I denne artikel vil vi studere om Fourier-transformationsanalysen eller Fourier-transformationen i kredsløbsanalyse. Fourier-transformationen er grundlæggende en matematisk operation, der dekomponerer et signal i dets konstituerende frekvenskomponenter. Med enkle ord konverterer den et signal fra tidsdomænet til frekvensdomænet. Tidsdomænet vil repræsentere signalet som en funktion af tiden, mens frekvensdomænet repræsenterer signalet som en funktion af frekvensen.

Fourier transformation

Fourier-transformationen er et fantastisk kraftfuldt værktøj til at analysere adfærden af ​​forskellige slags kredsløb, da det giver os mulighed for at se, hvordan kredsløbet reagerer ved forskellige frekvenser. Dette er nyttigt til forskellige slags opgaver, såsom:

• Analyse af et kredsløbs respons på vilkårlige indgangssignaler: Dette kan nemt bruges til at designe kredsløb, der kan håndtere et stort udvalg af inputsignaler, såsom lydsignaler eller videosignaler.
• Identifikation af resonansfrekvenserne for et kredsløb: Resonansfrekvenser er de frekvenser, hvor et kredsløb vil forstærke signalerne. Denne information kan bruges til at designe de kredsløb, der skal fungere ved bestemte frekvenser, såsom filtre eller oscillatorer.
• Design af filtre til at fjerne uønskede frekvenskomponenter fra et signal: Filtre kan for det meste bruges til at fjerne støj eller interferens fra et signal eller til at udtrække specifikke frekvenskomponenter fra et bestemt signal.
• Forstå stabiliteten af ​​et kredsløb: Et stabilt kredsløb er et, der simpelthen ikke vil oscillere eller divergere. Fourier-transformationen kan bruges til at analysere stabiliteten af ​​et kredsløb ved blot at se på kredsløbets frekvensgang.

Fourier-transformationen bruges også på mange andre områder, herunder signalbehandling, billedbehandling og kvantemekanik.

I denne artikel vil vi diskutere følgende emner, der er relateret til Fourier-transformationen i kredsløbsanalyse:

• Typer af Fourier-transformationer
• Fourier-transformationens egenskaber
• Anvendelser af Fourier-transformationen i kredsløbsanalyse

Vi vil også diskutere eksemplerne samt illustrationer for at hjælpe med at forstå begreberne på en ordentlig måde.

Forstå evolutionens årsag

Fourier-transformationen blev først udviklet af den kendte franske matematiker Jean-Baptiste Joseph Fourier i begyndelsen af ​​det 19. århundrede. Han var dybt interesseret i at løse ligningen for varmeledning, som er en partiel differentialligning. Fourier indså, at han kunne løse ligningen ved blot at dekomponere den indledende temperaturfordeling i dens konstituerende sinus- og cosinusbølger.

Fourier-transformationen er siden blevet anvendt på en lang række problemer inden for fysik og teknik, som omfatter kredsløbsanalyse. I kredsløbsanalysen kan Fourier-transformation bruges til at analysere et kredsløbs respons på vilkårlige indgangssignaler.

Virkninger af Fourier-transformation

Fourier-transformationen har en lang række vigtige effekter på kredsløbsanalyse. I det første giver det os mulighed for at analysere et kredsløbs respons på vilkårlige inputsignaler. For det andet giver det os mulighed for at identificere resonansfrekvenserne for et kredsløb. Efter det i tredje giver det os mulighed for at designe filtre, der bruges til at fjerne uønskede frekvenskomponenter fra et signal.

Fourier Transform Formel

Fourier-transformationen af ​​et signal x(t) er angivet med X(f) og er defineret som følger:

X(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) e^{-j2pi ft} dt>

Her er f frekvensen i parameter for Hertz.

Den anvendte notation i Fourier-transformationsformlen er:

• x(t) er et tidsdomænesignal.
• X(f) er frekvensdomænesignalet.
• j er en imaginær enhed.
• e −j2πft er en kompleks eksponentiel funktion.

Typer af Fourier-transformation

Der er hovedsageligt to typer Fourier-transformationer:

• Kontinuerlig Fourier-transformation (CFT)
• Diskret Fourier-transformation (DFT) .

Kontinuerlig Fourier Transform (CFT)

CFT er defineret for kontinuerlige tidssignaler, som grundlæggende er signaler, der kan antage enhver værdi til enhver tid.

