Antag, at der er to formler, X og Y. Disse formler vil blive kendt som ækvivalens, hvis X ↔ Y er en tautologi. Hvis to formler X ↔ Y er en tautologi, så kan vi også skrive det som X ⇔ Y, og vi kan læse denne relation som X er ækvivalens til Y.

Bemærk: Der er nogle punkter, som vi bør huske på, mens formlens lineære ækvivalens er beskrevet som følger:

• ⇔ bruges kun til at angive symbol, men det er ikke forbindende.
• Sandhedsværdien af ​​X og Y vil altid være ens, hvis X ↔ Y er en tautologi.
• Ækvivalensrelationen indeholder to egenskaber, nemlig symmetrisk og transitiv.

Metode 1: Sandhedstabelmetode:

I denne metode vil vi konstruere sandhedstabellerne for enhver to-sætningsformel og derefter kontrollere, om disse udsagn er ækvivalente.

Eksempel 1: I dette eksempel skal vi bevise X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y).

Løsning: Sandhedstabellen for X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y) er beskrevet som følger:

Som vi kan se, er X ∨ Y og ¬(¬X ∧ ¬Y) en tautologi. Derfor X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y).

Eksempel 2: I dette eksempel skal vi bevise (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y).

Løsning: Sandhedstabellen for (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y) er beskrevet som følger:

Som vi kan se, er X → Y og (¬X ∨ Y) en tautologi. Derfor (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y)

Ækvivalensformel:

Der er forskellige love, der bruges til at bevise ækvivalensformlen, som er beskrevet som følger:

Idempotent lov: Hvis der er én udsagnsformel, vil den indeholde følgende egenskaber:

 X ∨ X ⇔ X X ∧ X ⇔ X 

Associativ ret: Hvis der er tre udsagnsformler, vil det indeholde følgende egenskaber:

 (X ∨ Y) ∨ Z ⇔ X ∨ (Y ∨ Z) (X ∧ Y) ∧ Z ⇔ X ∧ (Y ∧ Z) 

Kommutativ lov: Hvis der er to udsagnsformler, vil det indeholde følgende egenskaber:

 X ∨ Y ⇔ Y ∨ X X ∧ Y ⇔ Y ∧ X 

Fordelingslov: Hvis der er tre udsagnsformler, vil det indeholde følgende egenskaber:

ordbog initialisering c#

 X ∨ (Y ∧ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) X ∧ (Y ∨ Z) ⇔ (X ∧ Y) ∨ (X ∧ Z) 

Identitetslov: Hvis der er én udsagnsformel, vil den indeholde følgende egenskaber:

 (a) (i) X ∨ F ⇔ X (ii) X ∨ T ⇔ T (b) (i) X ∧ T ⇔ X (ii) X ∧ F ⇔ F 

Supplerende lov: Hvis der er én udsagnsformel, vil den indeholde følgende egenskaber:

 (a) (i) X ∨ ¬X ⇔ T (ii) X ∧ ¬X ⇔ F (b) (i) ¬(¬X) ⇔ X (ii) ¬T ⇔ F , ¬F ⇔ T 

Absorptionslov: Hvis der er to udsagnsformler, vil det indeholde følgende egenskaber:

 X ∨ (X ∧ Y) ⇔ X X ∧ (X ∨ Y) ⇔ X 

Fra Morgans lov: Hvis der er to udsagnsformler, vil det indeholde følgende egenskaber:

 ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y ¬(X ∧ Y) ⇔ ¬X ∨ ¬Y 

Metode 2: Udskiftningsproces

I denne metode vil vi antage en formel A : X → (Y → Z). Formlen Y → Z kan være kendt som en del af formlen. Hvis vi erstatter denne del af formlen, dvs. Y → Z, ved hjælp af ækvivalensformlen ¬Y ∨ Z i A, så får vi en anden formel, dvs. B : X → (¬Y ∨ Z). Det er en nem proces at verificere, om de givne formler A og B er ækvivalente med hinanden eller ej. Ved hjælp af udskiftningsproces kan vi få B fra A.

Eksempel 1: I dette eksempel skal vi bevise, at {X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z)} ⇔ (X ∧ Y) → Z.

Løsning: Her vil vi tage den venstre sidedel og forsøge at få den højre sidedel.

 X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z) [∵ Y → Z ⇔ ¬Y ∨ Z] ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ Z) [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Nu vil vi bruge den associative lov på denne måde:

 ⇔ (¬X ∨ ¬Y) ∨ Z 

Nu vil vi bruge De Morgans lov sådan her:

 ⇔ ¬(X ∧ Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ Y) → Z [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Derfor bevist

 {X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z)} ⇔ (X ∧ Y) → Z 

Eksempel 2: I dette eksempel skal vi bevise, at {(X → Y) ∧ (Z → Y)} ⇔ (X ∨ Z) ​​→ Y.

