Area Under Curve er areal omgivet af kurve og koordinatakserne, det beregnes ved at tage meget små rektangler og derefter tage deres sum, hvis vi tager uendeligt små rektangler, så beregnes deres sum ved at tage grænsen for den således dannede funktion.

For en given funktion f(x) defineret i intervallet [a, b] er arealet (A) under kurven for f(x) fra 'a' til 'b' givet af A = ∫ _-en ^b f(x)dx . Arealet under en kurve beregnes ved at tage den absolutte værdi af funktionen over intervallet [a, b], summeret over området.

I denne artikel vil vi lære om området under kurven, dets anvendelser, eksempler og andre i detaljer.

Indholdsfortegnelse

• Hvad er Area Under Curve?
• Beregning af arealet under kurven
• Brug af Reimann Sums
• Brug af bestemte integraler
• Tilnærmelsesvis areal under kurve
• Beregning af areal under kurve
• Formler for område under kurve

Hvad er Area Under Curve?

Area Under the Curve er areal omgivet af en hvilken som helst kurve med x-aksen og givne randbetingelser, dvs. arealet afgrænset af funktionen y = f(x), x-aksen og linjen x = a og x = b. I nogle tilfælde er der kun én eller ingen grænsebetingelse, da kurven skærer x-aksen henholdsvis en eller to gange.

Areal under kurven kan beregnes ved hjælp af forskellige metoder såsom Reimann sum, og Bestemt integral og vi kan også tilnærme arealet ved hjælp af de grundlæggende former, dvs. trekant, rektangel, trapez, osv.

Læs i detaljer: Regning i matematik

Beregning af arealet under kurven

For at beregne arealet under en kurve kan vi bruge følgende metoder som:

• Brug af Reimann Sums
• Brug af bestemte integraler
• Bruger Approksimation

Lad os studere disse metoder i detaljer som følger:

Brug af Reimann Sums

Reimann Summer beregnes ved at dividere en given funktions graf i mindre rektangler og summere arealerne af hvert rektangel. Jo flere rektangler vi overvejer ved at underinddele det angivne interval, jo mere præcist er arealet beregnet ved denne tilgang; ikke desto mindre, jo flere delintervaller vi overvejer, jo sværere bliver beregningerne.

Reimann Sum kan klassificeres i yderligere tre kategorier, såsom:

• Venstre Reimann Sum
• Ret Reimann Sum
• Midtpunkt Reimann Sum

Arealet ved hjælp af Reimann-summen er givet som følger:

old{Area = sum_{i=1}^{n}f(x_i)Delta x_i}

hvor,

• f(x _jeg ) er værdien af ​​den funktion, der integreres ved jeg ^th prøvepunkt
• Δx = (b-a)/n er bredden af ​​hvert delinterval,
  • -en og b er grænserne for integration og
  • n er antallet af delintervaller
• ∑ repræsenterer summen af ​​alle led fra i=1 til n,

Eksempel: Find arealet under kurven for funktion, f(x) = x ² mellem grænserne x = 0 og x = 2.

Løsning:

Vi ønsker at finde arealet under kurven for denne funktion mellem x = 0 og x = 2. Vi vil bruge en venstre Reimann Sum med n = 4 delintervaller til at tilnærme arealet.

Lad os beregne arealet under kurven ved hjælp af 4 underintervaller.

Således, bredde af underintervaller, Δx = (2-0)/4 = 0,5

Alle de 4 underintervaller er,

a = 0 = x_{0 1 2 3 4}= 2 = b

x₀= 0, x₁= 0,5, x₂= 1, x₃= 1,5, x₄= 2

Nu kan vi evaluere funktionen ved disse x-værdier for at finde højderne af hvert rektangel:

f(x₀) = (0)²= 0
f(x₁) = (0,5)²= 0,25
f(x₂) = (1)²= 1
f(x₃) = (1,5)²= 2,25
f(x₄) = (2)²= 4

Arealet under kurven kan nu tilnærmes ved at summere arealer af rektangler dannet af disse højder:

A ≈ Δx[f(x₀) + f(x₁) + f(x₂) + f(x₃)] = 0,5[0 + 0,25 + 1 + 2,25] = 1,25

Derfor er areal under kurven for f(x) = x²mellem x = 0 og x = 2, tilnærmet ved hjælp af en venstre Reimann Sum med 4 underintervaller, er ca. 1,25.

