En implikationserklæring kan repræsenteres i formen 'hvis...så'. Symbolet ⇒ bruges til at vise implikationen. Antag, at der er to udsagn, P og Q. I dette tilfælde kan udsagnet 'hvis P så Q' også skrives som P ⇒ Q eller P → Q, og det vil blive læst som 'P betyder Q'. I denne implikation er udsagnet P en hypotese, som også er kendt som præmis og antecedent, og udsagnet Q er konklusion, som også er kendt som konsekvensen.
Implikationen spiller også en vigtig rolle i det logiske argument. Hvis implikationen af udsagnene vides at være sande, så skal konklusionen også være sand, når forudsætningen er opfyldt. På grund af denne grund er implikationen også kendt som den betingede erklæring.
Nogle eksempler på implikationer er beskrevet som følger:
freddie mercury
- 'Hvis vejret i GOA er solrigt, så tager vi til stranden'.
- 'Hvis klubben har et rabatsystem, så går vi til den klub'.
- 'Hvis det er solskin, mens du går på stranden, så bliver vi solbrændte'.
Den logiske implikation kan udtrykkes på forskellige måder, som beskrives som følger:
- Hvis p så q
- Hvis p, q
- q når s
- Q kun hvis P
- q medmindre ~p
- q hver gang s
- p er en tilstrækkelig betingelse for q
- q følg s
- p betyder q
- En nødvendig betingelse for p er q
- q hvis s
- q er nødvendig for p
- p er en nødvendig betingelse for q
Nu vil vi beskrive eksemplerne på alle de ovenfor beskrevne implikationer ved hjælp af præmis P og konklusion Q. Til dette vil vi antage, at P = Det er solrigt, og Q = Jeg vil gå til stranden.
P ⇒ Q
- HVIS det er solskin SÅ tager jeg til stranden
- HVIS det er solskin, tager jeg til stranden
- Jeg tager til stranden NÅR det er solskin
- Jeg tager KUN til stranden, HVIS det er solskin
- Jeg tager til stranden, MEDMINDRE det ikke er solskin
- Jeg vil gå til stranden NÅR det er solskin
- Det er solrigt ER EN TILSTRÆKKELIG BETINGELSE FOR, at jeg tager til stranden
- Jeg vil gå til stranden, FØLG det er solskin
- Det er solrigt BETYDER, at jeg vil gå til stranden
- EN NØDVENDIGT BETINGELSE FOR, at det er solskin, er, at jeg tager til stranden
- Jeg tager til stranden, HVIS det er solskin
- Jeg vil gå til stranden ER NØDVENDIG FOR det er solskin
- Det er solskin ER EN NØDVENDIGT BETINGELSE FOR, at jeg skal på stranden
Når der er en betinget sætning 'hvis p så q', så vil denne sætning P ⇒ Q være falsk, når præmisser p er sande, og konklusion q er falsk. I alle de andre tilfælde betyder det, at når p er falsk eller Q er sand, vil udsagnet P ⇒ Q være sandt. Vi kan repræsentere dette udsagn ved hjælp af en sandhedstabel, hvor det falske vil blive repræsenteret af F og sandt vil blive repræsenteret af T. Sandhedstabellen for udsagnet 'hvis P så Q' er beskrevet som følger:
| P | Q | P ⇒ q |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
Det er ikke nødvendigt, at præmisserne og konklusionen er relateret til hinanden. På grundlag af formuleringen af P og Q er fortolkningen af sandhedstabellen afhængig.
For eksempel:
- Hvis Jack er lavet af plastik, så er havet grønt.
- Udsagnet: Jack er lavet af plastik
- Udsagnet: Havet er grønt
Ovenstående to udsagn giver ingen mening, fordi Jack er et menneske, og han kan aldrig være lavet af plastik, og en anden udtalelse, Ocean er grønt, vil aldrig ske, fordi havet altid er blåt, og havets farve kan ikke ændres. Som vi kan se, at begge udsagn ikke er relateret til hinanden. På den anden side er sandhedstabellen for udsagnet P ⇒ Q gyldig. Det er altså ikke et spørgsmål om, hvorvidt sandhedstabellen er korrekt eller ej, men det er et spørgsmål om fantasi og fortolkning.