Den kontinuerlige Fourier-transformation (CFT) af et signal x(t) kan defineres som følger:

X(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) e^{-j2pi ft} dt>

hvor f er frekvensen i Hertz.

Notation, der bruges i CFT-formlen er:

• x(t) er tidsdomænesignalet.
• X(f) er frekvensdomænesignalet.
• j er den imaginære enhed.
• e −j2πft er den komplekse eksponentielle funktion.

Afledning af CFT

CFT kan let udledes fra Fourier-serien af ​​et periodisk signal. Fourierrækken af ​​et periodisk signal x(t) med periode T er givet ved:

x(t) = sum_{n=-infty}^{infty} c_n e^{j2pi nfrac{t}{T}}>

Her Cn er Fourier-koefficienterne for signalet.

CFT kan opnås ved blot at tage grænsen for Fourier-serien, når perioden T nærmer sig uendeligheden. I denne grænse bliver Fourier-koefficienterne til en kontinuerlig frekvensfunktion, og Fourier-serien bliver til CFT.

Diskret Fourier-transformation (DFT)

DFT er defineret for diskrete-tidssignaler, som er signaler, der kun kan antage bestemte værdier på bestemte bestemte tidspunkter.

Den diskrete Fourier-transformation (DFT) af et tidsdiskret signal x[n] kan defineres som følger:

X[k] = sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2pi kn/N}>

Her er k frekvensindekset, og N er længden af ​​det bestemte signalsignal.

Notation, der bruges i DFT-formlen er:

abs c kode

• x[n] er det diskrete tidssignal.
• X[k] er frekvensdomænesignalet.
• j er den imaginære enhed.
• e −j2πkn/N
• er den komplekse eksponentielle funktion.

Afledning af DFT

I enkle vendinger er CFT grundlæggende defineret for kontinuerlige tidssignaler , mens DFT er defineret til tidsdiskrete signaler . DFT'en bruges mest den type Fourier-transformation i kredsløbsanalyse, som de fleste elektroniske kredsløb, der opererer på diskrete-tidssignaler.

DFT for et tidsdiskret signal x[n] er angivet med X[k] og er defineret som følger:

X[k] = sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2pi kn/N}>

Her er k frekvensindekset, og N er længden af ​​signalet.

DFT kan udledes fra CFT ved blot at sample CFT ved diskrete frekvenser:

X[k] = X(f = k/N)>

Eksempler på Fourier-transformation med diagram

Lad os overveje følgende eksempel på kredsløb:

Simpelt RC-kredsløb

Her er input til kredsløbet en firkantbølge, og outputtet er en filtreret firkantbølge. Hvor Fourier-transformationen af ​​input-firkantbølgen er en serie af impulser ved de harmoniske frekvenser. Fourier-transformationen af ​​udgangsfirkantbølgen er en serie af dæmpede impulser ved de harmoniske frekvenser.

Her er følgende diagram, der viser Fourier-transformationerne af input- og outputsignalerne:

Fourier Transform Input Output

Ejendomme

Fourier-transformationen har en række vigtige egenskaber, herunder:

• Fourier-transformationen af ​​et rigtigt signal er konjugatsymmetrisk.
• Fourier-transformationen af ​​en lineær kombination af signaler er en lineær kombination af Fourier-transformationerne af de individuelle signaler.
• Fourier-transformationen af ​​et tidsforskudt signal er et frekvensforskudt signal.
• Fourier-transformationen af ​​et frekvensforskudt signal er et tidsforskudt signal.

Egenskaber

Fourier-transformationen af ​​et signal har følgende egenskaber:

• Størrelsen af ​​Fourier-transformationen af ​​et signal vil repræsentere amplituden af ​​signalets frekvenskomponenter.
• Fasen af ​​Fourier-transformationen af ​​et signal vil repræsentere fasen af ​​signalets frekvenskomponenter.

Ansøgninger

Fourier-transformationen har et stort antal anvendelser inden for kredsløbsanalyse, der inkluderer:

• Analyse af et kredsløbs givne respons på vilkårlige indgangssignaler.
• Identifikation af et kredsløbs resonansfrekvenser.
• Design af filtre til at fjerne de uønskede frekvenskomponenter fra et signal.

