Antag, at der er to sammensatte udsagn, X og Y, som vil blive kendt som logisk ækvivalens, hvis og kun hvis sandhedstabellen for dem begge indeholder de samme sandhedsværdier i deres kolonner. Ved hjælp af symbol = eller ⇔ kan vi repræsentere den logiske ækvivalens. Så X = Y eller X ⇔ Y vil være den logiske ækvivalens af disse udsagn.
Ved hjælp af den logiske ækvivalensdefinition har vi klart, at hvis de sammensatte udsagn X og Y er logisk ækvivalens, skal X ⇔ Y i dette tilfælde være Tautologi.
Love for logisk ækvivalens
I denne lov vil vi bruge symbolerne 'OG' og 'ELLER' til at forklare loven om logisk ækvivalens. Her er AND angivet ved hjælp af ∧ symbolet og OR er angivet ved hjælp af ∨ symbolet. Der er forskellige love for logisk ækvivalens, som er beskrevet som følger:
Idempotent lov:
I den idempotente lov bruger vi kun et enkelt udsagn. Ifølge denne lov, hvis vi kombinerer to ens udsagn med symbolet ∧(og) og ∨(eller), så vil den resulterende udsagn være selve udsagnet. Antag, at der er et sammensat udsagn P. Følgende notation bruges til at angive den idempotente lov:
P ∨ P ? P P ∧ P ? P
Sandhedstabellen for denne lov er beskrevet som følger:
| P | P | P ∨ P | P ∧ P |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| F | F | F | F |
Denne tabel indeholder de samme sandhedsværdier i kolonnerne P, P ∨ P og P ∧ P.
Derfor kan vi sige, at P ∨ P = P og P ∧ P = P.
Kommutative love:
De to udsagn bruges til at vise den kommutative lov. Ifølge denne lov, hvis vi kombinerer to udsagn med symbolet ∧(og) eller ∨(eller), så vil den resulterende udsagn være den samme, selvom vi ændrer udsagns placering. Antag, at der er to udsagn, P og Q. Forslaget til disse udsagn vil være falsk, når begge udsagn P og Q er falske. I alle de andre tilfælde vil det være sandt. Følgende notation bruges til at angive den kommutative lov:
forskel på is og sne
P ∨ Q ? Q ∨ P P ∧ Q ? Q ∧ P
Sandhedstabellen for disse notationer er beskrevet som følger:
| P | Q | P ∨ Q | Q ∨ P |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| T | F | T | T |
| F | T | T | T |
| F | F | F | F |
Denne tabel indeholder de samme sandhedsværdier i kolonnerne P ∨ Q og Q ∨ P.
Derfor kan vi sige, at P ∨ Q ? Q ∨ P.
Samme som vi kan bevise P ∧ Q ? Q ∧ P.
Associativ ret:
De tre udsagn bruges til at vise den associative lov. Ifølge denne lov, hvis vi kombinerer tre udsagn ved hjælp af parenteser med symbolet ∧(og) eller ∨(or), så vil den resulterende sætning være den samme, selvom vi ændrer rækkefølgen af parenteser. Det betyder, at denne lov er uafhængig af gruppering eller forening. Antag, at der er tre udsagn P, Q og R. Forslaget til disse udsagn vil være falsk, når P, Q og R er falske. I alle de andre tilfælde vil det være sandt. Følgende notation bruges til at angive den associative lov:
P ∨ (Q ∨ R) ? (P ∨ Q) ∨ R P ∧ (Q ∧ R) ? (P ∧ Q) ∧ R
Sandhedstabellen for disse notationer er beskrevet som følger:
| P | Q | R | P ∨ Q | Q ∨ R | (P ∨ Q) ∨ R | P ∨ (Q ∨ R) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | T | T | T | T |
| T | F | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | T | T |
| F | T | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | T | T | T |
| F | F | T | F | T | T | T |
| F | F | F | F | F | F | F |
Denne tabel indeholder de samme sandhedsværdier i kolonnerne P ∨ (Q ∨ R) og (P ∨ Q) ∨ R.
Derfor kan vi sige, at P ∨ (Q ∨ R) ? (P ∨ Q) ∨ R.
Samme som vi kan bevise P ∧ (Q ∧ R) ? (P ∧ Q) ∧ R
Fordelingslov:
De tre udsagn bruges til at vise fordelingsloven. I henhold til denne lov, hvis vi kombinerer et udsagn med ∨(ELLER)-symbolet med de to andre udsagn, som er forbundet med symbolet ∧(AND), så vil den resulterende udsagn være den samme, selvom vi hver for sig kombinerer udsagn med symbolet ∨(ELLER) og kombinere de sammenføjede udsagn med ∧(AND). Antag, at der er tre udsagn P, Q og R. Følgende notation bruges til at angive den distributive lov:
P ∨ (Q ∧ R) ? (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
mvc java
P ∧ (Q ∨ R) ? (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
Sandhedstabellen for disse notationer er beskrevet som følger:
| P | Q | R | Q ∧ R | P∨(Q ∧R) | P ∨ Q | P ∨ R | (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) |
| T | T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | F | T | T | T | T |
| T | F | T | F | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T | T | T | T |
| F | T | T | T | T | T | T | T |
| F | T | F | F | F | T | F | F |
| F | F | T | F | F | F | T | F |
| F | F | F | F | F | F | F | F |
Denne tabel indeholder de samme sandhedsværdier i kolonnerne P ∨ (Q ∧ R) og (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R).