Brug af bestemte integraler

Definite Integral er næsten det samme som Reimann-summen, men her nærmer antallet af delintervaller sig uendeligt. Hvis funktionen er givet for interval [a, b], defineres et bestemt integral som:

int_{a}^{b} f(x) dx = lim_{n o infty}sum_{i=1}^{n}f(x_i)Delta x_i

Et bestemt integral giver det nøjagtige areal under kurven i modsætning til Reimann-summen. Det bestemte integral beregnes ved at finde funktionens antiderivative og evaluere den ved integrationens grænser.

Område med hensyn til X-aksen

Kurven vist på billedet nedenfor er repræsenteret ved hjælp af y = f(x). Vi skal beregne arealet under kurven i forhold til x-aksen. Grænseværdierne for kurven på x-aksen er henholdsvis a og b. Arealet A under denne kurve i forhold til x-aksen beregnes mellem punkterne x = a og x = b. Overvej følgende kurve:

Formel for areal under kurven w.r.t til x-aksen er givet af:

old{A = int_{a}^{b}y.dx}

sortering tuples python

old{A = int_{a}^{b}f(x)dx}

hvor,

• EN er Area Under Curve
• og eller f(x) er kurvens ligning
• en, og b er x-værdier eller integrationsgrænse, som vi skal beregne areal for

Område med hensyn til Y-akse

Kurven vist på billedet ovenfor er repræsenteret ved hjælp af x = f(y). Vi skal beregne arealet under kurven i forhold til Y-aksen. Grænseværdierne for kurven på Y-aksen er henholdsvis a og b. Arealet A under denne kurve i forhold til Y-aksen mellem punkterne y = a og y = b. Overvej følgende kurve:

Formel for areal under kurven w.r.t til y-aksen er givet af:

old{A = int_{a}^{b}x.dy}

old{A = int_{a}^{b}f(y)dy}

hvor,

• EN er Area Under Curve
• x eller f(y) er kurvens ligning
• a, b er y-intercepter

Lær mere, Område mellem to kurver

Tilnærmelsesvis areal under kurve

Tilnærmelse af arealet under kurven involverer brug af simple geometriske former, såsom rektangler eller trapezoider, til at estimere arealet under kurven. Denne metode er nyttig, når funktionen er svær at integrere, eller når det ikke er muligt at finde en antiderivat af funktionen. Nøjagtigheden af ​​tilnærmelsen afhænger af størrelsen og antallet af de anvendte former.

Beregning af areal under kurve

Vi kan nemt beregne arealet af de forskellige kurver ved hjælp af de begreber, der er diskuteret i den givne artikel. Lad os nu overveje nogle eksempler på beregning af areal under kurven for nogle almindelige kurver.

Område under kurve: parabel

Vi ved, at en standardparabel er opdelt i to symmetriske dele af enten x-aksen eller y-aksen. Antag, at vi tager en parabel y²= 4ax og derefter skal dens areal beregnes fra x = 0 til x = a. Og om nødvendigt fordobler vi dens areal for at finde parablens areal i begge kvadranten.

Beregning af areal,

og²= 4 aks

y = √(4ax)

A = 2∫₀^-eny.dx

A = 2∫₀^-en√(4ax).dx

A = 4√(a)∫₀^-en√(x).dx

A = 4√(a){2/3.a^3/2}

A = 8/3a²

Således er areal under parablen fra x = 0 til x = a 8/3a ² kvadratiske enheder

Område under kurve: Cirkel

En cirkel er en lukket kurve, hvis omkreds altid er i samme afstand fra dens centrum. Dens areal beregnes ved først at beregne arealet i den første kvadrant og derefter gange det med 4 for alle fire kvadranter.