Fordele og ulemper

Nogle af fordelene og ulemperne ved Fourier Transform er-

kernesprog i java

Fordele:

• Fourier-transformationen er et yderst kraftfuldt værktøj til at analysere et kredsløbs frekvensrespons.
• Den kan bruges til at designe filtre til at fjerne uønskede frekvenskomponenter fra et signal.

Ulemper:

• Fourier-transformationen kan også være meget mere kompleks at forstå og bruge.
• Fourier-transformationen kan være beregningsmæssigt dyrere at beregne.

Forskellen mellem Laplace Transform og Fourier Transform

Grundlæggende ligner Fourier-transformationen for det meste Laplace-transformationen, men der er et par vigtige forskelle. Ved at Fourier-transformationen er defineret for kontinuert-tidssignaler, betyder det, mens Laplace-transformationen er defineret for både kontinuert-tids- og diskrete-tidssignaler. Derudover er Fourier-transformationen ikke velegnet til at analysere transiente signaler, mens Laplace-transformationen er nyttig i den.

Fremadgående og omvendt Fourier-transformation

Forward Fourier-transformationen kan konvertere et signal fra tidsdomænet til frekvensdomænet. Den inverse Fourier-transformation skal konvertere et signal fra frekvensdomænet til tidsdomænet.

Den inverse Fourier-transformation er defineret som følger:

x(t) = int_{-infty}^{infty} X(f) e^{j2pi ft} df>

Forward sinus transformation og Fourier cosinus transformation

Den fremadrettede sinustransformation og den fremadrettede cosinustransformation er grundlæggende to varianter af Fouriertransformationen. Forlæns sinustransformation er defineret som følger:

S(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) sin(2pi ft) dt>

Den fremadrettede cosinustransformation er defineret som følger:

C(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) cos(2pi ft) dt>

Forlæns sinustransformation og fremadgående cosinustransformation er meget nyttige til at analysere signaler med henholdsvis lige og ulige symmetri.

Konklusion

Overordnet set er Fourier-transformationen et meget væsentligt værktøj til kredsløb til analyse. Det giver os tilladelse til at forstå, hvordan kredsløb reagerer på forskellige frekvenser, hvilket er mere vigtigt for at designe og analysere elektroniske kredsløb. Fourier-transformationen har en anden form for applikationer i kredsløbsanalyse, herunder analyse af et kredsløbs respons på vilkårlige inputsignaler, identifikation af resonansfrekvenserne for et givet kredsløb, design af filtre til at fjerne uønskede frekvenskomponenter fra signalet og forståelse af stabiliteten af et kredsløb.

Fourier-transformationen bruges også på mange andre områder, som inkluderer signalbehandling, billedbehandling og kvantemekanik. Det er et meget alsidigt og kraftfuldt værktøj med bred vifte af anvendelser.

Her er nogle yderligere opmærksomme tanker om vigtigheden af ​​Fourier-transformationen i kredsløbsanalyse:

dobbelt linket liste

• Fourier-transformationen giver os simpelthen mulighed for at analysere lineære og ikke-lineære kredsløb.
• Fourier-transformationen kan bruges til at analysere forskellige slags kredsløb i tidsdomænet eller frekvensdomænet.
• Fourier-transformationen kan bruges til analysekredsløb med flere input og output.
• Fourier-transformationen kan bruges til at analysere kredsløb med feedback-sløjferne.

Fourier-transformationen er et kraftfuldt værktøj, der kan bruges til at analysere en lang række kredsløbsproblemer. Det er et vigtigt værktøj for enhver kredsløbsingeniør.

Ofte stillede spørgsmål

1. Hvad er forskellen mellem Fourier-transformationen og Laplace-transformationen?

Laplace-brug til både CFT og DFT, men ikke Fourier-transformation

2. Hvorfor er Fourier-transformationen vigtig i kredsløbsanalyse?

Fourier-transformationen er vigtigere i kredsløbsanalyse, bare fordi den giver os mulighed for at analysere kredsløbs frekvensrespons. Frekvensresponsen

3. Hvad er nogle anvendelser af Fourier-transformationen i kredsløbsanalyse?

Fourier-transformationen kan bruges til en række forskellige opgaver i kredsløbsanalyse, såsom:

Analyse af et kredsløbs respons på vilkårlige indgangssignaler.

Identifikation af et kredsløbs resonansfrekvenser.

Design af filtre til at fjerne uønskede frekvenskomponenter fra et signal.

Forstå stabiliteten af ​​et kredsløb.