Derfor kan vi sige, at P ∨ (Q ∧ R) = (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
Samme som vi kan bevise P ∧ (Q ∨ R) ? (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
Identitetslov:
Et enkelt udsagn bruges til at vise identitetsloven. Ifølge denne lov, hvis vi kombinerer et udsagn og en Sand værdi med symbolet ∨(eller), så vil det generere den Sande værdi. Hvis vi kombinerer et udsagn og en falsk værdi med symbolet ∧(og), vil det generere selve udsagnet. På samme måde vil vi gøre dette med de modsatte symboler. Det betyder, at hvis vi kombinerer et udsagn og en sand værdi med symbolet ∧(og), så vil det generere selve udsagnet, og hvis vi kombinerer et udsagn og en falsk værdi med symbolet ∨(eller), så vil det generere Falsk værdi. Antag, at der er en sammensat sætning P, en sand værdi T og en falsk værdi F. Følgende notation bruges til at angive identitetsloven:
P ∨ T ? T and P ∨ F ? P P ∧ T ? P and P ∧ F ? F
Sandhedstabellen for disse notationer er beskrevet som følger:
| P | T | F | P ∨ T | P ∨ F |
|---|---|---|---|---|
| T | T | F | T | T |
| F | T | F | T | F |
Denne tabel indeholder de samme sandhedsværdier i kolonnerne P ∨ T og T. Derfor kan vi sige, at P ∨ T = T. På samme måde indeholder denne tabel også de samme sandhedsværdier i kolonnerne P ∨ F og P. Derfor vi kan sige, at P ∨ F = P.
Samme som vi kan bevise P ∧ T ? P og P ∧ F ? F
Supplerende lov:
En enkelt erklæring bruges i komplementloven. Ifølge denne lov, hvis vi kombinerer et udsagn med dets komplementudsagn med symbolet ∨(eller), vil det generere den sande værdi, og hvis vi kombinerer disse udsagn med symbolet ∧(og), vil det generere falsk værdi. Hvis vi negerer en sand værdi, vil den generere en falsk værdi, og hvis vi negerer en falsk værdi, vil den generere den sande værdi.
Følgende notation bruges til at angive komplementloven:
P ∨ ¬P ? T and P ∧ ¬P ? F ¬T ? F and ¬F ? T
Sandhedstabellen for disse notationer er beskrevet som følger:
| P | ¬P | T | ¬T | F | ¬F | P ∨ ¬P | P ∧ ¬P |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | F | T | F | F | T | T | F |
| F | T | T | F | F | T | T | F |
Denne tabel indeholder de samme sandhedsværdier i kolonnerne P ∨ ¬P og T. Derfor kan vi sige, at P ∨ ¬P = T. På samme måde indeholder denne tabel også de samme sandhedsværdier i kolonnerne P ∧ ¬P og F. Derfor kan vi sige, at P ∧ ¬P = F.
Denne tabel indeholder de samme sandhedsværdier i kolonnerne ¬T og F. Derfor kan vi sige, at ¬T = F. På samme måde indeholder denne tabel de samme sandhedsværdier i kolonnerne ¬F og T. Derfor kan vi sige, at ¬F = T.
Double Negation Law eller Involution Law
Et enkelt udsagn bruges til at vise den dobbelte negationslov. Ifølge denne lov, hvis vi gør negationen af en negeret erklæring, så vil den resulterende erklæring være selve erklæringen. Antag, at der er et udsagn P og et negativt udsagn ¬P. Følgende notation bruges til at angive dobbeltnegationsloven:
¬(¬P) ? P
Sandhedstabellen for disse notationer er beskrevet som følger:
| P | ¬P | ¬(¬P) |
|---|---|---|
| T | F | T |
| F | T | F |
Denne tabel indeholder de samme sandhedsværdier i kolonnerne ¬(¬P) og P. Derfor kan vi sige, at ¬(¬P) = P.