Så i P ⇒ Q har vi ikke brug for nogen form for forbindelse mellem præmissen og følgen. På grundlag af den sande værdi af P og Q afhænger betydningen af disse kun.
Disse udsagn vil også være falske, selvom vi betragter begge udsagn for vores verden, så
False ⇒ False
Så når vi ser på ovenstående sandhedstabel, ser vi, at når P er falsk og Q er falsk, så er P ⇒ Q sand.
Så hvis donkraften er lavet af plastik, vil havet være grønt.
Præmiss p og konklusion q vil dog være forbundne, og begge udsagn giver mening.
Tvetydighed
Der kan være en tvetydighed i den underforståede operatør. Så når vi bruger imply-operatoren (⇒), på dette tidspunkt, skal vi bruge parentesen.
For eksempel: I dette eksempel har vi et tvetydigt udsagn P ⇒ Q ⇒ R. Nu har vi to tvetydige udsagn ((P ⇒ Q) ⇒ R) eller (P ⇒ (Q ⇒ R)), og vi skal vise, om disse udsagn er ens eller ej.
Løsning: Vi vil bevise dette ved hjælp af en sandhedstabel, som er beskrevet som følger:
| P | Q | R | (P ⇒ Q) | (Q ⇒ R) | P ⇒ (Q ⇒ R) | (P ⇒ Q) ⇒ R |
|---|---|---|---|---|---|---|
| F | F | F | T | T | T | F |
| F | F | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | F | T | F |
| F | T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T | T | T |
| T | F | T | F | T | T | T |
| T | T | F | T | F | F | F |
| T | T | T | T | T | T | T |
I ovenstående sandhedstabel kan vi se, at sandhedstabellen for P ⇒ (Q ⇒ R) og (P ⇒ Q) ⇒ R ikke ligner hinanden. Derfor vil de begge generere forskellige output eller resultater.
Mere om Implikation
Nogle flere eksempler på implikationer er beskrevet som følger:
- Hvis det er solskin, så går jeg i skole.
- Hvis jeg får et godt job, så tjener jeg penge.
- Hvis jeg får gode karakterer, så bliver mine forældre glade.
I alle ovenstående eksempler bliver vi forvirrede, fordi vi ikke ved, hvornår en implikation vil blive betragtet som sand, og hvornår den vil blive betragtet som falsk. For at løse dette problem og forstå begrebet implikation vil vi bruge et hypotetisk eksempel. I dette eksempel vil vi antage, at Marry vil spille badminton med sin kæreste Jack, og hans kæreste Jack ønsker at motivere Marry en lille smule, så han lokker hende med en udtalelse:
'If you win then I will buy a ring for you'
Gennem denne erklæring mener Jack, at hvis gift vinder, så vil han selvfølgelig købe en ring. Gennem denne erklæring forpligter Jack sig kun, når Marry vinder. Han forpligtede sig i hvert fald ikke til noget, da Mary slap. Så i slutningen af kampen kan der kun være fire muligheder, som er beskrevet som følger:
- Gift vinder - køb en ring.
- Gift vinder - køb ingen ring.
- Gift taber - køb en ring.
- Gift taber - køb ingen ring.
Jack kom dog ikke med nogen udtalelse relateret til regel (B). Han nævnte heller ikke regel nummer (C) og (D) i sit udsagn, så hvis Marry løs, så er det helt op til Jack at købe en ring til hende eller ej. Faktisk kan udsagn (A), (C) og (D) ske som resultatet af den udsagn, som Jack siger til Marry, men (B) vil ikke være resultatet. Hvis udfald (B) indtræffer, vil Jack først blive fanget i en løgn. I alle de tre andre tilfælde, dvs. (A), (C) og (D), vil han have talt sandt.
Nu vil vi bruge det mere simple udsagn, så vi symbolsk kan definere Jacks udsagn sådan:
P: you win Q: I will buy a ring for you
I denne implikation bruger vi det logiske symbol ⇒, som kan læses som 'antyder'. Vi vil danne Jack's Compound-erklæringen ved hjælp af at sætte denne pil fra P til Q sådan her:
P ⇒ Q: If you win, then I will buy a ring for you.