Løsning: Her vil vi tage den venstre sidedel og forsøge at få den højre sidedel.

 (X→ Y) ∧ (Z → Y) ⇔ (¬X ∨ Y) ∧ (¬Z ∨ Y) ⇔ (¬X ∧ ¬Z) ∨ Y ⇔ ¬(X ∨ Z) ∨ Y ⇔ X ∨ Z → Y 

Derfor bevist

{(X → Y) ∧ (Z → Y)} ⇔ (X ∨ Z) ​​→ Y

Eksempel 3: I dette eksempel skal vi bevise, at X → (Y → X) ⇔ ¬X → (X → Y).

Løsning: Her vil vi tage den venstre sidedel og forsøge at få den højre sidedel.

 X → (Y → X) ⇔ ¬X ∨ (Y → X) ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ X) ⇔ (¬X ∨ X) ∨ ¬Y ⇔ T ∨ ¬Y ⇔ T and ¬X → (X → Y) ⇔ ¬(¬X) ∨ (X → Y) ⇔ X ∨ (¬X ∨ Y) ⇔ (X ∨ ¬X) ∨ Y ⇔ T ∨ Y ⇔ T 

Derfor bevist

 X → (Y → X) ⇔ ¬X → (X → Y) 

Eksempel 4: I dette eksempel skal vi bevise, at (¬X ∧ (¬Y ∧ Z)) ∨ (Y ∧ Z) ∨ (X ∧ Z) ⇔ Z.

Løsning: Her vil vi tage den venstre sidedel og forsøge at få den højre sidedel.

 (¬X ∧ (¬Y ∧ Z)) ∨ (Y ∧ Z) ∨ (X ∧ Z) 

Nu vil vi bruge de associative og distribuerende love som denne:

 ⇔ ((¬X ∧ ¬Y) ∧ Z) ∨ ((Y ∨ X) ∧ Z) 

Nu vil vi bruge De Morgans lov sådan her:

 ⇔ (¬(X ∨ Y) ∧ Z) ∨ ((Y ∨ X) ∧ Z) 

Nu vil vi bruge fordelingsloven sådan her:

 ⇔ (¬(X ∨ Y) ∨ (X ∨ Y)) ∧ Z ⇔ T ∧ Z [∵ ¬X ∨ X ⇔ T ⇔ R 

Derfor bevist

 (¬P ∧ (¬Q ∧ R)) ∨ (Q ∧ R) ∨ (P ∧ R) ⇔ R 

Eksempel 5: I dette eksempel skal vi vise, at ((X ∨Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ∨ (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) er en tautologi.

Løsning: Her vil vi tage små dele og løse dem.

Først vil vi bruge De Morgans lov og få følgende:

 ¬X ∧ ¬Y ⇔ ¬(X ∨ Y) ¬X ∨ ¬Z ⇔ ¬(X ∧ Z) 

Derfor,

 (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) ⇔ ¬(X ∨ Y) ∨ ¬(X ∧ Z) ⇔ ¬((X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)) 

Også

python // operator

 ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z)) ⇔ ¬(¬X ∧ ¬(Y ∧ Z)) ⇔ X ∨ (Y ∧ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) 

Derfor

 ((X ∨ Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) 

Dermed

 ((X ∨ Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ∨ (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) ⇔ [(X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)] ∨ ¬[(X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)] [∵ ¬X ∨ X ⇔ T] ⇔ T 

Derfor kan vi sige, at den givne formel er en tautologi.

Eksempel 6: I dette eksempel skal vi vise, at (X ∧ Y) → (X ∨ Y) er en tautologi.

Løsning: (X ∧ Y) → (X ∨ Y)

 ⇔ ¬(X ∧ Y) ∨ (X ∨ Y) [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Nu vil vi bruge De Morgans lov sådan her:

 ⇔ (¬X ∨ ¬Y) ∨ (X ∨ Y) 

Nu vil vi bruge den associative lov og den kommutative lov på denne måde:

 ⇔ (¬X ∨ X) ∨ (¬Y ∨ Y) 

Nu vil vi bruge negationsloven sådan her:

 ⇔ (T ∨ T) ⇔ T 

Derfor kan vi sige, at den givne formel er en tautologi.

Eksempel 7: I dette eksempel skal vi skrive negationen af ​​nogle udsagn, som er beskrevet som følger:

1. Marry vil afslutte sin uddannelse eller acceptere tiltrædelsesbrevet fra XYZ Company.
2. Harry tager en tur eller løber i morgen.
3. Hvis jeg får gode karakterer, bliver min kusine jaloux.