Antag, at vi tager en cirkel x²+ og²= a²og så skal dens areal beregnes fra x = 0 til x = a i første kvadrant. Og om nødvendigt firdobler vi dens areal for at finde arealet af cirklen.

Beregning af areal,

x²+ og²= a²

y = √(a²- x²).dx

A = 4∫₀^-eny.dx

A = 4∫₀^-en√(a²- x²).dx

A = 4[x/2√(a²- x²) + a²/2 uden^-1(x/a)]^-en₀

A = 4[{(a/2).0 + a²/2.uden^-1} – 0]

A = 4(a²/2)(p/2)

A = πa²

Således er areal under cirklen pa ² kvadratiske enheder

Område under kurve: Ellipse

En cirkel er en lukket kurve. Dens areal beregnes ved først at beregne arealet i den første kvadrant og derefter gange det med 4 for alle fire kvadranter.

Antag, at vi tager en cirkel (x/a)²+ (y/b)²= 1 og så skal dens areal beregnes fra x = 0 til x = a i første kvadrant. Og om nødvendigt firdobler vi området for at finde ellipsens område.

Beregning af areal,

(x/a)²+ (y/b)²= 1

y = b/a√(a²- x²).dx

A = 4∫₀^-eny.dx

A = 4b/a∫₀^-en√(a²- x²).dx

A = 4b/a[x/2√(a²- x²) + a²/2 uden^-1(x/a)]^-en₀

A = 4b/a[{(a/2).0 + a²/2.uden^-1} – 0]

A = 4b/a(a²/2)(p/2)

A = πab

Således er området under ellipsen πab kvadratiske enheder.

Formler for område under kurve

Formel for forskellige typer beregning af Area Under Curve er tabel nedenfor:

Læs også

• Integraler
• Område som bestemt integral

Eksempler på areal under kurve

Eksempel 1: Find arealet under kurven y ² = 12x og X-aksen.

Løsning:

Den givne kurveligning er y²= 12x

Dette er en ligning af parabel med a = 3 så, y²= 4(3)(x)

Grafen for det påkrævede område er vist nedenfor:

X-aksen deler ovenstående parabel i 2 lige store dele. Så vi kan finde arealet i den første kvadrant og derefter gange det med 2 for at få det nødvendige areal

Så vi kan finde det nødvendige område som:

A = 2int_{a}^{b}ydx

⇒A = 2int_{0}^{3}sqrt{12x}dx

⇒A = 2sqrt{12}[frac{2x^frac{3}{2}}{3}]_0^3

navn på makeupprodukter

⇒A = frac{4sqrt{12}}{3}[x^frac{3}{2}]_0^3

⇒A = frac{4sqrt{12}}{3}*sqrt{27}

⇒ A = 24 kvadratenheder

Eksempel 2: Beregn arealet under kurven x = y ³ – 9 mellem punkterne y = 3 og y = 4.

Løsning:

Givet er kurvens ligning x = y³– 9

Grænsepunkter er (0, 3) og (0, 4)

Da kurvens ligning har formen x = f(y), og punkterne også er på Y-aksen, vil vi bruge formlen,

A = int_{a}^{b}x.dy

⇒A = int_{3}^{4}(y^3-9)dy

⇒A = [frac{y^4}{4}-9y]^4_3

⇒A = (64-36)-(frac{81}{4}-27)

⇒A = 28+frac{27}{4}

⇒ A = 139/4 sq. enheder

Eksempel 3: Beregn arealet under kurven y = x ² – 7 mellem punkterne x = 5 og x = 10.

Løsning:

Givet er kurven y = x²−7 og grænsepunkterne er (5, 0) og (10, 0)

Således er arealet under kurven givet ved:

A = int_{5}^{10}(x^2-7)dx

⇒A = [frac{x^3}{3}-7x]_5^{10}

⇒ A = (100/3 – 70) – (125/3 – 35)

⇒ A = 790/3 – 23/3

⇒ A = 770/3 sq. enheder

Eksempel 4: Find arealet omgivet af parablen y ² = 4ax og linjen x = a i første kvadrant.