Som konklusion har vi observeret, at implikationen kun vil være falsk, når P er sand og q er falsk. Ifølge denne udtalelse vinder Marry spillet, men desværre køber Jack ikke en ring. I alle de andre tilfælde/udfald vil udsagnet være sandt. I overensstemmelse hermed er sandhedstabellen for implikation beskrevet som følger:
| P | Q | P ⇒ Q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
Listen over tilsvarende logiske ligninger for implikationen er beskrevet som følger:
T → T = T T → F = F F → T = T F → F = T
Eksempler på implikationer:
Der er forskellige eksempler på implikationer, og nogle af dem er beskrevet som følger:
Eksempel 1: Antag, at der er fire udsagn, P, Q, R og S hvor
P: Jack er i skole
Q: Jack underviser
R: Jack sover
S: Jack er syg
Nu vil vi beskrive nogle symbolske udsagn, som er involveret i disse simple udsagn.
- P → R
- S → ~P
- ~Q → (S ∧ R)
- (P ∨ R) → ~Q
- (~R ∧ ~S) → (Q ∨ ~P)
Her skal vi vise gengivelsen af fortolkningen af disse symbolske udsagn i ord.
Løsning:
| P → R | Hvis Jack går i skole, så underviser Jack. |
| S → ~P | Hvis Jack er syg, så går han ikke i skole. |
| ~Q → (S ∧ R) | Hvis Jack ikke underviser, så er han syg og sover. |
| (P ∨ R) → ~Q | Hvis Jack er i skole eller sover, så underviser han ikke. |
| (~R ∧ ~S) → (Q ∨ ~P) | Hvis Jack ikke sover og ikke er syg, så underviser han eller ikke i skolen. |
Eksempel 2: I dette eksempel har vi en implikation P → Q. Her har vi også yderligere tre sammensatte udsagn, der naturligt er forbundet med denne implikation, der er kontrapositiv, omvendt og omvendt af implikationen. Relationen mellem alle disse fire udsagn er beskrevet ved hjælp af en tabel, som beskrives som følger:
| Implikation | P → Q |
| Samtale | Q → P |
| Omvendt | ~P → ~Q |
| Kontrapositivt | ~Q → ~P |
Nu vil vi overveje et eksempel på implikation, som har udsagnet: 'Hvis du studerer godt, får du gode karakterer'. Dette udsagn har formen P → Q, hvor
P: du studerer godt
Q: Du får gode karakterer
Nu vil vi bruge P- og Q-sætningerne og vise de fire associerede udsagn som dette:
Implikation: Hvis du studerer godt, får du gode karakterer.
Omvendt: Får du gode karakterer, studerer du godt.
Omvendt: Hvis du ikke studerer godt, får du ikke gode karakterer.
Kontrapositiv: Hvis du ikke får gode karakterer, studerer du ikke godt.
Sandhedsværdierne for alle ovenstående associerede udsagn er beskrevet ved hjælp af en sandhedstabel, som beskrives som følger
| P | Q | ~P | ~Q | P → Q | Q → P | ~P → ~Q | ~Q → ~P |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | T | T | F |
| F | T | T | F | T | F | F | T |
| F | F | T | T | T | T | T | T |
I ovenstående tabel kan vi se, at implikationen (P → Q) og dens kontrapositive (~Q → ~P) har samme værdi i deres kolonner. Det betyder, at de begge er ækvivalente. Så vi kan sige:
P → Q = ~Q → ~P
På samme måde kan vi se, at omvendt og omvendt begge har lignende værdier i deres kolonner. Men dette vil ikke gøre nogen forskel, fordi det omvendte er det modsatte af det omvendte. På samme måde kan den oprindelige implikation komme fra det kontrapositive af det kontrapositive. (Det betyder, at hvis vi negerer P og Q og derefter skifter pilens retning, og derefter vil vi igen gentage processen, det betyder at negere ~P og ~Q, og igen skifter pilens retning, i dette tilfælde vil vi få tilbage hvor vi startede).