Fra Morgans lov:
De to udsagn bruges til at vise De Morgans lov. Ifølge denne lov, hvis vi kombinerer to udsagn med symbolet ∧(AND) og derefter negationen af disse kombinerede udsagn, så vil den resulterende udsagn være den samme, selvom vi kombinerer negationen af begge udsagn separat med symbolet ∨( ELLER). Antag, at der er to sammensatte udsagn, P og Q. Følgende notation bruges til at angive De Morgans lov:
¬(P ∧ Q) ? ¬P ∨ ¬Q ¬(P ∨ Q) ? ¬P ∧ ¬Q
Sandhedstabellen for disse notationer er beskrevet som følger:
| P | Q | ¬P | ¬Q | P ∧ Q | ¬(P ∧ Q) | ¬ P ∨ ¬Q |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | F | F |
| T | F | F | T | F | T | T |
| F | T | T | F | F | T | T |
| F | F | T | T | F | T | T |
Denne tabel indeholder de samme sandhedsværdier i kolonnerne ¬(P ∧ Q) og ¬ P ∨ ¬Q. Derfor kan vi sige, at ¬(P ∧ Q) = ¬ P ∨ ¬Q.
prioritetskø c++
Samme som vi kan bevise ¬(P ∨ Q) ? ¬P ∧ ¬Q
Absorptionslov:
De to udsagn bruges til at vise absorptionsloven. I henhold til denne lov, hvis vi kombinerer et udsagn P med ∨(ELLER)-symbolet med det samme udsagn P og et andet udsagn Q, som er forbundet med symbolet ∧(AND), så vil det resulterende udsagn være det første udsagn P. Det samme resultat vil blive genereret, hvis vi udveksler symbolerne. Antag, at der er to sammensatte udsagn, P og Q. Følgende notation bruges til at angive Absorptionsloven:
P ∨ (P ∧ Q) ? P P ∧ (P ∨ Q) ? P
Sandhedstabellen for disse notationer er beskrevet som følger:
| P | Q | P ∧ Q | P ∨ Q | P ∨ (P ∧ Q) | P ∧ (P ∨ Q) |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | T | T |
| F | T | F | T | F | F |
| F | F | F | F | F | F |
Denne tabel indeholder de samme sandhedsværdier i kolonnerne P ∨ (P ∧ Q) og P. Derfor kan vi sige, at P ∨ (P ∧ Q) ? P.
På samme måde indeholder denne tabel også de samme sandhedsværdier i kolonnerne P ∧ (P ∨ Q) og P. Derfor kan vi sige, at P ∧ (P ∨ Q) ? P.
Eksempler på logisk ækvivalens
Der er forskellige eksempler på logisk ækvivalens. Nogle af dem er beskrevet som følger:
Eksempel 1: I dette eksempel vil vi etablere ækvivalensegenskaben for en erklæring, som er beskrevet som følger:
p → q ? ¬p ∨ q
konverter streng til int
Løsning:
Vi vil bevise dette ved hjælp af en sandhedstabel, som er beskrevet som følger:
| P | Q | ¬s | p → q | ¬p ∨ q |
| T | T | F | T | T |
| T | F | F | F | F |
| F | T | T | T | T |
| F | F | T | T | T |
Denne tabel indeholder de samme sandhedsværdier i kolonnerne p → q og ¬p ∨ q. Derfor kan vi sige, at p → q ? ¬p ∨ q.
Eksempel 2: I dette eksempel vil vi etablere ækvivalensegenskaben for en erklæring, som er beskrevet som følger:
P ↔ Q ? ( P → Q ) ∧ ( Q → P )
Løsning:
| P | Q | P → Q | Q → P | P ↔ Q | ( P → Q ) ∧ ( Q → P ) |
| T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | F |
| F | T | T | F | F | F |
| F | F | T | T | T | T |
Denne tabel indeholder de samme sandhedsværdier i kolonnerne P ↔ Q og (P → Q) ∧ (Q → P). Derfor kan vi sige, at P ↔ Q ? (P → Q) ∧ (Q → P).
Eksempel 3: I dette eksempel vil vi bruge den tilsvarende egenskab til at bevise følgende udsagn:
p ↔ q ? ( p ∧ q ) ∨ ( ¬ p ∧ ¬q )
Løsning:
For at bevise dette vil vi bruge nogle af de ovenfor beskrevne love, og fra denne lov har vi:
p ↔ q ? (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p) ...........(1)
Nu vil vi bruge den kommutative lov i ovenstående ligning og få følgende:
? (p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q)
Nu vil vi bruge den fordelende lov i denne ligning og få følgende:
? (¬ p ∧ (p ∨ ¬q)) ∨ (q ∧ (p ∨ ¬q))
Nu vil vi bruge distributiv lov i denne ligning og få følgende:
? (p ∧ p) ∨ (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ p) ∨ (q ∧ ¬q)
Nu vil vi bruge komplementloven i denne ligning og få følgende:
? F ∨ (¬p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ p) ∨ F
Nu vil vi bruge identitetsloven og få følgende:
syreegenskaber i dbms
? (¬ p ∧ ¬ q) ∨ (q ∧ p)
Nu vil vi bruge den kommutative lov i denne ligning og få følgende:
? (p ∧ q) ∨ (¬ p ¬q)
Endelig bliver ligning (1) følgende:
p ↔ q ? (p ∧ q) ∨ (¬ p ¬q)
Endelig kan vi sige, at ligningen (1) bliver p ↔ q ? (p ∧ q) ∨ (¬ p ∧ ¬q)