsynlighedseksperimenter, såsom møntkast.

Ofte stillede spørgsmål om Pascals trekant

Hvad er Pascals trekant?

Trekantrækken af ​​tallet foreslået af den berømte matematiker Balise Pascal kaldes Pascals trekant. Denne trekant begynder med 1 og i næste linje er start- og sluttallene fastsat til 1, hvorefter det midterste tal genereres ved at tage summen af ​​de to ovenstående tal.

Hvad er brugen af ​​Pascals trekant?

Pascals trekanter har forskellige anvendelser,

  • Det bruges til at finde den binomiale koefficient for den binomiale udvidelse.
  • Det giver en alternativ måde at udvide de binomiale termer på.
  • Det bruges i algebra, sandsynlighedsteori, permutation og kombination og andre grene af matematik.

Hvad er brugen af ​​Pascals trekant i binomial udvidelse?

Vi bruger Pascals trekant til nemt at finde koefficienten for ethvert led i den binomiale udvidelse. Enhver række af Pascals trekant (f.eks. n.) repræsenterer koefficienten for den binomiale udvidelse af (x+y)n. For eksempel er den anden række i Pascals trekant 1 2 1 og udvidelsen af ​​(x+y)2

(x+y)2= x2+ 2xy + y2

Her er koefficienten for hvert led 1 2 1, som ligner 2. række i Pascals trekant.

Hvad er de forskellige mønstre, der findes i Pascals trekant?

Forskellige mønstre, som vi nemt fandt i Pascals trekant er:

  • Trekantet mønster
  • Ulige og jævnt mønster
  • Fibonacci mønster
  • Symmetrisk mønster

Hvad er 5thRække af Pascals trekant?

Den femte række af Pascals trekant er repræsenteret nedenfor,

1 5 10 10 5 1

Vi ved, at summen af ​​alle elementerne i en række er givet ved hjælp af 2nhvor n repræsenterer antallet af rækker. Således er summen af ​​alle led i 5. række,

25= 32

Hvad er det første element i hver række i Pascals trekant?

Det første element i hver række i Pascals trekant er 1. Vi kalder dette led for rækkens 0. led.