TechCodeview

Hvis du studerer trig eller calculus – eller gør dig klar til det – bliver du nødt til at blive fortrolig med enhedscirklen. Enhedscirklen er et vigtigt værktøj, der bruges til at løse for sinus, cosinus og tangens af en vinkel. Men hvordan virker det? Og hvilke oplysninger skal du vide for at bruge dem?

I denne artikel forklarer vi, hvad enhedscirklen er, og hvorfor du bør kende den. Vi giver dig også tre tips til at hjælpe dig med at huske, hvordan du bruger enhedscirklen.

Funktionsbillede: Gustavb /Wikimedia

Enhedscirklen: En grundlæggende introduktion

Enhedscirklen er en cirkel med en radius på 1. Dette betyder, at for enhver ret linje tegnet fra cirklens midtpunkt til ethvert punkt langs kanten af ​​cirklen, vil længden af ​​den linje altid være lig med 1. (Dette betyder også, at cirklens diameter vil være lig med 2, da diameteren er lig med to gange længden af ​​radius.)

Typisk, enhedscirklens midtpunkt er, hvor x-aksen og y-aksen skærer hinanden, eller ved koordinaterne (0, 0):

Enhedscirklen, eller trig-cirklen, som den også kaldes, er nyttig at kende, fordi det lader os nemt beregne cosinus, sinus og tangens for enhver vinkel mellem 0° og 360° (eller 0 og 2π radianer).

Som du kan se i ovenstående diagram, vil du ved at tegne en radius i en vilkårlig vinkel (markeret med ∝ på billedet), skabe en retvinklet trekant. På denne trekant er cosinus den vandrette linje, og sinus er den lodrette linje. Med andre ord, cosinus =x-koordinat, og sinus = y-koordinat. (Trekantens længste linje, eller hypotenusen, er radius og er derfor lig med 1.)

Hvorfor er alt dette vigtigt? Husk, at du kan løse længderne af siderne i en trekant ved hjælp af Pythagoras sætning eller $a^2+b^2=c^2$ (hvori -en og b er længderne af trekantens sider, og c er længden af ​​hypotenusen).

Vi ved, at cosinus af en vinkel er lig med længden af ​​den vandrette linje, sinus er lig med længden af ​​den lodrette linje, og hypotenusen er lig med 1. Derfor kan vi sige, at formlen for enhver retvinklet trekant i enhedscirklen er som følger:

$$cos^2θ+sin^2θ=1^2$$

Da ^2=1$, kan vi forenkle denne ligning sådan her:

$$cos^2θ+sin^2θ=1$$

Vær opmærksom på det disse værdier kan være negative afhængigt af den dannede vinkel og hvilken kvadrant x- og y-koordinaterne falder i (jeg vil forklare dette mere detaljeret senere).

Her er en oversigt over alle større vinkler i grader og radianer på enhedscirklen:

Enhedscirkel — grader

Enhedscirkel — Radianer

Men hvad hvis der ikke er dannet en trekant? Lad os se på hvad sker der, når vinklen er 0°, hvilket skaber en vandret lige linje langs x-aksen:

På denne linje er x-koordinaten lig med 1 og y-koordinaten er lig med 0. Vi ved, at cosinus er lig med x-koordinaten, og sinus er lig med y-koordinat, så vi kan skrive dette:

• $cos0°=1$
• $sin0°=0$

Hvad hvis vinklen er 90° og danner en perfekt lodret linje langs y-aksen?

Her kan vi se, at x-koordinaten er lig med 0 og y-koordinaten er lig med 1. Dette giver os følgende værdier for sinus og cosinus:

• $cos90°=0$
• $sin90°=1$

Dette slogan gælder absolut, hvis du ikke er en matematikelsker.

Hvorfor du bør kende enhedscirklen

Som nævnt ovenfor er enhedscirklen nyttig, fordi det giver os mulighed for nemt at løse for sinus, cosinus eller tangens af enhver grad eller radian. Det er især nyttigt at kende enhedscirkeldiagrammet, hvis du har brug for at løse bestemte triggværdier til matematiklektier, eller hvis du forbereder dig på at studere calculus.

Men hvordan kan det helt præcist hjælpe dig at kende enhedscirklen? Lad os sige, at du får følgende problem på en matematikprøve - og er det ikke lov til at bruge en lommeregner til at løse det:

$$sin30°$$

Hvor starter du? Lad os tage et kig på enhedscirkeldiagrammet igen - denne gang med alle større vinkler (i både grader og radianer) og deres tilsvarende koordinater:

Jim.belk /Wikimedia

Bliv ikke overvældet! Husk, alt du løser for er $sin30°$. Ved at se på dette diagram kan vi se det y-koordinaten er lig med /2$ ved 30°. Og da y-koordinaten er lig med sinus, er vores svar som følger:

$$sin30°=1/2$$

Men hvad hvis du får et problem, der bruger radianer i stedet for grader? Processen for at løse det er stadig den samme. Sig for eksempel, at du får et problem, der ser sådan ud:

$$cos{{3π}/4}$$

Igen, ved at bruge diagrammet ovenfor, kan vi se, at x-koordinaten (eller cosinus) for ${3π}/4$ (som er lig med 135°) er $-{√2}/2$. Her er, hvordan vores svar på dette problem ville se ud:

$$cos({3π}/4)=-{√2}/2$$

Alt dette er ret nemt, hvis du har enhedscirkeldiagrammet ovenfor til brug som reference. Men det meste (hvis ikke alle) af tiden, vil dette ikke være tilfældet, og du forventes kun at besvare disse typer matematikspørgsmål ved hjælp af din hjerne.

Så hvordan kan du huske enhedscirklen? Læs videre for vores bedste tips!

Sådan husker du enhedscirklen: 3 vigtige tips

I dette afsnit giver vi dig vores bedste tips til at huske trig-cirklen, så du nemt kan bruge den til ethvert matematisk problem, der kræver det.

Jeg vil ikke anbefale at øve enhedscirklen med post-its, men hey, det er en start.

kort i java

#1: Husk fælles vinkler og koordinater

For at bruge enhedscirklen effektivt, skal du huske de mest almindelige vinkler (i både grader og radianer) samt deres tilsvarende x- og y-koordinater.

Diagrammet ovenfor er et nyttigt enhedscirkeldiagram at se på, da det inkluderer alle større vinkler i både grader og radianer, foruden deres tilsvarende koordinatpunkter langs x- og y-akserne.

Her er et diagram, der viser de samme oplysninger i tabelform:

Nu, mens du er mere end velkommen til at prøve at huske alle disse koordinater og vinkler, er dette en masse ting at huske.

Heldigvis er der et trick, du kan bruge til at hjælpe dig med at huske de vigtigste dele af enhedscirklen.

Se på koordinaterne ovenfor, og du vil bemærke et tydeligt mønster: alle punkter (undtagen dem ved 0°, 90°, 270° og 360°) veksle mellem kun tre værdier (uanset om de er positive eller negative):

• /2$
• ${√2}/2$
• ${√3}/2$

Hver værdi svarer til en kort, mellem eller lang linje for både cosinus og sinus:

Her er hvad disse længder betyder:

Kort vandret eller lodret linje= /2$ Mellem horisontal eller lodret linje= ${√2}/2$ Lang vandret eller lodret linje= ${√3}/2$

For eksempel, hvis du prøver at løse $cos{π/3}$, skal du straks vide, at denne vinkel (som er lig med 60°) angiver en kort vandret linje på enhedscirklen. Derfor, dens tilsvarende x-koordinat skal være lig med /2$ (en positiv værdi, da $π/3$ skaber et punkt i den første kvadrant af koordinatsystemet).

Til sidst, selvom det er nyttigt at huske alle vinklerne i tabellen ovenfor, skal du bemærke det langt de vigtigste vinkler at huske er følgende:

• 30° / $p/
• 45° / $p/4$
• 60° / $p/3$

Behandl dine negative og positive sider, som du ville gøre med kabler, der potentielt kan dræbe dig, hvis de tilsluttes forkert.

#2: Lær hvad der er negativt og hvad der er positivt

Det er vigtigt at kunne skelne mellem positive og negative x- og y-koordinater, så du finder den korrekte værdi for et trig-problem. Som en påmindelse, I om en koordinat på enhedscirklen vil være positiv eller negativ afhænger af hvilken kvadrant (I, II, III eller IV) punktet falder ind under:

Her er et diagram, der viser, om en koordinat vil være positiv eller negativ baseret på kvadranten en bestemt vinkel (i grader eller radianer) er i:

Lad os for eksempel sige, at du får følgende problem på en matematikprøve:

$$cos210°$$

Før du overhovedet prøver at løse det, bør du være i stand til at erkende, at svaret vil være et negativt tal da vinklen 210° falder i kvadrant III (hvor x-koordinaterne er altid negativ).

Nu, ved at bruge det trick, vi lærte i tip 1, kan du regne ud, at en vinkel på 210° skaber en lang vandret linje. Derfor er vores svar som følger:

$$cos210°=-{√3}/2$$

#3: Vid, hvordan man løser for Tangent

Endelig er det vigtigt at vide, hvordan man bruger alle disse oplysninger om trig-cirklen og sinus og cosinus for at kunne løse for tangens af en vinkel.