Løsning: Først vil vi løse det første udsagn sådan:

1. Antag, at X: Gift vil fuldføre sin uddannelse.

Y: Accepter tiltrædelsesbrevet fra XYZ Company.

Vi kan bruge følgende symbolske form til at udtrykke denne erklæring:

 X ∨ Y 

Negationen af ​​X ∨ Y beskrives som følger:

 ¬(X ∨ Y) ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y 

Afslutningsvis vil negationen af ​​den givne erklæring være:

 ¬X ∧ ¬Y: Marry will not complete her education, and she will not accept the joining letter of XYZ Company. 

2. Antag, at X: Harry tager en tur

Y: Harry løber i morgen

Vi kan bruge følgende symbolske form til at udtrykke denne erklæring:

 X ∨ Y 

Negationen af ​​X ∨ Y beskrives som følger:

 ¬(X ∨ Y) ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y 

Afslutningsvis vil negationen af ​​den givne erklæring være:

 ¬X ∧ ¬Y: Harry will not go for a ride, and he will not run tomorrow 

3. Antag X: Hvis jeg får gode karakterer.

Y: Min kusine vil være jaloux.

Vi kan bruge følgende symbolske form til at udtrykke denne erklæring:

 X → Y 

Negationen af ​​X → Y er beskrevet som følger:

 ¬(X → Y) ¬(X → Y) ⇔ ¬(¬X ∨ Y) ⇔ X ∧ ¬Y. 

Afslutningsvis vil negationen af ​​den givne erklæring være:

 X ∧ ¬Y: I get good marks, and my cousin will not be jealous. 

Eksempel 8: I dette eksempel skal vi skrive negationen af ​​nogle udsagn ved hjælp af De Morgans lov. Disse udsagn er beskrevet som følger:

1. Jeg skal bruge et diamantsæt og en guldring værd.
2. Du får et godt job, eller du får ikke en god partner.
3. Jeg tager meget arbejde, og jeg kan ikke klare det.
4. Min hund tager på tur, eller den laver rod i huset.

Løsning: Negationen af ​​alle udsagn ved hjælp af De Morgans lov er beskrevet en efter en sådan:

1. Jeg har ikke brug for et diamantsæt eller ikke en guldring værd.
2. Du kan ikke få et godt job, og du får en god partner.
3. Jeg tager ikke meget arbejde, eller jeg kan klare det.
4. Min hund tager ikke på tur, og den roder ikke i huset.

Eksempel 9: I dette eksempel har vi nogle udsagn, og vi skal skrive negationen af ​​disse udsagn. Udtalelserne er beskrevet som følger:

1. Hvis det regner, så er planen om at tage til stranden aflyst.
2. Hvis jeg studerer hårdt, så får jeg gode karakterer på eksamen.
3. Hvis jeg går til en aftenfest, så får jeg straf af min far.
4. Hvis du ikke vil tale med mig, så skal du spærre mit nummer.

Løsning: Negationen af ​​alle udsagn er beskrevet en efter en sådan:

1. Hvis planen om at tage til stranden aflyses, så regner det.
2. Hvis jeg får gode karakterer på eksamen, så læser jeg hårdt.
3. Hvis jeg får en straf af min far, så tager jeg til en aftenfest.
4. Hvis du skal spærre mit nummer, så gider du ikke tale med mig.

Eksempel 10: I dette eksempel skal vi kontrollere, om (X → Y) → Z og X → (Y → Z) er logisk ækvivalente eller ej. Vi er nødt til at begrunde vores svar ved hjælp af sandhedstabeller og ved hjælp af logiske regler for at forenkle begge udtryk.

Løsning: Først vil vi bruge metode 1 til at kontrollere, om (X → Y) → Z og X → (Y → Z) er logisk ækvivalente, hvilket er beskrevet som følger:

vært linux

Metode 1: Her vil vi antage følgende:

 (X → Y) → Z ⇔ (¬X ∨ Y) → Z ⇔ ¬(¬X ∨ Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ ¬Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ Z) ∨ (¬Y ∧ Z) 

Og

 X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z) ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ Z) ⇔ ¬X ∨ ¬Y ∨ Z X → Y) → Z and X → (Y → Z) 

Metode 2: Nu vil vi bruge den anden metode. I denne metode vil vi bruge sandhedstabellen.

I denne sandhedstabel kan vi se, at kolonnerne (X → Y) → Z og X → (Y → Z) ikke indeholder identiske værdier.