Løsning:

Kurven og den angivne linje kan tegnes som følger:

Nu er kurvens ligning y²= 4 aks

Grænsepunkter kommer ud til at være (0, 0) og (a, 0)

Så arealet med hensyn til X-aksen kan beregnes som:

A=int_{0}^{a}ydx

⇒A=int_{0}^{a}sqrt{4ax}dx

⇒A=[sqrt{4a}frac{x^{frac{1}{2}+1}}{frac{3}{2}}]_0^a

⇒A=2×frac{2}{3}sqrt{a}[x^{frac{3}{2}}]_0^a

⇒A=frac{4sqrt{a}}{3}×a^frac{3}{2}

⇒A=frac{4a^2}{3} sq. units

Eksempel 5: Find området dækket af cirklen x ² + og ² = 25 i første kvadrant.

Løsning:

Givet, x²+ og²= 25

Kurven kan tegnes som:

Det påkrævede område er blevet skraveret i ovenstående figur. Ud fra ligningen kan vi se, at radius af cirklen er 5 enheder.

Som, x²+ og²= 25

y = sqrt{25-x^2}

For at finde området skal vi bruge:

A = int_{a}^{b}ydx

⇒A = int_{0}^{5}sqrt{25-x^2}dx

⇒A = [frac{x}{2}(sqrt{25-x^2}+frac{25}{2}sin^{-1}frac{x}{5})]_0^5

⇒A = [(frac{5}{2}×0 +frac{25}{2}sin^{-1}(1))-0]

⇒A = frac{25}{2}×frac{pi}{2}

⇒ A = 25 π/4 kvadratenheder

Ofte stillede spørgsmål om Area Under Curve

Definer område under en kurve.

Området omgivet af kurven, aksen og grænsepunkterne omtales som området under kurven. Ved hjælp af koordinatakserne og integrationsformlen er arealet under kurven blevet bestemt som et todimensionalt areal.

Hvordan beregner man areal under en kurve?

Der er tre metoder til at finde arealet under kurven, det er:

• Reimann Summer involvere opdeling af kurven i mindre rektangler og tilføjelse af deres områder, hvor antallet af delintervaller påvirker nøjagtigheden af ​​resultatet.
• Bestemte integraler ligner Reimann Sums, men bruger et uendeligt antal underintervaller for at give et nøjagtigt resultat.
• Tilnærmelsesmetoder bruges kendte geometriske former for at tilnærme arealet under kurven.

Hvad er forskellen mellem et bestemt integral og en Reimann-sum?

Nøgleforskellen mellem et bestemt integral og en Reimann Sum er, at et bestemt integral repræsenterer det nøjagtige areal under en given kurve, mens en Reimann Sum repræsenterer den omtrentlige værdi af området, og nøjagtigheden af ​​summen afhænger af den valgte partitionsstørrelse.

Kan Area Under Curve være negativ?

Hvis kurven er under aksen eller ligger i koordinataksens negative kvadranter, er arealet under kurven negativt. Også i dette tilfælde beregnes arealet under kurven ved hjælp af den konventionelle tilgang, og løsningen moduleres derefter. Selv i tilfælde, hvor svaret er negativt, tages der kun hensyn til områdets værdi, ikke svarets negative fortegn.

Hvad repræsenterer Area Under Curve i statistik?

Area under curve (ROC) er et mål for nøjagtigheden af ​​en kvantitativ diagnostisk test.

Hvordan tolker man tegn på areal under en kurve?

Arealetegnet viser, at arealet under kurven er over x-aksen eller under x-aksen. Hvis arealet er positivt, er arealet under kurven over x-aksen, og hvis det er negativt, er arealet under kurven under x-aksen.

Hvordan tilnærmes arealet under kurven?

Ved at segmentere området i bittesmå rektangler kan arealet under kurven estimeres groft. Og ved at tilføje arealer af disse rektangler kan man få arealet under kurven.