I trig, for at finde tangenten af ​​en vinkel θ (i enten grader eller radianer), skal du blot divider sinus med cosinus:

$$ anθ={sinθ}/{cosθ}$$

javascript base64 afkode

Sig for eksempel, at du prøver at besvare dette problem:

$$ an300°$$

Det første trin er at opsætte en ligning i form af sinus og cosinus:

$$ an300°={sin300°}/{cos300°}$$

Nu, for at løse for tangenten, skal vi finde sinus og cosinus på 300°. Du bør hurtigt kunne genkende, at vinklen 300° falder i fjerde kvadrant, hvilket betyder, at cosinus, eller x-koordinat, vil være positiv, og sinus, eller y-koordinat, vil være negativ.

Det skal du også vide med det samme vinklen 300° skaber en kort vandret linje og en lang lodret linje. Derfor vil cosinus (den vandrette linje) være lig med /2$, og sinus (den lodrette linje) vil være lig med $-{√3}/2$ (en negativ y-værdi, da dette punkt er i kvadrant IV) .

Nu, for at finde tangenten, er alt hvad du skal gøre at tilslutte og løse:

$$ an300°={-{√3}/2}/{1/2}$$

$$ an300°=-√3$$

Tid til at spinde-praktisere dine matematiske færdigheder!

Unit Circle Practice Spørgsmålssæt

Nu hvor du ved, hvordan enhedscirklen ser ud, og hvordan man bruger den, lad os teste, hvad du har lært med et par øvelsesproblemer.

Spørgsmål

1. $sin45°$
2. $cos240°$
3. $cos{5π}/3$
4. $ an{2π}/3$

Svar

1. ${√2}/2$
2. $-1/2$
3. /2$
4. $-√3$

Svar Forklaringer

#1: $sin45°$

Med dette problem er der to stykker information, du bør være i stand til at identificere med det samme:

Svaret vil være positivt,da vinklen 45° er i kvadrant I, og sinus af en vinkel er lig med y-koordinaten

• Vinklen 45° skaber en mellemlang lodret linje (for deres)

Da 45° angiver en positiv, mellemlang linje, det rigtige svar er ${√2}/2$.

Hvis du ikke er sikker på, hvordan du finder ud af dette, skal du tegne et diagram for at hjælpe dig med at bestemme, om linjens længde vil være kort, mellem eller lang.

#2: $cos240°$

Ligesom problem #1 ovenfor, er der to stykker information, du hurtigt burde kunne forstå med dette problem:

Svaret vil være negativt,da vinklen 240° er i kvadrant III, og cosinus af en vinkel er lig med x-koordinaten

• Vinklen 240° skaber en kort vandret linje (til cosinus)

Da 240° angiver en negativ, kort linje, det rigtige svar er $-1/2$.

#3: $cos{5π}/3$

I modsætning til problemerne ovenfor, bruger dette problem radianer i stedet for grader. Selvom dette kan få problemet til at se vanskeligere ud at løse, bruger det i virkeligheden de samme grundlæggende trin som de to andre problemer.

Først skal du erkende, at vinklen ${5π}/3$ er i kvadrant IV, så x-koordinaten eller cosinus vil være et positivt tal. Det burde du også kunne fortælle${5π}/3$skaber en kort vandret linje.

Dette giver dig nok information til at bestemme det det svaret er /2$.

#4: $ an{2π}/3$

Dette problem omhandler tangent i stedet for sinus eller cosinus, hvilket betyder, at det vil kræve lidt mere matematik fra vores side. Først og fremmest, husk den grundlæggende formel for at finde tangent:

$$ an θ={sin θ}/{cos θ}$$

Lad os nu tage den grad, vi har fået – ${2π}/3$- og sæt det ind i denne ligning:

$$ an {2π}/3={sin {2π}/3}/{cos {2π}/3}$$

Du skulle nu være i stand til at løse for sinus og cosinus separat ved at bruge det, du har husket om enhedscirklen. Da vinklen ${2π}/3$ er i kvadrant II, x-koordinaten (eller cosinus) vil være negativ, og y-koordinaten (eller sinus) vil være positiv.

Dernæst bør du være i stand til at bestemme ud fra vinklen alene, at den vandrette linje er en kort linje, og den lodrette linje er en lang kø. Det betyder, at cosinus er lig med $-1/2$, og sinus er lig med ${√3}/2$.

Nu hvor vi har fundet ud af disse værdier, er alt, hvad vi skal gøre, at sætte dem ind i vores oprindelige ligning og løse for tangenten:

$$ an {2π}/3={{√3}/2}/{-1/2}$$

$$ an {2π}/3=-√3$$

Hvad er det næste?

Hvis du snart tager SAT eller ACT, skal du kende nogle trig, så du kan klare dig godt på matematikafsnittet. Tag et kig på vores ekspertguider for at trigge på SAT og ACT, så du kan lære præcis, hvad du skal vide til testdagen!

Udover at huske enhedscirklen, det er en god idé at lære, hvordan du tilslutter tal, og hvordan du tilslutter svar . Læs vores guider for at lære alt om disse to nyttige strategier, som du kan bruge på enhver matematikprøve - inklusive SAT og ACT!